Teorema de Pohlke

El teorema de Pohlke es el teorema fundamental de la axonometría . Fue establecido en 1853 por el pintor y profesor de geometría descriptiva alemán Karl Wilhelm Pohlke . La primera demostración del teorema fue publicada en 1864 por el matemático alemán Hermann Amandus Schwarz , que fue alumno de Pohlke. Por ello, el teorema a veces también se denomina teorema de Pohlke y Schwarz .

El teorema

Teorema de Pohlke

• Tres secciones de línea arbitrarias en un plano que se originan en el punto , que no están contenidas en una línea, pueden considerarse como la proyección paralela de tres aristas de un cubo . ${\displaystyle {\overline {O}}{\overline {U}},{\overline {O}}{\overline {V}},{\overline {O}}{\overline {W}}}$ ${\displaystyle {\overline {O}}}$ ${\displaystyle OU,OV,OW}$

Para obtener una proyección de un cubo unitario, se debe aplicar una escala adicional, ya sea en el espacio o en el plano. Como una proyección paralela y una escala conservan las proporciones, se puede obtener una proyección de un punto arbitrario mediante el procedimiento axonométrico que se describe a continuación. ${\displaystyle P=(x,y,z)}$

El teorema de Pohlke puede enunciarse en términos de álgebra lineal como:

• Cualquier aplicación afín del espacio tridimensional sobre un plano puede considerarse como la composición de una proyección similar y una proyección paralela. ^[1]

Aplicación a la axonometría

El principio de la proyección axonométrica

El teorema de Pohlke es la justificación del siguiente procedimiento sencillo para construir una proyección paralela a escala de un objeto tridimensional utilizando coordenadas: ^{[2] [3]}

1. Seleccione las imágenes de los ejes de coordenadas, no contenidas en una línea.
2. Elija cualquier eje de coordenadas para acortamientos ${\displaystyle v_{x},v_{y},v_{z}>0.}$
3. La imagen de un punto se determina mediante tres pasos, comenzando en el punto : ${\displaystyle {\overline {P}}}$ ${\displaystyle P=(x,y,z)}$ ${\displaystyle {\overline {O}}}$

Ve en -dirección, entonces ${\displaystyle v_{x}\cdot x}$ ${\displaystyle {\overline {x}}}$

Ve en -dirección, entonces ${\displaystyle v_{y}\cdot y}$ ${\displaystyle {\overline {y}}}$

ir en -dirección y ${\displaystyle v_{z}\cdot z}$ ${\displaystyle {\overline {z}}}$

4. marca el punto como . ${\displaystyle {\overline {P}}}$

Para obtener imágenes sin distorsiones, hay que elegir con cuidado las imágenes de los ejes y los escorzos (véase Axonometría ). Para obtener una proyección ortográfica , sólo las imágenes de los ejes son libres y los escorzos están determinados (véase Axonometría de:orthogonale).

Observaciones sobre la prueba de Schwarz

Schwarz formuló y demostró la afirmación más general:

• Los vértices de cualquier cuadrilátero pueden considerarse como una proyección paralela oblicua de los vértices de un tetraedro que es similar a un tetraedro dado. ^[4]

y utilizó un teorema de L'Huilier :

• Cada triángulo puede considerarse como la proyección ortográfica de un triángulo de una forma dada.

Notas

1. G. Pickert: Vom Satz von Pohlke zur linearen Algebra , Didaktik der Mathematik 11 (1983), 4, págs.
2. Ulrich Graf, Martin Barner: Darstellende Geometrie. Quelle y Meyer, Heidelberg 1961, ISBN  3-494-00488-9 , p.144.
3. Roland Stärk: Darstellende Geometrie , Schöningh, 1978, ISBN 3-506-37443-5 , p.156. 
4. Sklenáriková, Zita; Pémová, Marta (2007). "El teorema de Pohlke-Schwarz y su relevancia en la didáctica de las matemáticas" (PDF) . Quaderni di Ricerca en Didattica (17). GRIM (Departamento de Matemáticas, Universidad de Palermo, Italia): 155.

Referencias

• K. Pohlke : Zehn Tafeln zur darstellenden Geometrie. Gaertner-Verlag, Berlín 1876 (Libros de Google).
• Schwarz, HA : Elementarer Beweis des Pohlkeschen Fundamentalsatzes der Axonometrie , J. reine angew. Matemáticas. 63, 309–314, 1864.
• Arnold Emch: Prueba del teorema de Pohlke y sus generalizaciones por afinidad , American Journal of Mathematics, vol. 40, n.º 4 (octubre de 1918), págs. 366-374

Enlaces externos

• F. Klein: El teorema fundamental de Pohlke, en Matemáticas elementales desde un punto de vista superior: Volumen II: Geometría, pág. 97,
• Christoph J. Scriba, Peter Schreiber: 5000 años de geometría: matemáticas en la historia y la cultura, pág. 398.
• Teorema de Pohlke-Schwarz, Enciclopedia de Matemáticas.