Subgrupo

Subconjunto de un grupo que forma un grupo a su vez

En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , un subconjunto de un grupo G es un subgrupo de G si los miembros de ese subconjunto forman un grupo con respecto a la operación de grupo en G.

Formalmente, dado un grupo G bajo una operación binaria  ∗, un subconjunto H de G se denomina subgrupo de G si H también forma un grupo bajo la operación ∗. Más precisamente, H es un subgrupo de G si la restricción de ∗ a H × H es una operación de grupo sobre H . Esto se denota a menudo como H ≤ G , que se lee como " H es un subgrupo de G ".

El subgrupo trivial de cualquier grupo es el subgrupo { e } que consiste únicamente en el elemento identidad. ^[1]

Un subgrupo propio de un grupo G es un subgrupo H que es un subconjunto propio de G (es decir, H ≠ G ). Esto se representa a menudo mediante notación por H < G , que se lee como " H es un subgrupo propio de G ". Algunos autores también excluyen al grupo trivial de ser propio (es decir, H ≠ { e }​ ). ^{[2] [3]}

Si H es un subgrupo de G , entonces a veces a G se le llama sobregrupo de H .

Las mismas definiciones se aplican de forma más general cuando G es un semigrupo arbitrario , pero este artículo solo tratará con subgrupos de grupos.

Pruebas de subgrupos

Supongamos que G es un grupo y H es un subconjunto de G. Por ahora, supongamos que la operación de grupo de G se escribe multiplicativamente, denotándose por yuxtaposición.

• Entonces H es un subgrupo de G si y solo si H no está vacío y es cerrado bajo productos e inversos. Cerrado bajo productos significa que para cada a y b en H , el producto ab está en H . Cerrado bajo inversos significa que para cada a en H , el inverso a ⁻¹ está en H . Estas dos condiciones se pueden combinar en una, que para cada a y b en H , el elemento ab ⁻¹ está en H , pero es más natural y usualmente igual de fácil probar las dos condiciones de cierre por separado. ^[4]
• Cuando H es finito , la prueba se puede simplificar: H es un subgrupo si y solo si no está vacío y es cerrado bajo productos. Estas condiciones por sí solas implican que cada elemento a de H genera un subgrupo cíclico finito de H , digamos de orden n , y entonces el inverso de a es a ^{n −1} . ^[4]

Si la operación de grupo se denota en cambio por adición, entonces cerrado bajo productos debe reemplazarse por cerrado bajo adición , que es la condición de que para cada a y b en H , la suma a + b está en H , y cerrado bajo inversas debe editarse para decir que para cada a en H , la inversa − a está en H.

Propiedades básicas de los subgrupos

• La identidad de un subgrupo es la identidad del grupo: si G es un grupo con identidad e _G , y H es un subgrupo de G con identidad e _H , entonces e _H = e _G .
• La inversa de un elemento de un subgrupo es la inversa del elemento del grupo: si H es un subgrupo de un grupo G , y a y b son elementos de H tales que ab = ba = e _H , entonces ab = ba = e _G .
• Si H es un subgrupo de G , entonces la función de inclusión H → G que envía cada elemento a de H a sí mismo es un homomorfismo .
• La intersección de los subgrupos A y B de G es nuevamente un subgrupo de G . ^[5] Por ejemplo, la intersección del eje x y el eje y en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ bajo la adición es el subgrupo trivial. De manera más general, la intersección de una colección arbitraria de subgrupos de G es un subgrupo de G .
• La unión de los subgrupos A y B es un subgrupo si y solo si A ⊆ B o B ⊆ A . Un no-ejemplo: ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} \cup 3\mathbb {Z} }$ no es un subgrupo de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ porque 2 y 3 son elementos de este subconjunto cuya suma, 5, no está en el subconjunto. De manera similar, la unión del eje x y el eje y en ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ no es un subgrupo de ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$
• Si S es un subconjunto de G , entonces existe un subgrupo más pequeño que contiene a S , es decir, la intersección de todos los subgrupos que contienen a S ; se denota por ⟨ S ⟩ y se llama subgrupo generado por S . Un elemento de G está en ⟨ S ⟩ si y solo si es un producto finito de elementos de S y sus inversos, posiblemente repetidos. ^[6]
• Cada elemento a de un grupo G genera un subgrupo cíclico ⟨ a ⟩ . Si ⟨ a ⟩ es isomorfo a ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ( los enteros módulo n ) para algún entero positivo n , entonces n es el entero positivo más pequeño para el cual a ⁿ = e , y n se llama el orden de a . Si ⟨ a ⟩ es isomorfo a ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ entonces se dice que a tiene orden infinito .
• Los subgrupos de cualquier grupo dado forman una red completa bajo inclusión, llamada red de subgrupos . (Mientras que el ínfimo aquí es la intersección de teoría de conjuntos habitual, el supremo de un conjunto de subgrupos es el subgrupo generado por la unión de teoría de conjuntos de los subgrupos, no la unión de teoría de conjuntos en sí.) Si e es la identidad de G , entonces el grupo trivial { e } es el subgrupo mínimo de G , mientras que el subgrupo máximo es el grupo G mismo.

G es el grupo de los números enteros módulo 8 bajo la adición. El subgrupo H contiene solo 0 y 4, y es isomorfo a Hay cuatro clases laterales izquierdas de H : H mismo, 1 + H , 2 + H y 3 + H (escrito usando notación aditiva ya que este es un grupo aditivo ). Juntos dividen todo el grupo G en conjuntos de igual tamaño, no superpuestos. El índice [ G  : H ] es 4. ${\displaystyle \mathbb {Z} /8\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} .}$

Clases laterales y teorema de Lagrange

Dado un subgrupo H y algún a en G , definimos la clase lateral izquierda aH = { ah  : h en H }. Como a es invertible, la función φ : H → aH dada por φ( h ) = ah es una biyección . Además, cada elemento de G está contenido en precisamente una clase lateral izquierda de H ; las clases laterales izquierdas son las clases de equivalencia correspondientes a la relación de equivalencia a ₁ ~ a ₂ si y solo si ⁠ ⁠ ${\displaystyle a_{1}^{-1}a_{2}}$ está en H . El número de clases laterales izquierdas de H se llama índice de H en G y se denota por [ G  : H ] .

El teorema de Lagrange establece que para un grupo finito G y un subgrupo H ,

${\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}$

donde | G | y | H | denotan los órdenes de G y H , respectivamente. En particular, el orden de cada subgrupo de G (y el orden de cada elemento de G ) debe ser un divisor de | G | . ^{[7] [8]}

Las clases laterales derechas se definen de forma análoga: Ha = { ha  : h en H }. También son las clases de equivalencia para una relación de equivalencia adecuada y su número es igual a [ G  : H ] .

Si aH = Ha para cada a en G , entonces se dice que H es un subgrupo normal . Todo subgrupo de índice 2 es normal: las clases laterales izquierdas, y también las clases laterales derechas, son simplemente el subgrupo y su complemento. De manera más general, si p es el primo más pequeño que divide el orden de un grupo finito G , entonces cualquier subgrupo de índice p (si existe) es normal.

Ejemplo: Subgrupos de Z8

Sea G el grupo cíclico Z ₈ cuyos elementos son

${\displaystyle G=\left\{0,4,2,6,1,5,3,7\right\}}$

y cuya operación de grupo es la suma módulo 8. Su tabla de Cayley es

Este grupo tiene dos subgrupos no triviales: ■ J = {0, 4} y ■ H = {0, 4, 2, 6} , donde J es también un subgrupo de H . La tabla de Cayley para H es el cuadrante superior izquierdo de la tabla de Cayley para G ; La tabla de Cayley para J es el cuadrante superior izquierdo de la tabla de Cayley para H . El grupo G es cíclico , y también lo son sus subgrupos. En general, los subgrupos de los grupos cíclicos también son cíclicos. ^[9]

Ejemplo: Subgrupos de S4

S ₄ es el grupo simétrico cuyos elementos corresponden a las permutaciones de 4 elementos.
A continuación se muestran todos sus subgrupos, ordenados por cardinalidad.
Cada grupo (excepto los de cardinalidad 1 y 2) está representado por su tabla de Cayley .

24 elementos

Como cada grupo, S ₄ es un subgrupo de sí mismo.

12 elementos

El grupo alternante contiene únicamente las permutaciones pares .
Es uno de los dos subgrupos normales propios no triviales de S ₄ . (El otro es su subgrupo de Klein).

Grupo alterno A ₄

Subgrupos:

8 elementos

6 elementos

4 elementos

3 elementos

2 elementos

Cada permutación p de orden 2 genera un subgrupo {1, p }. Estas son las permutaciones que tienen solo 2 ciclos:

• Hay 6 transposiciones con un ciclo de 2.   (fondo verde)
• Y 3 permutaciones con dos ciclos de 2.   (fondo blanco, números en negrita)

1 elemento

El subgrupo trivial es el único subgrupo de orden 1.

Otros ejemplos

• Los números enteros pares forman un subgrupo ⁠ ⁠ ${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$ del anillo de enteros ⁠ ⁠ ${\displaystyle \mathbb {Z} :}$ la suma de dos números enteros pares es par, y el negativo de un número entero par es par.
• Un ideal en un anillo R es un subgrupo del grupo aditivo de R.
• Un subespacio lineal de un espacio vectorial es un subgrupo del grupo aditivo de vectores.
• En un grupo abeliano , los elementos de orden finito forman un subgrupo llamado subgrupo de torsión .

Véase también

• Subgrupo Cartan
• Subgrupo de ajuste
• Subgrupo de punto fijo
• Subgrupo completamente normalizado
• Subgrupo estable

Notas

1. Gallian 2013, pág. 61.
2. Hungerford 1974, pág. 32.
3. Artin 2011, pág. 43.
4. Kurzweil y Stellmacher 1998, pág. 4.
5. Jacobson 2009, pág. 41.
6. Ceniza 2002.
7. Vea una prueba didáctica en este vídeo.
8. Dummit y Foote 2004, pág. 90.
9. Gallian 2013, pág. 81.

Referencias

• Jacobson, Nathan (2009), Álgebra básica , vol. 1 (2.ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1.
• Hungerford, Thomas (1974), Álgebra (1.ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 9780387905181.
• Artin, Michael (2011), Álgebra (2ª ed.), Prentice Hall, ISBN 9780132413770.
• Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3.ª ed.). Hoboken, Nueva Jersey: Wiley. ISBN 9780471452348.OCLC 248917264  .
• Gallian, Joseph A. (2013). Álgebra abstracta contemporánea (8.ª ed.). Boston, MA: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 978-1-133-59970-8.OCLC 807255720  .
• Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (1998). Theorie der endlichen Gruppen. Springer-Lehrbuch. doi :10.1007/978-3-642-58816-7.
• Ash, Robert B. (2002). Álgebra abstracta: el año básico de posgrado. Departamento de Matemáticas, Universidad de Illinois.