Grupo de Poisson-Lie

Variedad de Poisson que es también un grupo de Lie

En matemáticas , un grupo de Poisson-Lie es una variedad de Poisson que también es un grupo de Lie , siendo la multiplicación de grupos compatible con la estructura del álgebra de Poisson en la variedad.

La contraparte infinitesimal de un grupo de Poisson-Lie es una biálgebra de Lie , en analogía con las álgebras de Lie como contrapartes infinitesimales de los grupos de Lie.

Muchos grupos cuánticos son cuantificaciones del álgebra de Poisson de funciones en un grupo de Poisson-Lie.

Definición

Un grupo de Poisson-Lie es un grupo de Lie equipado con un corchete de Poisson para el cual la multiplicación del grupo con es una función de Poisson , donde a la variedad se le ha dado la estructura de una variedad de Poisson producto. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mu :G\times G\to G}$ ${\displaystyle \mu (g_{1},g_{2})=g_{1}g_{2}}$ ${\displaystyle G\times G}$

Explícitamente, la siguiente identidad debe cumplirse para un grupo de Poisson-Lie:

${\displaystyle \{f_{1},f_{2}\}(gg')=\{f_{1}\circ L_{g},f_{2}\circ L_{g}\}(g')+\{f_{1}\circ R_{g^{\prime }},f_{2}\circ R_{g'}\}(g)}$

donde y son funciones reales y suaves en el grupo de Lie, mientras que y son elementos del grupo de Lie. Aquí, denota multiplicación por la izquierda y denota multiplicación por la derecha. ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g'}$ ${\displaystyle L_{g}}$ ${\displaystyle R_{g}}$

Si denota el bivector de Poisson correspondiente en , la condición anterior se puede expresar de manera equivalente como ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\mathcal {P}}(gg')=L_{g\ast }({\mathcal {P}}(g'))+R_{g'\ast }({\mathcal {P}}(g))}$

En particular, tomando uno se obtiene , o equivalentemente . Aplicando el teorema de división de Weinstein a uno, se ve que la estructura de Poisson-Lie no trivial nunca es simpléctica, ni siquiera de rango constante. ${\displaystyle g=g'=e}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(e)=0}$ ${\displaystyle \{f,g\}(e)=0}$ ${\displaystyle e}$

Grupos de Poisson-Lie - correspondencia de biálgebra de Lie

El álgebra de Lie de un grupo de Poisson-Lie tiene una estructura natural de coalgebra de Lie dada por la linealización del tensor de Poisson en la identidad, es decir, es una comultiplicación . Además, el álgebra y la estructura de coalgebra son compatibles, es decir, es una biálgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle P:G\to TG\wedge TG}$ ${\textstyle \delta :=d_{e}P:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

La correspondencia clásica entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie , que da una equivalencia de categorías entre grupos de Lie simplemente conexos y álgebras de Lie de dimensión finita, fue extendida por Drinfeld a una equivalencia de categorías entre grupos de Poisson-Lie simplemente conexos y biálgebras de Lie de dimensión finita.

Gracias al teorema de Drinfeld, cualquier grupo de Poisson-Lie tiene un grupo de Poisson-Lie dual , definido como el grupo de Poisson-Lie que integra el dual de su biálgebra. ^{[1] [2] [3]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Homomorfismos

Un homomorfismo de grupo de Poisson-Lie se define como un homomorfismo de grupo de Lie y un mapa de Poisson. Aunque esta es la definición "obvia", ni las traslaciones a la izquierda ni a la derecha son mapas de Poisson. Además, la toma de mapas de inversión tampoco es un mapa de Poisson, aunque es un mapa anti-Poisson: ${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle \iota :G\to G}$ ${\displaystyle \iota (g)=g^{-1}}$

${\displaystyle \{f_{1}\circ \iota ,f_{2}\circ \iota \}=-\{f_{1},f_{2}\}\circ \iota }$

para dos funciones suaves cualesquiera en . ${\displaystyle f_{1},f_{2}}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplos

Ejemplos triviales

• Cualquier estructura de Poisson trivial en un grupo de Lie define una estructura de grupo de Poisson-Lie, cuya biálgebra es simplemente con la comultiplicación trivial. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$
• El dual de un álgebra de Lie, junto con su estructura lineal de Poisson , es un grupo de Poisson-Lie aditivo. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}$

Estos dos ejemplos son duales entre sí a través del teorema de Drinfeld, en el sentido explicado anteriormente.

Otros ejemplos

Sea cualquier grupo de Lie semisimple . Elija un toro máximo y una selección de raíces positivas . Sean los subgrupos de Borel opuestos correspondientes , de modo que y exista una proyección natural . Luego defina un grupo de Lie ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle T\subset G}$ ${\displaystyle B_{\pm }\subset G}$ ${\displaystyle T=B_{-}\cap B_{+}}$ ${\displaystyle \pi :B_{\pm }\to T}$

${\displaystyle G^{*}:=\{(g_{-},g_{+})\in B_{-}\times B_{+}\ {\bigl \vert }\ \pi (g_{-})\pi (g_{+})=1\}}$

que es un subgrupo del producto , y tiene la misma dimensión que . ${\displaystyle B_{-}\times B_{+}}$ ${\displaystyle G}$

La estructura estándar del grupo de Poisson-Lie en se determina identificando el álgebra de Lie de con el dual del álgebra de Lie de , como en el ejemplo estándar de biálgebra de Lie . Esto define una estructura de grupo de Poisson-Lie en y en el grupo dual de Poisson-Lie . Este es el ejemplo "estándar": el grupo cuántico de Drinfeld-Jimbo es una cuantificación del álgebra de Poisson de funciones en el grupo . Nótese que es resoluble , mientras que es semisimple. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G^{*}}$ ${\displaystyle U_{q}{\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G^{*}}$ ${\displaystyle G^{*}}$ ${\displaystyle G}$

Véase también

• Biálgebra de Lie
• Grupo cuántico
• Grupo cuántico afín
• Álgebras cuánticas afines

Referencias

1. Lu, Jiang-Hua; Weinstein, Alan (1990-01-01). "Grupos de Poisson-Lie, transformaciones de vestir y descomposiciones de Bruhat". Journal of Differential Geometry . 31 (2). doi : 10.4310/jdg/1214444324 . ISSN  0022-040X. S2CID  117053536.
2. Kosmann-Schwarzbach, Y. (1996-12-01). "Grupos de Poisson-Lie y más allá". Revista de Ciencias Matemáticas . 82 (6): 3807–3813. doi :10.1007/BF02362640. ISSN  1573-8795. S2CID  123117926.
3. Kosmann-Schwarzbach, Y. (1997). "Biálgebras de Lie, grupos de Lie de Poisson y transformaciones de vestir". En Y. Kosmann-Schwarzbach; B. Grammaticos; KM Tamizhmani (eds.). Integrabilidad de sistemas no lineales . Actas del Centro Internacional de Matemáticas Pura y Aplicada de la Universidad de Pondicherry, 8-26 de enero de 1996. Apuntes de clase en Física. Vol. 495. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 104-170. doi :10.1007/BFb0113695. ISBN. 978-3-540-69521-9.

• Doebner, H.-D.; Hennig, J.-D., eds. (1989). Grupos cuánticos . Actas del 8º Taller internacional sobre física matemática, Instituto Arnold Sommerfeld, Claausthal, Alemania. Berlín: Springer-Verlag. ISBN. 3-540-53503-9.
• Chari, Vyjayanthi ; Pressley, Andrew (1994). Una guía para los grupos cuánticos . Cambridge: Cambridge University Press Ltd. ISBN 0-521-55884-0.