Problema de avance de la electrocardiología

Simulación de un latido cardíaco realista.

Diagrama esquemático del ritmo sinusal normal de un corazón humano como se observa en el ECG.

El problema principal de la electrocardiología es un enfoque computacional y matemático para estudiar la actividad eléctrica del corazón a través de la superficie corporal. ^[1] El objetivo principal de este estudio es reproducir computacionalmente un electrocardiograma (ECG), que tiene una relevancia clínica importante para definir patologías cardíacas como la isquemia y el infarto , o para probar la intervención farmacéutica. Dadas sus importantes funcionalidades y la relativa baja invasividad, las técnicas de electrocardiografía se utilizan con bastante frecuencia como pruebas de diagnóstico clínico . Por lo tanto, es natural proceder a reproducir computacionalmente un ECG, lo que significa modelar matemáticamente el comportamiento cardíaco dentro del cuerpo. ^[1]

Las tres partes principales de un modelo de avance para el ECG son:

• un modelo de la actividad eléctrica cardíaca;
• un modelo de la difusión del potencial eléctrico dentro del torso, que representa la región extracardíaca;
• Algunas condiciones específicas de acoplamiento corazón-torso. ^[2]

Así, para obtener un ECG se debe considerar un modelo eléctrico cardíaco matemático, acoplado a un modelo difusivo en un conductor pasivo que describa la propagación eléctrica en el interior del torso . ^[1]

El modelo acoplado es generalmente un modelo tridimensional expresado en términos de ecuaciones diferenciales parciales . Este modelo se resuelve típicamente mediante el método de elementos finitos para la evolución espacial de la solución y esquemas numéricos semi-implícitos que involucran diferencias finitas para la evolución temporal de la solución. Sin embargo, los costos computacionales de tales técnicas, especialmente con simulaciones tridimensionales, son bastante altos. Por lo tanto, a menudo se consideran modelos simplificados, resolviendo por ejemplo la actividad eléctrica del corazón independientemente del problema en el torso. Para proporcionar resultados realistas, se deben utilizar modelos tridimensionales anatómicamente realistas del corazón y el torso. ^[1]

Otra posible simplificación es un modelo dinámico formado por tres ecuaciones diferenciales ordinarias . ^[3]

Modelos de tejido cardíaco

La actividad eléctrica del corazón es causada por el flujo de iones a través de la membrana celular , entre los espacios intracelulares y extracelulares, lo que determina una onda de excitación a lo largo del músculo cardíaco que coordina la contracción cardíaca y, por lo tanto, la acción de bombeo del corazón que le permite impulsar la sangre a través del sistema circulatorio . La modelización de la actividad eléctrica cardíaca está relacionada, por tanto, con la modelización del flujo de iones a nivel microscópico , y con la propagación de la onda de excitación a lo largo de las fibras musculares a nivel macroscópico . ^{[1] [4]}

Entre los modelos matemáticos a nivel macroscópico, Willem Einthoven y Augustus Waller definieron el ECG a través del modelo conceptual de un dipolo que gira alrededor de un punto fijo, cuya proyección sobre el eje de las derivaciones determinaba los registros de las derivaciones. Luego, fue posible una reconstrucción bidimensional de la actividad cardíaca en el plano frontal utilizando las derivaciones I, II y III de las extremidades de Einthoven como base teórica. ^[5] Más tarde, el dipolo cardíaco giratorio se consideró inadecuado y se sustituyó por fuentes multipolares que se movían dentro de un dominio del torso acotado. La principal deficiencia de los métodos utilizados para cuantificar estas fuentes es su falta de detalles, que sin embargo son muy relevantes para simular de manera realista los fenómenos cardíacos. ^[4]

Por otro lado, los modelos microscópicos intentan representar el comportamiento de células individuales y conectarlas considerando sus propiedades eléctricas. ^{[6] [7] [8]} Estos modelos presentan algunos desafíos relacionados con las diferentes escalas que deben capturarse, en particular considerando que, especialmente para fenómenos de gran escala como la reentrada o el potencial de superficie corporal, el comportamiento colectivo de las células es más importante que el de cada célula individual. ^[4]

La tercera opción para modelar la actividad eléctrica del corazón es considerar un enfoque denominado "middle-out", donde el modelo incorpora tanto niveles de detalle más bajos como más altos. Esta opción considera el comportamiento de un bloque de células, llamado célula continua, evitando así problemas de escala y detalle. El modelo obtenido se denomina modelo bidominio , que a menudo se reemplaza por su simplificación, el modelo monodominio . ^[4]

Modelo de Bidominio

Representación estilizada de un torso humano que describe el dominio y la notación considerada para el problema de avance de la electrocardiografía. Se consideran dos áreas separadas y su límite, que representan el corazón y el torso humano a su alrededor.

El supuesto básico del modelo de bidominio es que el tejido cardíaco se puede dividir en dos medios continuos conductores óhmicos, conectados pero separados a través de la membrana celular. Estos medios se denominan regiones intracelular y extracelular, representando la primera los tejidos celulares y la segunda el espacio entre las células. ^{[2] [1]}

La formulación estándar del modelo de dominio doble, que incluye un modelo dinámico para la corriente iónica, es la siguiente ^[2] donde y son los potenciales transmembrana y extracelular respectivamente, es la corriente iónica, que depende también de una denominada variable de activación (que tiene en cuenta el comportamiento iónico a nivel celular), y es una corriente externa aplicada al dominio. Además, y son los tensores de conductividad intracelular y extracelular, es la relación superficie/volumen de la membrana celular y es la capacitancia de la membrana por unidad de área. Aquí el dominio representa el músculo cardíaco. ^[2] $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\frac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\end{cases}}}$$ ${\displaystyle V_{m}}$ ${\displaystyle u_{e}}$ ${\displaystyle I_{\text{ion}}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle I_{\text{app}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{i}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{e}}$ ${\displaystyle A_{m}}$ ${\displaystyle C_{m}}$ ${\displaystyle \Omega _{H}}$

Las condiciones de contorno para esta versión del modelo de bidominio se obtienen a través del supuesto de que no hay flujo de potencial intracelular fuera del corazón, lo que significa que donde denota el límite del dominio del corazón y es la unidad externa normal a . ^[2] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\cdot \mathbf {n} +{\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma }$$ ${\displaystyle \Sigma =\partial \Omega _{H}}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Modelo monodominio

El modelo monodominio es una simplificación del modelo bidominio que, a pesar de algunas suposiciones no fisiológicas, es capaz de representar fenómenos electrofisiológicos realistas al menos en lo que respecta al potencial transmembrana . ^{[2] [1]} ${\displaystyle V_{m}}$

La formulación estándar es la siguiente ecuación diferencial parcial, cuya única incógnita es el potencial transmembrana: donde es un parámetro que relaciona los tensores de conductividad intracelular y extracelular. ^[2] ${\displaystyle V_{m}}$ $${\displaystyle \chi C_{m}{\frac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\frac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}}$$ ${\displaystyle \lambda }$

La condición de contorno utilizada para este modelo es ^[9] $${\displaystyle \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\partial \Omega _{H}.}$$

Modelo de tejido del torso

En el problema directo de la electrocardiografía, el torso se considera un conductor pasivo y su modelo se puede derivar a partir de las ecuaciones de Maxwell bajo el supuesto cuasiestático. ^{[1] [2]}

La formulación estándar consiste en una ecuación diferencial parcial con un campo escalar desconocido, el potencial del torso . Básicamente, el modelo del torso es la siguiente ecuación generalizada de Laplace donde es el tensor de conductividad y es el dominio que rodea al corazón, es decir , el torso humano. ^[2] ${\displaystyle u_{T}}$ $${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T},}$$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{T}}$ ${\displaystyle \Omega _{T}}$

Derivación

En cuanto al modelo bidominio, el modelo del torso se puede derivar de las ecuaciones de Maxwell y de la ecuación de continuidad después de algunas suposiciones. En primer lugar, dado que la actividad eléctrica y magnética dentro del cuerpo se genera a un nivel bajo, se puede considerar una suposición cuasiestática. Por lo tanto, el cuerpo puede considerarse como un conductor pasivo, lo que significa que su efecto capacitivo, inductivo y propagativo se puede ignorar. ^[1]

Bajo el supuesto cuasiestático, las ecuaciones de Maxwell son ^[1] y la ecuación de continuidad es ^[1] $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=0\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\mathbf {J} \end{cases}}}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {J} =0.}$$

Como su rizo es cero, el campo eléctrico se puede representar mediante el gradiente de un campo de potencial escalar, el potencial del torso.

donde el signo negativo significa que la corriente fluye desde regiones de mayor potencial a regiones de menor potencial. ^[1]

Luego, la densidad de corriente total se puede expresar en términos de la corriente de conducción y otras corrientes aplicadas diferentes, de modo que, a partir de la ecuación de continuidad, ^[1]

Luego, sustituyendo ( 1 ) en ( 2 ) $${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=\nabla \cdot \mathbf {J} _{\text{app}}=I_{v}}$$

en el que es la corriente por unidad de volumen. ^[1] ${\displaystyle I_{v}}$

Finalmente, dado que aparte del corazón no hay ninguna fuente de corriente dentro del torso, la corriente por unidad de volumen se puede establecer en cero, obteniéndose la ecuación de Laplace generalizada, que representa la formulación estándar del problema difusivo dentro del torso ^[1]. $${\displaystyle \nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{T}.}$$

Condición de contorno

Las condiciones de contorno tienen en cuenta las propiedades del medio que rodea el torso, es decir, del aire que rodea el cuerpo. Generalmente, el aire tiene una conductividad nula, lo que significa que la corriente no puede fluir fuera del torso. Esto se traduce en la siguiente ecuación ^[1] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} _{T}=0\quad \quad {\text{on }}\Gamma _{T}}$$

donde es la unidad normal exterior al torso y es el límite del torso, lo que significa la superficie del torso. ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathbf {n} _{T}}$ ${\displaystyle \Gamma _{T}}$

Conductividad del torso

Generalmente se considera que el torso tiene conductividad isotrópica, lo que significa que la corriente fluye de la misma manera en todas las direcciones. Sin embargo, el torso no es una envoltura vacía u homogénea, sino que contiene diferentes órganos caracterizados por diferentes coeficientes de conductividad, que se pueden obtener experimentalmente. En la siguiente tabla se presenta un ejemplo sencillo de parámetros de conductividad en un torso que considera los huesos y los pulmones. ^[2]

Modelos de corazón y torso

El acoplamiento entre el modelo de actividad eléctrica y el modelo del torso se consigue mediante condiciones límite adecuadas en el epicardio, es decir, en la superficie de interfaz entre el corazón y el torso. ^{[1] [2]}

El modelo corazón-torso puede estar completamente acoplado, si se considera una transmisión eléctrica perfecta entre los dos dominios, o puede estar desacoplado, si el modelo eléctrico del corazón y el modelo del torso se resuelven por separado con un intercambio de información limitado o imperfecto entre ellos. ^[2]

Modelos de corazón y torso totalmente acoplados

El acoplamiento completo entre el corazón y el torso se obtiene imponiendo una condición de transmisión eléctrica perfecta entre el corazón y el torso. Esto se realiza considerando las dos ecuaciones siguientes, que establecen una relación entre el potencial extracelular y el potencial del torso ^[2]. Estas ecuaciones aseguran la continuidad tanto del potencial como de la corriente a través del epicardio. ^[2] $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{e}&=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} _{e}&=-({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} _{T}\quad &{\text{on }}\Sigma .\end{aligned}}}$$

Utilizando estas condiciones de contorno, es posible obtener dos modelos de corazón-torso completamente acoplados, considerando el modelo de bidominio o el de monodominio para la actividad eléctrica cardíaca. Desde el punto de vista numérico, los dos modelos son computacionalmente muy costosos y tienen costos computacionales similares. ^[2]

Condiciones de contorno alternativas

Las condiciones de contorno que representan un acoplamiento eléctrico perfecto entre el corazón y el torso son las más utilizadas y las clásicas. Sin embargo, entre el corazón y el torso se encuentra el pericardio , un saco con una doble pared que contiene un fluido seroso que tiene un efecto específico sobre la transmisión eléctrica. Considerando la capacitancia y el efecto resistivo que tiene el pericardio, se pueden formular condiciones de contorno alternativas que tengan en cuenta este efecto de la siguiente manera ^[10] ${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle R_{p}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}R_{p}{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} &=R_{p}C_{p}{\frac {\partial (u_{T}-u_{e})}{\partial t}}+(u_{T}-u_{e})\quad \quad &{\text{on }}\Sigma \\{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} &={\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} \quad \quad &{\text{on }}\Sigma \end{aligned}}}$$

Formulación con el modelo bidominio

El modelo corazón-torso completamente acoplado, considerando el modelo bidominio para la actividad eléctrica del corazón, en su forma completa es ^[2] donde las primeras cuatro ecuaciones son las ecuaciones diferenciales parciales que representan el modelo bidominio, el modelo iónico y el modelo del torso, mientras que las restantes representan las condiciones de contorno para los modelos bidominio y torso y las condiciones de acoplamiento entre ellos. ^[2] $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]{\dfrac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma \\[1ex]u_{e}=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\end{cases}}}$$

Formulación con el modelo monodominio

El modelo de corazón-torso completamente acoplado que considera el modelo monodominio para la actividad eléctrica del corazón es más complicado que el problema del bidominio. De hecho, las condiciones de acoplamiento relacionan el potencial del torso con el potencial extracelular, que no se calcula mediante el modelo monodominio. Por lo tanto, es necesario utilizar también la segunda ecuación del modelo bidominio (bajo los mismos supuestos bajo los cuales se deriva el modelo monodominio), lo que da como resultado: ^[2] $${\displaystyle \nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0\quad \quad {\text{in }}\Omega _{H}.}$$

De esta manera, no es necesario cambiar las condiciones de acoplamiento y el modelo completo de corazón-torso se compone de dos bloques diferentes: ^[2]

• Primero debe resolverse el modelo monodominio con su condición de contorno habitual: $${\displaystyle {\begin{cases}\chi C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}}$$
• Luego se debe resolver el modelo acoplado que incluye el cálculo del potencial extracelular, el modelo del torso y las condiciones de acoplamiento: $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{e}=u_{T}&{\text{on }}\Sigma \\({\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \end{cases}}}$$

Modelos de corazón y torso desacoplados

Los modelos de corazón-torso completamente acoplados son modelos muy detallados, pero también son costosos computacionalmente para resolver. ^[2] Una posible simplificación la proporciona el llamado supuesto desacoplado en el que el corazón se considera completamente aislado eléctricamente del corazón. ^[2] Matemáticamente, esto se hace imponiendo que la corriente no puede fluir a través del epicardio, desde el corazón hasta el torso, es decir ^[2] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0\quad \quad {\text{on }}\Sigma .}$$

Aplicando esta ecuación a las condiciones de contorno de los modelos completamente acoplados, es posible obtener dos modelos corazón-torso desacoplados, en los que los modelos eléctricos se pueden resolver por separado del modelo del torso, reduciendo los costos computacionales. ^[2]

Modelo de corazón-torso desacoplado con el modelo de bidominio

La versión desacoplada del modelo de corazón-torso completamente acoplado que utiliza el bidominio para representar la actividad eléctrica del corazón se compone de dos partes separadas: ^[2]

• El modelo de bidominio en su forma aislada $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})=A_{m}\left(C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}+I_{\text{ion}}(V_{m},w)\right)+I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\{\dfrac {\partial w}{\partial {t}}}+g(V_{m},w)=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} +({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla u_{e})\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma \\{\boldsymbol {\sigma }}_{e}\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Sigma .\end{cases}}}$$
• El modelo difusivo del torso en su formulación estándar, con la condición de continuidad potencial $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{cases}}}$$

Modelo de corazón-torso desacoplado con el modelo modomain

Al igual que en el caso del modelo de corazón-torso completamente acoplado que utiliza el modelo monodominio, también en el modelo desacoplado correspondiente es necesario calcular el potencial extracelular. En este caso, se deben resolver tres problemas diferentes e independientes: ^[2]

• El modelo monodominio con su condición de contorno habitual: $${\displaystyle {\begin{cases}\chi C_{m}{\dfrac {\partial V_{m}}{\partial t}}-\nabla \cdot \left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}{\dfrac {\lambda }{1+\lambda }}\nabla V_{m}\right)+\chi I_{\text{ion}}=I_{\text{app}}&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]\left({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m}\right)\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\partial \Omega _{H}.\end{cases}}}$$
• El problema de calcular el potencial extracelular con una condición límite en el epicardio que prescribe que no hay flujo de corriente intracelular: $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot \left(({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\right)+\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})=0&{\text{in }}\Omega _{H}\\[1ex]({\boldsymbol {\sigma }}_{i}+{\boldsymbol {\sigma }}_{e})\nabla u_{e}\cdot \mathbf {n} =-({\boldsymbol {\sigma }}_{i}\nabla V_{m})\cdot \mathbf {n} &{\text{on }}\Sigma \end{cases}}}$$
• El modelo difusivo del torso con la condición de contorno de continuidad potencial en el epicardio: $${\displaystyle {\begin{cases}\nabla \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T})=0&{\text{in }}\Omega _{T}\\{\boldsymbol {\sigma }}_{T}\nabla u_{T}\cdot \mathbf {n} =0&{\text{on }}\Gamma _{T}\\u_{T}=u_{e}&{\text{on }}\Sigma \\\end{cases}}}$$

Cálculo del electrocardiograma

Derivaciones precordiales en el ECG

La resolución de los modelos corazón-torso completamente acoplados o desacoplados permite obtener el potencial eléctrico generado por el corazón en cada punto del torso humano, y en particular en toda la superficie del torso. Definiendo las posiciones de los electrodos en el torso, es posible encontrar la evolución temporal del potencial en dichos puntos. Luego, los electrocardiogramas pueden calcularse, por ejemplo, según las 12 derivaciones estándar, considerando las siguientes fórmulas ^[2] donde y son las ubicaciones estándar de los electrodos. ^[2] $${\displaystyle {\begin{cases}\mathrm {I} &=u_{T}(L)-u_{T}(R)\\\mathrm {II} &=u_{T}(F)-u_{T}(R)\\\mathrm {III} &=u_{T}(F)-u_{T}(L)\\\mathrm {aVR} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(R)-u_{w})\\\mathrm {aVL} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(L)-u_{w})\\\mathrm {aVF} &={\frac {3}{2}}(u_{T}(F)-u_{w})\\\mathrm {V} _{i}&=u_{T}(V_{i})-u_{w}\quad i=1,\dots ,6\end{cases}}}$$ ${\displaystyle u_{W}=(u_{T}(L)+u_{T}(R)+u_{T}(F))/3}$ ${\displaystyle L,R,F,\{V_{i}\}_{i=1}^{6}}$

Métodos numéricos

Los modelos corazón-torso se expresan en términos de ecuaciones diferenciales parciales cuyas incógnitas son función tanto del espacio como del tiempo. A su vez, se combinan con un modelo iónico que suele expresarse en términos de un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias . Se pueden utilizar diversos esquemas numéricos para la solución de esos problemas. Por lo general, se aplica el método de elementos finitos para la discretización espacial y se utilizan esquemas de diferencias finitas semiimplícitas para la discretización temporal. ^{[1] [2]}

Los modelos desacoplados de corazón-torso son los más sencillos de tratar numéricamente porque el modelo eléctrico del corazón se puede resolver por separado del del torso, de modo que se pueden aplicar métodos numéricos clásicos para resolver cada uno de ellos. Esto significa que los modelos bidominio y monodominio se pueden resolver, por ejemplo, con una fórmula de diferenciación hacia atrás para la discretización temporal, mientras que los problemas para calcular el potencial extracelular y el potencial del torso se pueden resolver fácilmente aplicando solo el método de elementos finitos porque son independientes del tiempo. ^{[1] [2]}

Los modelos de corazón-torso completamente acoplados, en cambio, son más complejos y necesitan modelos numéricos más sofisticados. Por ejemplo, el modelo de corazón-torso completamente acoplado que utiliza el modelo bidominio para la simulación eléctrica del comportamiento cardíaco se puede resolver considerando técnicas de descomposición de dominios , como la descomposición de dominios de Dirichlet-Neumann. ^{[2] [11]}

Modelo de torso geométrico

Modelo de torso tridimensional que incluye la mayoría de los órganos. ^[12]

Para simular un electrocardiograma utilizando los modelos completamente acoplados o no acoplados, se necesita una reconstrucción tridimensional del torso humano. Hoy en día, las técnicas de diagnóstico por imagen como la resonancia magnética y la tomografía computarizada pueden proporcionar imágenes lo suficientemente precisas como para permitir reconstruir en detalle las partes anatómicas humanas y, de esta manera, obtener una geometría del torso adecuada. Por ejemplo, Visible Human Data ^[13] es un conjunto de datos útil para crear un modelo tridimensional del torso detallado con los órganos internos, incluida la estructura esquelética y los músculos. ^[1]

Modelo dinámico del electrocardiograma

Aunque los resultados sean bastante detallados, resolver un modelo tridimensional suele ser bastante costoso. Una posible simplificación es un modelo dinámico basado en tres ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas. ^[3]

La cuasi periodicidad del latido cardíaco se reproduce mediante una trayectoria tridimensional alrededor de un ciclo límite de atracción en el plano. Los picos principales del ECG, que son P, Q, R, S y T, se describen en ángulos fijos , lo que da lugar a las tres EDO siguientes ^[3] ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle \theta _{P},\theta _{Q},\theta _{R},\theta _{S}{\text{ and }}\theta _{T}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\alpha z-\omega y\\[1ex]y'&=\alpha y+\omega x\\[1ex]z'&=\textstyle -\sum _{i\in \{P,Q,R,S,T\}}a_{i}\Delta \theta _{i}{\text{exp}}\left(-{\Delta \theta _{i}^{2}}/{2b_{i}^{2}}\right)-(z-z_{0})\end{aligned}}}$$con , , ${\textstyle \alpha =1-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle \Delta \theta _{i}=(\theta -\theta _{i}){\bmod {(}}2\pi )}$ ${\displaystyle \theta ={\text{atan}}2(y,x)}$

Las ecuaciones se pueden resolver fácilmente con algoritmos numéricos clásicos como los métodos de Runge-Kutta para EDO. ^[3]

Véase también

• Modelo monodominio
• Modelo de Bidominio
• Electrocardiografía

Referencias

1. Pullan, Andrew J.; Buist, Martin L.; Cheng, Leo K. (2005). Modelado matemático de la actividad eléctrica del corazón: de la célula a la superficie corporal y viceversa . World Scientific. ISBN 978-9812563736.
2. Boulakia, Muriel; Cazeau, Serge; Fernández, Miguel A.; Gerbeau, Jean-Frédéric; Zemzemi, Nejib (24 de diciembre de 2009). "Modelado matemático de electrocardiogramas: un estudio numérico" (PDF) . Anales de Ingeniería Biomédica . 38 (3): 1071–1097. doi :10.1007/s10439-009-9873-0. PMID  20033779. S2CID  10114284.
3. McSharry, PE; Clifford, GD; Tarassenko, L.; Smith, LA (marzo de 2003). "Un modelo dinámico para generar señales de electrocardiograma sintéticas". IEEE Transactions on Biomedical Engineering . 50 (3): 289–294. CiteSeerX 10.1.1.65.2929 . doi :10.1109/TBME.2003.808805. PMID  12669985. S2CID  544816. 
4. Lines, GT; Buist, ML; Grottum, P.; Pullan, AJ; Sundnes, J.; Tveito, A. (1 de julio de 2002). "Modelos matemáticos y métodos numéricos para el problema directo en electrofisiología cardíaca". Computación y visualización en la ciencia . 5 (4): 215–239. doi :10.1007/s00791-003-0101-4. S2CID  123211416.
5. Einstein, Waller (1903). "Die galvanometrische Registrierung des menschlichen Elektrokardiogramms, zugleich eine Beurteilung der Anwendung des Capillarelektrometers in der Physiologie". Archivo Pflügers . 99 (9–10): 472–480. doi :10.1007/BF01811855. S2CID  10400303.
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