El principio de Arquímedes (también escrito principio de Arquímedes ) establece que la fuerza de flotación ascendente que se ejerce sobre un cuerpo sumergido en un fluido , ya sea total o parcialmente, es igual al peso del fluido que el cuerpo desplaza . [1] El principio de Arquímedes es una ley de la física fundamental para la mecánica de fluidos . Fue formulado por Arquímedes de Siracusa . [2]
En De los cuerpos flotantes , Arquímedes sugirió que (c. 246 a. C.):
Cualquier objeto, total o parcialmente sumergido en un fluido o líquido, es impulsado hacia arriba por una fuerza igual al peso del fluido desplazado por el objeto.
El principio de Arquímedes permite calcular la flotabilidad de cualquier objeto flotante que se encuentre parcialmente o totalmente sumergido en un fluido. La fuerza que actúa hacia abajo sobre el objeto es simplemente su peso. La fuerza que actúa hacia arriba, o flotabilidad, sobre el objeto es la que se indica en el principio de Arquímedes antes mencionado. Por lo tanto, la fuerza neta sobre el objeto es la diferencia entre las magnitudes de la fuerza flotabilidad y su peso. Si esta fuerza neta es positiva, el objeto se eleva; si es negativa, el objeto se hunde; y si es cero, el objeto flota de forma neutra, es decir, permanece en su lugar sin elevarse ni hundirse. En palabras sencillas, el principio de Arquímedes establece que, cuando un cuerpo se encuentra parcial o totalmente sumergido en un fluido, experimenta una pérdida aparente de peso que es igual al peso del fluido desplazado por la parte sumergida del cuerpo o de los cuerpos.
Consideremos un cuboide sumergido en un fluido, con sus caras superior e inferior ortogonales a la dirección de la gravedad (que se supone constante a lo largo de la extensión del cubo). El fluido ejercerá una fuerza normal sobre cada cara, pero solo las fuerzas normales sobre la parte superior e inferior contribuirán a la flotabilidad. La diferencia de presión entre la cara inferior y la superior es directamente proporcional a la altura (diferencia en profundidad de inmersión). Multiplicando la diferencia de presión por el área de una cara se obtiene una fuerza neta sobre el cuboide —la flotabilidad— que es igual en tamaño al peso del fluido desplazado por el cuboide. Sumando una cantidad suficiente de cuboides arbitrariamente pequeños, este razonamiento se puede extender a formas irregulares y, por lo tanto, sea cual sea la forma del cuerpo sumergido, la fuerza de flotación es igual al peso del fluido desplazado.
El peso del fluido desplazado es directamente proporcional al volumen del fluido desplazado (si el fluido circundante tiene una densidad uniforme). El peso del objeto en el fluido se reduce debido a la fuerza que actúa sobre él, que se denomina empuje ascendente. En términos simples, el principio establece que la fuerza de flotación (F b ) sobre un objeto es igual al peso del fluido desplazado por el objeto, o la densidad ( ρ ) del fluido multiplicada por el volumen sumergido (V) por la gravedad (g) [1] [3]
Podemos expresar esta relación en la ecuación:
donde denota la fuerza de flotación aplicada sobre el objeto sumergido, denota la densidad del fluido, representa el volumen del fluido desplazado y es la aceleración debida a la gravedad . Así, entre objetos completamente sumergidos con masas iguales, los objetos con mayor volumen tienen mayor flotabilidad.
Supongamos que el peso de una roca es de 10 newtons cuando está suspendida de una cuerda en el vacío bajo la acción de la gravedad. Supongamos que, cuando la roca se sumerge en el agua, desplaza agua con un peso de 3 newtons. La fuerza que ejerce sobre la cuerda de la que cuelga sería de 10 newtons menos los 3 newtons de fuerza de flotación: 10 − 3 = 7 newtons. La flotabilidad reduce el peso aparente de los objetos que se han hundido completamente hasta el fondo del mar. Por lo general, es más fácil levantar un objeto a través del agua que sacarlo del agua.
Para un objeto completamente sumergido, el principio de Arquímedes se puede reformular de la siguiente manera:
luego se inserta en el cociente de pesos, que se ha ampliado por el volumen mutuo
Se obtiene la siguiente fórmula. La densidad del objeto sumergido en relación con la densidad del fluido se puede calcular fácilmente sin medir ningún volumen.
(Esta fórmula se utiliza, por ejemplo, para describir el principio de medición de un dasimetro y del pesaje hidrostático ).
Ejemplo: si arrojas madera al agua, la flotabilidad la mantendrá a flote.
Ejemplo: Un globo de helio en un automóvil en movimiento. Al aumentar la velocidad o al conducir en una curva, el aire se mueve en dirección opuesta a la aceleración del automóvil. Sin embargo, debido a la flotabilidad, el globo es empujado "fuera del camino" por el aire y se desplazará en la misma dirección que la aceleración del automóvil.
Cuando un objeto se sumerge en un líquido, este ejerce una fuerza ascendente, conocida como fuerza de flotación, que es proporcional al peso del líquido desplazado. La suma de las fuerzas que actúan sobre el objeto es, por tanto, igual a la diferencia entre el peso del objeto (fuerza "hacia abajo") y el peso del líquido desplazado (fuerza "hacia arriba"). El equilibrio, o flotabilidad neutra, se alcanza cuando estos dos pesos (y, por tanto, fuerzas) son iguales.
La ecuación para calcular la presión dentro de un fluido en equilibrio es:
donde f es la densidad de fuerza ejercida por algún campo externo sobre el fluido y σ es el tensor de tensión de Cauchy . En este caso, el tensor de tensión es proporcional al tensor identidad:
Aquí δ ij es el delta de Kronecker . Al utilizar esto, la ecuación anterior se convierte en:
Suponiendo que el campo de fuerza externo es conservativo, es decir, puede escribirse como el gradiente negativo de alguna función de valor escalar:
Entonces:
Por lo tanto, la forma de la superficie abierta de un fluido es igual al plano equipotencial del campo de fuerza conservativo externo aplicado. Sea el eje z el que apunte hacia abajo. En este caso, el campo es la gravedad, por lo que Φ = − ρ f gz donde g es la aceleración gravitacional, ρ f es la densidad de masa del fluido. Si tomamos la presión como cero en la superficie, donde z es cero, la constante será cero, por lo que la presión dentro del fluido, cuando está sujeto a la gravedad, es
Por lo tanto, la presión aumenta con la profundidad debajo de la superficie de un líquido, ya que z denota la distancia desde la superficie del líquido hasta el interior de la misma. Cualquier objeto con una profundidad vertical distinta de cero tendrá diferentes presiones en su parte superior e inferior, siendo mayor la presión en la parte inferior. Esta diferencia de presión provoca la fuerza de flotabilidad ascendente.
Ahora es fácil calcular la fuerza de flotación ejercida sobre un cuerpo, ya que se conoce la presión interna del fluido. La fuerza ejercida sobre el cuerpo se puede calcular integrando el tensor de tensión sobre la superficie del cuerpo que está en contacto con el fluido:
La integral de superficie se puede transformar en una integral de volumen con la ayuda del teorema de Gauss :
donde V es la medida del volumen en contacto con el fluido, es decir el volumen de la parte sumergida del cuerpo, ya que el fluido no ejerce fuerza sobre la parte del cuerpo que está fuera de él.
La magnitud de la fuerza de flotabilidad se puede apreciar un poco más a partir del siguiente argumento. Consideremos cualquier objeto de forma arbitraria y volumen V rodeado de un líquido. La fuerza que el líquido ejerce sobre un objeto dentro del líquido es igual al peso del líquido con un volumen igual al del objeto. Esta fuerza se aplica en una dirección opuesta a la fuerza gravitacional, es decir, de magnitud:
donde ρ f es la densidad del fluido, V disp es el volumen del cuerpo de líquido desplazado y g es la aceleración gravitacional en la ubicación en cuestión.
Si este volumen de líquido se sustituye por un cuerpo sólido de exactamente la misma forma, la fuerza que el líquido ejerce sobre él debe ser exactamente la misma que la indicada anteriormente. En otras palabras, la "fuerza de flotabilidad" sobre un cuerpo sumergido se dirige en dirección opuesta a la gravedad y es igual en magnitud a
La fuerza neta sobre el objeto debe ser cero para que se trate de una situación de estática de fluido tal que sea aplicable el principio de Arquímedes, y es por tanto la suma de la fuerza de flotabilidad y el peso del objeto.
Si la flotabilidad de un objeto (sin restricciones ni potencia) supera su peso, tiende a elevarse. Un objeto cuyo peso supera su flotabilidad tiende a hundirse. El cálculo de la fuerza ascendente sobre un objeto sumergido durante su período de aceleración no se puede realizar únicamente con el principio de Arquímedes; es necesario considerar la dinámica de un objeto que involucra flotabilidad. Una vez que se hunde completamente hasta el fondo del fluido o sube a la superficie y se asienta, se puede aplicar solo el principio de Arquímedes. Para un objeto flotante, solo el volumen sumergido desplaza agua. Para un objeto hundido, todo el volumen desplaza agua y habrá una fuerza de reacción adicional del fondo sólido.
Para que el principio de Arquímedes pueda utilizarse solo, el objeto en cuestión debe estar en equilibrio (la suma de las fuerzas sobre el objeto debe ser cero), por lo tanto;
y por lo tanto
mostrando que la profundidad a la que se hundirá un objeto flotante y el volumen de fluido que desplazará son independientes del campo gravitacional, independientemente de la ubicación geográfica.
Puede darse el caso de que entren en juego fuerzas distintas a la flotabilidad y la gravedad. Este es el caso si el objeto está sujeto o si se hunde hasta el fondo sólido. Un objeto que tiende a flotar requiere una fuerza de restricción de tensión T para permanecer completamente sumergido. Un objeto que tiende a hundirse acabará teniendo una fuerza normal de restricción N ejercida sobre él por el fondo sólido. La fuerza de restricción puede ser la tensión en una báscula de resorte que mide su peso en el fluido, y es la forma en que se define el peso aparente.
Si el objeto flotase de otra manera, la tensión para mantenerlo completamente sumergido es:
Cuando un objeto que se hunde se asienta sobre un suelo sólido, experimenta una fuerza normal de:
Otra fórmula posible para calcular la flotabilidad de un objeto es hallar el peso aparente de ese objeto en particular en el aire (calculado en Newtons) y el peso aparente de ese objeto en el agua (en Newtons). Para hallar la fuerza de flotabilidad que actúa sobre el objeto cuando está en el aire, utilizando esta información en particular, se aplica esta fórmula:
El resultado final se mediría en Newtons.
La densidad del aire es muy pequeña en comparación con la de la mayoría de los sólidos y líquidos. Por este motivo, el peso de un objeto en el aire es aproximadamente el mismo que su peso real en el vacío. La flotabilidad del aire se desprecia para la mayoría de los objetos durante una medición en el aire porque el error suele ser insignificante (normalmente menos del 0,1 %, excepto en el caso de objetos de densidad media muy baja, como un globo o una espuma ligera).
Una explicación simplificada de la integración de la presión sobre el área de contacto puede enunciarse de la siguiente manera:
Consideremos un cubo sumergido en un fluido con la superficie superior horizontal.
Los lados son idénticos en área y tienen la misma distribución de profundidad, por lo tanto también tienen la misma distribución de presión y, en consecuencia, la misma fuerza total resultante de la presión hidrostática, ejercida perpendicularmente al plano de la superficie de cada lado.
Hay dos pares de lados opuestos, por lo tanto, las fuerzas horizontales resultantes se equilibran en ambas direcciones ortogonales y la fuerza resultante es cero.
La fuerza ascendente sobre el cubo es la presión sobre la superficie inferior integrada sobre su área. La superficie está a una profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie inferior horizontal del cubo es la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie inferior.
De manera similar, la fuerza hacia abajo sobre el cubo es la presión sobre la superficie superior integrada sobre su área. La superficie está a una profundidad constante, por lo que la presión es constante. Por lo tanto, la integral de la presión sobre el área de la superficie superior horizontal del cubo es la presión hidrostática a esa profundidad multiplicada por el área de la superficie superior.
Como se trata de un cubo, las superficies superior e inferior son idénticas en forma y área, y la diferencia de presión entre la parte superior y la inferior del cubo es directamente proporcional a la diferencia de profundidad, y la diferencia de fuerza resultante es exactamente igual al peso del fluido que ocuparía el volumen del cubo en su ausencia.
Esto significa que la fuerza ascendente resultante sobre el cubo es igual al peso del fluido que cabría en el volumen del cubo, y la fuerza descendente sobre el cubo es su peso, en ausencia de fuerzas externas.
Esta analogía es válida para variaciones en el tamaño del cubo.
Si se colocan dos cubos uno al lado del otro con una cara de cada uno en contacto, las presiones y las fuerzas resultantes sobre los lados o partes de los mismos en contacto están equilibradas y pueden ignorarse, ya que las superficies de contacto son iguales en forma, tamaño y distribución de presión, por lo tanto, la flotabilidad de dos cubos en contacto es la suma de las flotabilidades de cada cubo. Esta analogía se puede extender a un número arbitrario de cubos.
Un objeto de cualquier forma puede ser aproximado como un grupo de cubos en contacto entre sí y, a medida que disminuye el tamaño del cubo, aumenta la precisión de la aproximación. El caso límite para cubos infinitamente pequeños es la equivalencia exacta.
Las superficies en ángulo no anulan la analogía, ya que la fuerza resultante puede dividirse en componentes ortogonales y cada uno de ellos puede tratarse de la misma manera.
El principio de Arquímedes no tiene en cuenta la tensión superficial (capilaridad) que actúa sobre el cuerpo. [4] Además, se ha descubierto que el principio de Arquímedes no funciona en fluidos complejos . [5]
Existe una excepción al principio de Arquímedes, conocido como el caso del fondo (o del costado). Esto ocurre cuando un lado del objeto toca el fondo (o costado) del recipiente en el que está sumergido y no se filtra líquido por ese lado. En este caso, se ha descubierto que la fuerza neta es diferente a la del principio de Arquímedes, ya que, como no se filtra líquido por ese lado, se rompe la simetría de la presión. [6]
El principio de Arquímedes muestra la fuerza de flotación y el desplazamiento del fluido. Sin embargo, el concepto del principio de Arquímedes se puede aplicar al considerar por qué flotan los objetos. La Proposición 5 del tratado de Arquímedes Sobre los cuerpos flotantes establece que
Cualquier objeto flotante desplaza su propio peso de fluido.
— Arquímedes de Siracusa [7]
En otras palabras, para un objeto que flota sobre una superficie líquida (como un barco) o flota sumergido en un fluido (como un submarino en el agua o un dirigible en el aire), el peso del líquido desplazado es igual al peso del objeto. Por lo tanto, solo en el caso especial de flotación, la fuerza de flotación que actúa sobre un objeto es igual al peso del mismo. Consideremos un bloque de hierro sólido de una tonelada. Como el hierro es casi ocho veces más denso que el agua, desplaza solo 1/8 de tonelada de agua cuando está sumergido, lo que no es suficiente para mantenerlo a flote. Supongamos que el mismo bloque de hierro se transforma en un cuenco. Todavía pesa una tonelada, pero cuando se coloca en agua, desplaza un mayor volumen de agua que cuando era un bloque. Cuanto más profundo se sumerja el cuenco de hierro, más agua desplaza y mayor es la fuerza de flotación que actúa sobre él. Cuando la fuerza de flotación es igual a 1 tonelada, no se hundirá más.
Cuando un barco desplaza una cantidad de agua igual a su propio peso, flota. Esto se conoce como el "principio de flotación": un objeto flotante desplaza una cantidad de fluido igual a su propio peso. Todo barco, submarino y dirigible debe estar diseñado para desplazar una cantidad de fluido al menos igual a su propio peso. El casco de un barco de 10.000 toneladas debe ser lo suficientemente ancho, largo y profundo como para desplazar 10.000 toneladas de agua y aún así tener una parte del casco por encima del agua para evitar que se hunda. Necesita un casco adicional para luchar contra las olas que, de lo contrario, lo llenarían y, al aumentar su masa, lo sumergirían. Lo mismo ocurre con los barcos en el aire: un dirigible que pesa 100 toneladas necesita desplazar 100 toneladas de aire. Si desplaza más, se eleva; si desplaza menos, cae. Si el dirigible desplaza exactamente su peso, se mantiene suspendido a una altitud constante.
Si bien están relacionados con él, el principio de flotación y el concepto de que un objeto sumergido desplaza un volumen de fluido igual a su propio volumen no son el principio de Arquímedes. El principio de Arquímedes, como se indicó anteriormente, equipara la fuerza de flotación al peso del fluido desplazado.
Un punto de confusión común [ ¿por quién? ] con respecto al principio de Arquímedes es el significado del volumen desplazado. Las demostraciones comunes implican medir el aumento del nivel del agua cuando un objeto flota en la superficie para calcular el agua desplazada. Este enfoque de medición falla con un objeto sumergido que flota porque el aumento del nivel del agua está directamente relacionado con el volumen del objeto y no con la masa (excepto si la densidad efectiva del objeto es exactamente igual a la densidad del fluido). [8] [9] [10]
Según se dice, Arquímedes exclamó "Eureka" después de darse cuenta de cómo detectar si una corona estaba hecha de oro impuro. Si bien no utilizó el principio de Arquímedes en la historia difundida y utilizó agua desplazada solo para medir el volumen de la corona, existe un enfoque alternativo que utiliza el principio: equilibrar la corona y el oro puro en una balanza en el aire y luego colocar la balanza en agua. Según el principio de Arquímedes, si la densidad de la corona difiere de la densidad del oro puro, la balanza se desequilibrará bajo el agua. [11] [12]
{{cite journal}}: CS1 maint: unfit URL (link)Cualquier sólido más ligero que un fluido, si se coloca en el fluido, quedará tan sumergido que el peso del sólido será igual al peso del fluido desplazado.
Medios relacionados con el principio de Arquímedes en Wikimedia Commons