Problema de Kadison-Singer

Extensión única de estados puros en espacios de Hilbert.

En matemáticas , el problema de Kadison-Singer , planteado en 1959, era un problema de análisis funcional sobre si ciertas extensiones de ciertos funcionales lineales en ciertas álgebras C* eran únicas. La singularidad quedó demostrada en 2013.

La declaración surgió del trabajo sobre los fundamentos de la mecánica cuántica realizado por Paul Dirac en la década de 1940 y fue formalizada en 1959 por Richard Kadison e Isadore Singer . ^[1] Posteriormente se demostró que el problema era equivalente a numerosos problemas abiertos en matemáticas puras, matemáticas aplicadas, ingeniería e informática. ^{[2] [3]} Kadison, Singer y la mayoría de los autores posteriores creyeron que la afirmación era falsa, ^{[2] [3] pero, en 2013,} Adam Marcus , Daniel Spielman y Nikhil Srivastava demostraron que era cierta , ^[4] quienes Recibió el Premio Pólya 2014 por este logro.

La solución fue posible gracias a una reformulación proporcionada por Joel Anderson, quien demostró en 1979 que su "conjetura del pavimento", que sólo involucra operadores en espacios de Hilbert de dimensión finita, es equivalente al problema de Kadison-Singer. Nik Weaver proporcionó otra reformulación en un entorno de dimensión finita, y se demostró que esta versión era cierta utilizando polinomios aleatorios. ^[5]

Formulación original

Considere el espacio de Hilbert separable ℓ 2 y dos álgebras C* relacionadas: el álgebra de todos los operadores lineales continuos de ℓ ² a ℓ ² , y el álgebra de todos los operadores lineales continuos diagonales de ℓ ² a ℓ ² . ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle D}$

Un estado en un álgebra C* es un funcional lineal continuo tal que (donde denota la identidad multiplicativa del álgebra ) y para cada . Tal estado se llama puro si es un punto extremo en el conjunto de todos los estados de (es decir, si no puede escribirse como una combinación convexa de otros estados de ). ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \varphi :A\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \varphi (I)=1}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \varphi (T)\geq 0}$ ${\displaystyle T\geq 0}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A}$

Según el teorema de Hahn-Banach , cualquier funcional puede extenderse a . Kadison y Singer conjeturaron que, para el caso de estados puros, esta extensión es única. Es decir, el problema Kadison-Singer consistía en probar o refutar la siguiente afirmación: ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$

A cada estado puro existe un estado único que se extiende . ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \varphi }$

De hecho, esta afirmación es cierta.

Reformulación de la conjetura de pavimentación.

El problema de Kadison-Singer tiene una solución positiva si y sólo si la siguiente "conjetura del pavimento" es cierta: ^[6]

Para cada existe un número natural de modo que se cumple lo siguiente: para todos y cada uno de los operadores lineales en el espacio de Hilbert -dimensional con ceros en la diagonal existe una partición de en conjuntos tales que ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}}$

${\displaystyle \|P_{A_{j}}TP_{A_{j}}\|\leq \varepsilon \|T\|{\text{ for }}j=1,\ldots ,k.}$

Aquí denota la proyección ortogonal en el espacio abarcado por los vectores unitarios estándar correspondientes a los elementos de , de modo que la matriz de se obtiene a partir de la matriz de reemplazando todas las filas y columnas que no corresponden a los índices en por 0 . La norma matricial es la norma espectral , es decir , la norma del operador con respecto a la norma euclidiana . ${\displaystyle P_{A_{j}}}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle P_{A_{j}}TP_{A_{j}}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A_{j}}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Tenga en cuenta que en esta declaración, solo puede depender de , no de . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle n}$

Declaración de discrepancia equivalente

La siguiente afirmación de " discrepancia ", nuevamente equivalente al problema de Kadison-Singer debido al trabajo previo de Nik Weaver, ^[7] fue probada por Marcus/Spielman/Srivastava utilizando una técnica de polinomios aleatorios:

Supongamos que los vectores se dan con (la matriz identidad) y para todos . Entonces existe una partición de en dos conjuntos y tal que ${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{m}\in \mathbb {C} ^{d}}$ ${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}u_{i}u_{i}^{*}=I}$ ${\displaystyle d\times d}$ ${\displaystyle \|u_{i}\|_{2}^{2}\leq \delta }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$

${\displaystyle \left\|\sum _{i\in S_{j}}u_{i}u_{i}^{*}\right\|\leq {\frac {\left(1+{\sqrt {2\delta }}\right)^{2}}{2}}{\text{ for }}j=1,2.}$

Esta declaración implica lo siguiente:

Supongamos que se dan vectores con para todos y ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{m}\in \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle \|v_{i}\|_{2}^{2}\leq \alpha }$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\langle v_{i},x\rangle ^{2}=1\ {\text{ for all }}x\in \mathbb {R} ^{d}{\text{ with }}\|x\|=1.}$

Entonces existe una partición de en dos conjuntos tal que, para : ${\displaystyle \{1,\ldots ,m\}}$ ${\displaystyle S_{1}}$ ${\displaystyle S_{2}}$ ${\displaystyle j=1,2}$

${\displaystyle \left|\sum _{i\in S_{j}}\langle v_{i},x\rangle ^{2}-{\frac {1}{2}}\right|\leq 5{\sqrt {\alpha }}\ {\text{ for all }}x\in \mathbb {R} ^{d}{\text{ with }}\|x\|=1.}$

Aquí la "discrepancia" se hace visible cuando α es lo suficientemente pequeño: la forma cuadrática en la esfera unitaria se puede dividir en dos partes aproximadamente iguales, es decir, partes cuyos valores no difieren mucho de 1/2 en la esfera unitaria. De esta forma, el teorema se puede utilizar para derivar enunciados sobre ciertas particiones de gráficos. ^[5]

Referencias

1. Kadison, R .; Cantante, I. (1959). "Extensiones de estados puros". Revista Estadounidense de Matemáticas . 81 (2): 383–400. doi :10.2307/2372748. JSTOR  2372748. SEÑOR  0123922.
2. Casazza, PG; Fickus, M.; Tremain, JC; Weber, E. (2006). "El problema de Kadison-Singer en matemáticas e ingeniería: una descripción detallada". Teoría de operadores, álgebras de operadores y aplicaciones . Matemáticas Contemporáneas. vol. 414. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 299–355. arXiv : matemáticas/0510024 . doi :10.1090/conm/414/07820. ISBN 9780821839232. SEÑOR  2277219.
3. Casazza, Peter G. (2015). "Consecuencias de la solución de Marcus/Spielman/Stivastava al problema Kadison-Singer". arXiv : 1407.4768 [matemáticas.FA].
4. Marco, Adán ; Spielman, Daniel A .; Srivastava, Nikhil (2013). "Enlazando familias II: polinomios característicos mixtos y el problema de Kadison-Singer". arXiv : 1306.3969 [matemáticas.CO].
5. Srivastava, Nikhil (11 de julio de 2013). "Discrepancia, gráficos y el problema de Kadison-Singer". Ventanas en teoría .
6. Anderson, Joel (1979). "Restricciones y representaciones de estados en C∗-álgebras". Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 249 (2): 303–329. doi :10.2307/1998793. JSTOR  1998793. SEÑOR  0525675.
7. Tejedor, Nik (2004). "El problema de Kadison-Singer en la teoría de la discrepancia". Matemáticas discretas . 278 (1–3): 227–239. arXiv : matemáticas/0209078 . doi :10.1016/S0012-365X(03)00253-X. S2CID  5304663.

enlaces externos

• Nicholas JA Harvey (11 de julio de 2013). "Una introducción al problema de Kadison-Singer y la conjetura del pavimento" (PDF) .