Un porismo es una proposición o corolario matemático . Se ha utilizado para referirse a una consecuencia directa de una demostración , de forma análoga a cómo un corolario se refiere a una consecuencia directa de un teorema . En el uso moderno, es una relación que se cumple para un rango infinito de valores, pero sólo si se asume una determinada condición, como el porismo de Steiner . [1] El término tiene su origen en tres libros de Euclides que se han perdido. Es posible que una proposición no haya sido probada, por lo que un porismo puede no ser un teorema o no ser verdadero.
El libro que habla primero de los porismos es Los porismos de Euclides . Lo que se sabe de él está en la Colección de Pappus de Alejandría , quien lo menciona junto con otros tratados geométricos, y da varios lemas necesarios para comprenderlo. [2] Pappus afirma:
Pappus dijo que la última definición fue cambiada por ciertos geómetras posteriores, quienes definieron un porismo como una característica accidental como τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος ( to leîpon hipothései topikoû theōrḗmatos ), aquello que no llega a ser lo teorema cus por a (o en su ) hipótesis. Proclo señaló que la palabra porismo se usaba en dos sentidos: un sentido es el de "corolario", como resultado no buscado pero visto como resultado de un teorema. En el otro sentido, no añadió nada a la definición de "los geómetras más antiguos", excepto decir que encontrar el centro de un círculo y encontrar la mayor medida común son porismos. [3] [2]
Pappus rechazó la definición de porismo de Euclides . Un porismo, expresado en lenguaje moderno, afirma que dadas cuatro líneas rectas, de las cuales tres giran alrededor de los puntos en los que se encuentran con la cuarta, si dos de los puntos de intersección de estas líneas se encuentran cada uno sobre una línea recta fija, el punto restante de La intersección también estará en otra línea recta. La definición general se aplica a cualquier número, n , de rectas, de las cuales n puede girar alrededor de tantos puntos fijados en el ( n + 1)ésimo. Estas n rectas cortan dos y dos en 1 ⁄ 2 n ( n − 1 ) puntos, siendo 1 ⁄ 2 n ( n − 1 ) un número triangular cuyo lado es n − 1. Si se hacen girar alrededor del n fijo puntos de modo que cualquier n − 1 de sus 1 ⁄ 2 n ( n − 1) puntos de intersección, elegidos sujetos a una cierta limitación, se encuentren en n − 1 dadas líneas rectas fijas, luego cada uno de los puntos de intersección restantes, 1 ⁄ 2 n ( n − 1)( n − 2) en número, describe una línea recta. [2]
Lo anterior se puede expresar como: Si sobre dos puntos fijos, P y Q, se hacen girar dos rectas que se encuentran en una recta dada, L, y si una de ellas corta un segmento, AM, de una recta fija , AX, dada su posición, se puede determinar otra recta fija BY y un punto B fijo en ella, de modo que el segmento BM' formado por la segunda recta móvil sobre esta segunda recta fija medida desde B tenga una relación dada X a la mañana. Los lemas que da Pappus en relación con los porismos son:
Robert Simson explicó las únicas tres proposiciones que Pappus indica de manera completa, lo cual fue publicado en Philosophical Transactions en 1723. Posteriormente investigó el tema de los porismos en general en una obra titulada De porismatibus traclatus; quo doctrinam porisrnatum satis explicatam, et in posterum ab oblivion tutam fore sperat auctor , y publicado tras su muerte en un volumen, Roberti Simson opera quaedam reliqua (Glasgow, 1776). [4]
El tratado de Simson, De porismatibus , comienza con las definiciones de teorema, problema, dato, porismo y lugar geométrico. Simon escribió que la definición de Pappus es demasiado general y que la sustituyó por:
Porisma est propositio in qua proponitur demonstrare rem aliquam, vel plures datas esse, cui, vel quibus, ut et cuilibet ex rebus innumeris, non quidem datis, sed quae ad ea quae data sunt eandem habent rationem, convenire ostendendum est afectom quandam communem in propositione descripción. Porisma etiam in forma problematis enuntiari potest, si nimirum ex quibus data demonstranda sunt, invenienda proponantur. [ se necesita aclaración ]
Simson dijo que un locus es una especie de porismo. Luego sigue una traducción latina de la nota de Pappus sobre los porismos y las proposiciones que forman la mayor parte del tratado. [4]
Las memorias de John Playfair ( Trans. Roy. Soc. Edin. , 1794, vol. iii.), una especie de secuela del tratado de Simson, exploraban el origen probable de los porismos, o los pasos que llevaron a los geómetras antiguos a descubrirlos. Playfair señaló que la investigación cuidadosa de todos los casos particulares posibles de una proposición mostraría que
Estos casos podían definirse por separado, eran de alguna manera intermedios entre teoremas y problemas y se denominaban "porismos". Playfair definió un porismo como "[una] proposición que afirma la posibilidad de encontrar condiciones que hagan que un determinado problema sea indeterminado o capaz de innumerables soluciones". [4]
Aunque la definición de porismo de Playfair parece ser la más favorecida en Inglaterra, la opinión de Simson ha sido generalmente aceptada en el extranjero y contó con el apoyo de Michel Chasles . Sin embargo, en el Journal de mathematiques pures et appliquées de Liouville (vol. xx., julio de 1855), P. Breton publicó Recherches nouvelles sur les porismes d'Euclide , en las que dio una nueva traducción del texto de Pappus, y trató de fundamentar una visión de la naturaleza de un porismo que se ajuste más estrechamente a la definición de Pappus. A esto siguió, en la misma revista y en La Science , una polémica entre Breton y AJH Vincent, quien cuestionaba la interpretación dada por el primero del texto de Pappus y se declaraba a favor de la idea de Frans van Schooten , expuesta en sus Mathematicae. ejercicios (1657). Según Schooten, si las diversas relaciones entre líneas rectas en una figura se escriben en forma de ecuaciones o proporciones, entonces la combinación de estas ecuaciones de todas las formas posibles, y de nuevas ecuaciones así derivadas de ellas, conduce al descubrimiento de innumerables Nuevas propiedades de la figura. [4]
Las discusiones entre Breton y Vincent, a las que se unió C. Housel, no llevaron adelante la obra de restauración de los Porismos de Euclides , que quedó en manos de Chasles. Su obra ( Les Trois livres de porismes d'Euclide , París, 1860) aprovecha al máximo todo el material encontrado en Pappus. [4]
HG Zeuthen ( Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum , 1886, cap. viii.) propuso una hipótesis interesante sobre los porismos . Zeuthen observó, por ejemplo, que el porismo de intersección sigue siendo cierto si los dos puntos fijos son puntos de una cónica y las líneas rectas trazadas a través de ellos se cruzan en la cónica en lugar de en una línea recta fija. Conjeturó que los porismos eran un subproducto de una geometría proyectiva de cónicas completamente desarrollada. [4]
Atribución:
