Propagación de una matriz

Término matemático

En matemáticas , y más específicamente en teoría de matrices , la dispersión de una matriz es la distancia más grande en el plano complejo entre dos valores propios de la matriz.

Definición

Sea una matriz cuadrada con valores propios , es decir, estos valores son los números complejos tales que existe un vector sobre el que actúa por multiplicación escalar : ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle v_{i}}$ ${\displaystyle A}$

${\displaystyle Av_{i}=\lambda _{i}v_{i}.}$

Entonces la dispersión de es el número no negativo ${\displaystyle A}$

${\displaystyle s(A)=\max\{|\lambda _{i}-\lambda _{j}|:i,j=1,\ldots n\}.}$

Ejemplos

• Para la matriz cero y la matriz identidad , la dispersión es cero. La matriz cero tiene solo cero como valor propio, y la matriz identidad tiene solo uno como valor propio. En ambos casos, todos los valores propios son iguales, por lo que no puede haber dos valores propios a una distancia distinta de cero entre sí.
• Para una proyección , los únicos valores propios son cero y uno. Por lo tanto, una matriz de proyección tiene una dispersión que es (si todos los valores propios son iguales) o (si hay dos valores propios diferentes). ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$
• Todos los valores propios de una matriz unitaria se encuentran en el círculo unitario . Por lo tanto, en este caso, la dispersión es como máximo igual al diámetro del círculo, el número 2. ${\displaystyle A}$
• La dispersión de una matriz depende únicamente del espectro de la matriz (su multiconjunto de valores propios). Si una segunda matriz del mismo tamaño es invertible , entonces tiene el mismo espectro que . Por lo tanto, también tiene la misma dispersión que . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle BAB^{-1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Véase también

• Campo de valores

Referencias

• Marvin Marcus y Henryk Minc, Un estudio de la teoría de matrices y desigualdades matriciales , Dover Publications , 1992, ISBN  0-486-67102-X . Cap.III.4.