En estadística , el tema de las pruebas de ubicación para distribuciones de mezcla de escala gaussiana surge en algunos tipos particulares de situaciones donde la prueba t de Student más estándar no es aplicable. Específicamente, estos casos permiten realizar pruebas de ubicación donde la suposición de que las observaciones de muestra surgen de poblaciones que tienen una distribución normal puede reemplazarse por la suposición de que surgen de una distribución de mezcla de escala gaussiana. La clase de distribuciones de mezcla de escala gaussiana contiene todas las distribuciones estables simétricas , distribuciones de Laplace , distribuciones logísticas y distribuciones de potencia exponencial, etc. [1] [2]
Introducir
la contraparte de la distribución t de Student para mezclas de escala gaussiana. Esto significa que si probamos la hipótesis nula de que el centro de una distribución de mezcla de escala gaussiana es 0, digamos, entonces t n G ( x ) ( x ≥ 0) es el ínfimo de todas las funciones monótonas no decrecientes u ( x ) ≥ 1/2, x ≥ 0 tales que si los valores críticos de la prueba son u −1 (1 − α ), entonces el nivel de significancia es como máximo α ≥ 1/2 para todas las distribuciones de mezcla de escala gaussiana [ t G n (x) = 1 − t G n (− x ),para x < 0]. En los artículos de las referencias se proporciona una fórmula explícita para t G n ( x ), en términos de distribuciones t de Student , t k , k = 1, 2, ..., n . Introducir
la contraparte de la mezcla de escala gaussiana de la función de distribución acumulativa normal estándar , Φ(x).
Teorema. Φ G ( x ) = 1/2 para 0 ≤ x < 1, Φ G (1) = 3/4, Φ G ( x ) = C ( x /(2 − x 2 ) 1/2 ) para cuantiles entre 1/2 y 0,875, donde C ( x ) es la función de distribución acumulativa estándar de Cauchy . Esta es la parte convexa de la curva Φ G ( x ), x ≥ 0 que es seguida por una sección lineal Φ G ( x ) = x /(2 √ 3 ) + 1/2 para 1,3136... < x < 1,4282... Por lo tanto, el cuartil del 90% es exactamente 4 √ 3 /5. Lo más importante,
Nótese que Φ( √ 3 ) = 0,958..., por lo tanto, el intervalo de confianza clásico del 95% para el valor esperado desconocido de las distribuciones gaussianas cubre el centro de simetría con al menos un 95% de probabilidad para las distribuciones de mezcla de escala gaussiana. Por otro lado, el cuartil del 90% de Φ G ( x ) es 4 √ 3 /5 = 1,385... > Φ −1 (0,9) = 1,282... Los siguientes valores críticos son importantes en las aplicaciones: 0,95 = Φ(1,645) = Φ G (1,651), y 0,9 = Φ(1,282) = Φ G (1,386). [3]
Para extender el Teorema a todas las distribuciones unimodales simétricas se puede empezar con un resultado clásico de Aleksandr Khinchin : es decir, que todas las distribuciones unimodales simétricas son mezclas a escala de distribuciones uniformes simétricas.
La contraparte del Teorema anterior para la clase de todas las distribuciones simétricas, o equivalentemente, para la clase de mezclas de escala de variables aleatorias del lanzamiento de una moneda, conduce al siguiente problema: [4]