Rango numérico

En el campo matemático del álgebra lineal y el análisis convexo , el rango numérico o campo de valores de una matriz compleja A es el conjunto ${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle W(A)=\left\{{\frac {\mathbf {x} ^{*}A\mathbf {x} }{\mathbf {x} ^{*}\mathbf {x} }}\mid \mathbf {x} \in \mathbb {C} ^{n},\ \mathbf {x} \not =0\right\}}$

donde denota la transpuesta conjugada del vector . El rango numérico incluye, en particular, las entradas diagonales de la matriz (obtenidas eligiendo x igual a los vectores unitarios a lo largo de los ejes de coordenadas) y los valores propios de la matriz (obtenidos eligiendo x igual a los vectores propios). ${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$

En ingeniería, los rangos numéricos se utilizan como una estimación aproximada de los valores propios de A. Recientemente, se utilizan generalizaciones del rango numérico para estudiar la computación cuántica .

Un concepto relacionado es el radio numérico , que es el valor absoluto más grande de los números en el rango numérico, es decir

${\displaystyle r(A)=\sup\{|\lambda |:\lambda \in W(A)\}=\sup _{\|x\|=1}|\langle Ax,x\rangle |.}$

Propiedades

1. El rango numérico es el rango del cociente de Rayleigh .
2. ( Teorema de Hausdorff-Toeplitz ) El rango numérico es convexo y compacto.
3. ${\displaystyle W(\alpha A+\beta I)=\alpha W(A)+\{\beta \}}$Para todas las matrices cuadradas y números complejos y . Aquí está la matriz identidad . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle I}$
4. ${\displaystyle W(A)}$es un subconjunto del semiplano derecho cerrado si y solo si es semidefinido positivo. ${\displaystyle A+A^{*}}$
5. El rango numérico es la única función en el conjunto de matrices cuadradas que satisface (2), (3) y (4). ${\displaystyle W(\cdot )}$
6. (Subaditivo) , donde la suma en el lado derecho denota un conjunto suma . ${\displaystyle W(A+B)\subseteq W(A)+W(B)}$
7. ${\displaystyle W(A)}$contiene todos los valores propios de . ${\displaystyle A}$
8. El rango numérico de una matriz es una elipse rellena . ${\displaystyle 2\times 2}$
9. ${\displaystyle W(A)}$es un segmento de línea real si y solo si es una matriz hermítica con sus valores propios más pequeños y más grandes siendo y . ${\displaystyle [\alpha ,\beta ]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$
10. Si es una matriz normal entonces es la envoltura convexa de sus valores propios. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle W(A)}$
11. Si es un punto agudo en el límite de , entonces es un valor propio normal de . ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle W(A)}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle A}$
12. ${\displaystyle r(\cdot )}$es una norma en el espacio de matrices. ${\displaystyle n\times n}$
13. ${\displaystyle r(A)\leq \|A\|\leq 2r(A)}$, donde denota la norma del operador . ^{[1] [2] [3] [4]} ${\displaystyle \|\cdot \|}$
14. ${\displaystyle r(A^{n})\leq r(A)^{n}}$

Generalizaciones

• Rango numérico C
• Rango numérico de rango superior
• Rango numérico conjunto
• Gama numérica del producto
• Envolvente numérica polinómica

Véase también

• Teoría espectral
• Cociente de Rayleigh
• Taller sobre rangos numéricos y radios numéricos

Bibliografía

• Choi, MD; Kribs, DW; Życzkowski (2006), "Códigos de corrección de errores cuánticos a partir del formalismo de compresión", Rep. Math. Phys. , 58 (1): 77–91, arXiv : quant-ph/0511101 , Bibcode :2006RpMP...58...77C, doi :10.1016/S0034-4877(06)80041-8, S2CID  119427312.
• Dirr, G.; Helmkel, U.; Kleinsteuber, M.; Schulte-Herbrüggen, Th. (2006), "Un nuevo tipo de rango numérico C que surge en la computación cuántica", Proc. Aplica. Matemáticas. Mec. , 6 : 711–712, doi : 10.1002/pamm.200610336.
• Bonsall, FF; Duncan, J. (1971), Rangos numéricos de operadores en espacios normados y de elementos de álgebras normadas , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-07988-4.
• Bonsall, FF; Duncan, J. (1971), Rangos numéricos II , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-20227-5.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1991), Temas de análisis matricial , Cambridge University Press , Capítulo 1, ISBN 978-0-521-46713-1.
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990), Análisis de matrices , Cambridge University Press , cap. 5.7, ej. 21, ISBN 0-521-30586-1
• Li, CK (1996), "Una prueba simple del teorema del rango elíptico", Proc. Am. Math. Soc. , 124 (7): 1985, doi : 10.1090/S0002-9939-96-03307-2.
• Keeler, Dennis S.; Rodman, Leiba; Spitkovsky, Ilya M. (1997), "El rango numérico de matrices 3 × 3", Álgebra lineal y sus aplicaciones , 252 (1–3): 115, doi : 10.1016/0024-3795(95)00674-5.
• "Caracterizaciones funcionales del campo de valores y la envoltura convexa del espectro", Charles R. Johnson, Actas de la American Mathematical Society , 61(2):201-204, diciembre de 1976.

Referencias

1. "desigualdad "bien conocida" para el radio numérico de un operador". StackExchange .
2. "Límite superior para la norma del operador del espacio de Hilbert". StackExchange .
3. "Desigualdades para el radio numérico del operador complejo del espacio de Hilbert". StackExchange .
4. Hilary Priestley . "Espacios de Hilbert B4b: sinopsis extendidas 9. Teoría espectral" (PDF) . De hecho, ‖T‖ = max(−m _T , M _T ) = w _T . Esto falla para operadores no autoadjuntos, pero w _T ≤ ‖T‖ ≤ 2w _T en el caso complejo.