Elección discreta

Elección entre dos o más alternativas discretas

En economía , los modelos de elección discreta , o modelos de elección cualitativa , describen, explican y predicen elecciones entre dos o más alternativas discretas , como ingresar o no al mercado laboral o elegir entre modos de transporte . Tales elecciones contrastan con los modelos de consumo estándar en los que se supone que la cantidad de cada bien consumido es una variable continua . En el caso continuo, se pueden utilizar métodos de cálculo (por ejemplo, condiciones de primer orden) para determinar la cantidad óptima elegida, y la demanda se puede modelar empíricamente utilizando análisis de regresión . Por otro lado, el análisis de elección discreta examina situaciones en las que los resultados potenciales son discretos, de modo que el óptimo no se caracteriza por condiciones estándar de primer orden. Por lo tanto, en lugar de examinar "cuánto" como en los problemas con variables de elección continua, el análisis de elección discreta examina "cuál". Sin embargo, el análisis de elección discreta también se puede utilizar para examinar la cantidad elegida cuando solo se deben elegir unas pocas cantidades distintas, como la cantidad de vehículos que un hogar elige poseer ^[1] y la cantidad de minutos de servicio de telecomunicaciones que un cliente decide comprar. ^[2] Se pueden utilizar técnicas como la regresión logística y la regresión probit para el análisis empírico de la elección discreta.

Los modelos de elección discreta modelan teórica o empíricamente las elecciones que hacen las personas entre un conjunto finito de alternativas. Los modelos se han utilizado para examinar, por ejemplo, la elección de qué coche comprar, ^{[1] [3]} a qué universidad ir, ^[4] qué medio de transporte (coche, autobús, tren) tomar para ir al trabajo ^[5] entre muchas otras aplicaciones. Los modelos de elección discreta también se utilizan para examinar las elecciones de las organizaciones, como las empresas o las agencias gubernamentales. En la discusión que sigue, se supone que la unidad de toma de decisiones es una persona, aunque los conceptos son aplicables de manera más general. Daniel McFadden ganó el premio Nobel en 2000 por su trabajo pionero en el desarrollo de la base teórica para la elección discreta.

Los modelos de elección discreta relacionan estadísticamente la elección que hace cada persona con los atributos de la persona y los atributos de las alternativas disponibles para la persona. Por ejemplo, la elección de qué automóvil comprar una persona está estadísticamente relacionada con los ingresos y la edad de la persona, así como con el precio, la eficiencia de combustible , el tamaño y otros atributos de cada automóvil disponible. Los modelos estiman la probabilidad de que una persona elija una alternativa particular. Los modelos se utilizan a menudo para pronosticar cómo cambiarán las elecciones de las personas ante cambios en la demografía o los atributos de las alternativas.

Los modelos de elección discreta especifican la probabilidad de que un individuo elija una opción entre un conjunto de alternativas. La descripción probabilística del comportamiento de elección discreta no se utiliza para reflejar el comportamiento individual que se considera intrínsecamente probabilístico. Más bien, es la falta de información lo que nos lleva a describir la elección de una manera probabilística. En la práctica, no podemos conocer todos los factores que afectan las decisiones de elección individuales ya que sus determinantes se observan parcialmente o se miden de manera imperfecta. Por lo tanto, los modelos de elección discreta se basan en supuestos y especificaciones estocásticas para dar cuenta de los factores no observados relacionados con a) alternativas de elección, b) variación de gustos entre las personas (heterogeneidad interpersonal) y a lo largo del tiempo (dinámica de elección intraindividual), y c) conjuntos de opciones heterogéneas. Las diferentes formulaciones se han resumido y clasificado en grupos de modelos. ^[6] Cuando el modelo de elección discreta se combina con modelos de ecuaciones estructurales para integrar variables psicológicas (latentes), se denominan modelos de elección híbridos . ^[7]

Aplicaciones

• Los investigadores de marketing utilizan modelos de elección discreta para estudiar la demanda de los consumidores y predecir las respuestas competitivas de las empresas, lo que permite a los modeladores de elección resolver una variedad de problemas comerciales, como problemas de fijación de precios , desarrollo de productos y estimación de la demanda . En la investigación de mercados, esto se denomina comúnmente análisis conjunto . ^[1]
• Los planificadores de transporte utilizan modelos de elección discreta para predecir la demanda de sistemas de transporte planificados , como qué ruta tomará un conductor y si alguien tomará sistemas de tránsito rápido . ^{[5] [8]} Las primeras aplicaciones de los modelos de elección discreta fueron en la planificación del transporte, y gran parte de la investigación más avanzada en modelos de elección discreta es realizada por investigadores del transporte.
• Los planificadores e ingenieros de desastres se basan en modelos de elección discreta para predecir la toma de decisiones por parte de los propietarios o los ocupantes de edificios en evacuaciones de pequeña y gran escala, como incendios de edificios, incendios forestales, huracanes, entre otros. ^{[9] [10] [11]} Estos modelos ayudan en el desarrollo de planes confiables de gestión de desastres y un diseño más seguro para el entorno construido .
• Los pronosticadores y los responsables de las políticas energéticas utilizan modelos de elección discreta para la elección del sistema de calefacción, los niveles de eficiencia de los electrodomésticos y el nivel de eficiencia del combustible de los vehículos por parte de los hogares y las empresas. ^{[12] [13]}
• Los estudios ambientales utilizan modelos de elección discreta para examinar la elección de los recreacionistas, por ejemplo, de sitios para pescar o esquiar, y para inferir el valor de los servicios, como campamentos, reservas de peces y refugios para calentarse, y para estimar el valor de las mejoras en la calidad del agua. ^[14]
• Los economistas laborales utilizan modelos de elección discreta para examinar la participación en la fuerza laboral, la elección de ocupación y la elección de programas universitarios y de capacitación. ^[4]
• Los estudios ecológicos emplean modelos de elección discreta para investigar los parámetros que impulsan la selección del hábitat en los animales. ^[15]

Características comunes de los modelos de elección discreta

Los modelos de elección discreta adoptan muchas formas, entre ellas: Logit binario, Probit binario, Logit multinomial, Logit condicional, Probit multinomial, Logit anidado, modelos de valor extremo generalizado, Logit mixto y Logit desglosado. Todos estos modelos tienen en común las características que se describen a continuación.

Conjunto de elección

El conjunto de opciones es el conjunto de alternativas que tiene a su disposición la persona. Para un modelo de elección discreta, el conjunto de opciones debe cumplir tres requisitos:

1. El conjunto de alternativas debe ser colectivamente exhaustivo , es decir, que incluya todas las alternativas posibles. Este requisito implica que la persona necesariamente elige una alternativa del conjunto.
2. Las alternativas deben ser mutuamente excluyentes , es decir, elegir una alternativa implica no elegir ninguna otra alternativa. Este requisito implica que la persona elige solo una alternativa del conjunto.
3. El conjunto debe contener un número finito de alternativas. Este tercer requisito distingue el análisis de elección discreta de las formas de análisis de regresión en las que la variable dependiente puede (teóricamente) tomar un número infinito de valores.

Por ejemplo, el conjunto de opciones para una persona que decide qué modo de transporte utilizar para ir al trabajo incluye conducir solo, compartir el coche, tomar el autobús, etc. El conjunto de opciones se complica por el hecho de que una persona puede utilizar varios modos para un viaje determinado, como conducir un coche hasta una estación de tren y luego tomar el tren para ir al trabajo. En este caso, el conjunto de opciones puede incluir cada combinación posible de modos. Alternativamente, la opción puede definirse como la opción del modo "principal", y el conjunto consta de coche, autobús, tren y otros (por ejemplo, caminar, bicicleta, etc.). Obsérvese que la alternativa "otros" se incluye para que el conjunto de opciones sea exhaustivo.

Cada persona puede tener diferentes conjuntos de opciones, según sus circunstancias. Por ejemplo, el automóvil Scion no se vendió en Canadá en 2009, por lo que los compradores de automóviles nuevos en Canadá se enfrentaron a conjuntos de opciones diferentes a los de los consumidores estadounidenses. Estas consideraciones se tienen en cuenta en la formulación de modelos de elección discreta.

Definición de probabilidades de elección

Un modelo de elección discreta especifica la probabilidad de que una persona elija una alternativa en particular, y la probabilidad se expresa como una función de variables observadas que se relacionan con las alternativas y la persona. En su forma general, la probabilidad de que la persona n elija la alternativa i se expresa como:

${\displaystyle P_{ni}\equiv \Pr({\text{Person }}n{\text{ chooses alternative }}i)=G(x_{ni},\;x_{nj,j\neq i},\;s_{n},\;\beta ),}$

dónde

${\displaystyle x_{ni}}$es un vector de atributos de la alternativa i a la que se enfrenta la persona n ,

${\displaystyle x_{nj,j\neq i}}$es un vector de atributos de las otras alternativas (distintas de i ) a las que se enfrenta la persona n ,

${\displaystyle s_{n}}$es un vector de características de la persona n , y

${\displaystyle \beta }$es un conjunto de parámetros que dan los efectos de las variables sobre las probabilidades, que se estiman estadísticamente.

En el ejemplo del modo de transporte anterior, los atributos de los modos ( x _ni ), como el tiempo y el costo del viaje, y las características del consumidor ( s _n ), como el ingreso anual, la edad y el género, se pueden utilizar para calcular las probabilidades de elección. Los atributos de las alternativas pueden diferir entre personas; por ejemplo, el costo y el tiempo de viaje al trabajo en automóvil, autobús y tren son diferentes para cada persona según la ubicación de su hogar y trabajo.

Propiedades:

• P _ni está entre 0 y 1
• ${\displaystyle \forall n:\;\sum _{j=1}^{J}P_{nj}=1,}$ donde J es el número total de alternativas.
• (Fracción esperada de personas que eligen i ) donde N es el número de personas que toman la decisión. ${\displaystyle ={1 \over N}{\sum _{n=1}^{N}P_{ni}},}$

Los distintos modelos (es decir, los modelos que utilizan una función G diferente) tienen propiedades diferentes. A continuación se presentan los modelos más destacados.

Utilidad del consumidor

Los modelos de elección discreta se pueden derivar de la teoría de la utilidad . Esta derivación es útil por tres razones:

1. Da un significado preciso a las probabilidades P _ni
2. Motiva y distingue especificaciones de modelos alternativos, por ejemplo, la elección de una forma funcional para G.
3. Proporciona la base teórica para el cálculo de los cambios en el excedente del consumidor (variación compensatoria) a partir de cambios en los atributos de las alternativas.

U _ni es la utilidad (o beneficio neto o bienestar) que la persona n obtiene al elegir la alternativa i . El comportamiento de la persona maximiza la utilidad: la persona n elige la alternativa que le proporciona la mayor utilidad. La elección de la persona se designa mediante variables ficticias, y _ni , para cada alternativa:

${\displaystyle y_{ni}={\begin{cases}1&U_{ni}>U_{nj}\quad \forall j\neq i\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Consideremos ahora al investigador que está examinando la elección. La elección de la persona depende de muchos factores, algunos de los cuales el investigador observa y otros que no. La utilidad que la persona obtiene al elegir una alternativa se descompone en una parte que depende de las variables que el investigador observa y una parte que depende de las variables que el investigador no observa. En forma lineal, esta descomposición se expresa como

${\displaystyle U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}}$

dónde

• ${\displaystyle z_{ni}}$ es un vector de variables observadas relacionadas con la alternativa i para la persona n que depende de atributos de la alternativa, x _ni , interactuados quizás con atributos de la persona, s _n , de modo que puede expresarse como para alguna función numérica z , ${\displaystyle z_{ni}=z(x_{ni},s_{n})}$
• ${\displaystyle \beta }$es un vector correspondiente de coeficientes de las variables observadas, y
• ${\displaystyle \varepsilon _{ni}}$Capta el impacto de todos los factores no observados que afectan la elección de la persona.

La probabilidad de elección es entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{ni}&=\Pr(y_{ni}=1)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj},\right)\\&=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\varepsilon _{nj}-\varepsilon _{ni}<\beta z_{ni}-\beta z_{nj},\right)\end{aligned}}}$

Dado β , la probabilidad de elección es la probabilidad de que los términos aleatorios, ε _nj − ε _ni (que son aleatorios desde la perspectiva del investigador, ya que el investigador no los observa) estén por debajo de las cantidades respectivas. Diferentes modelos de elección (es decir, diferentes especificaciones de G) surgen de diferentes distribuciones de ε _ni para todos los i y diferentes tratamientos de β . ${\displaystyle \forall j\neq i:\beta z_{ni}-\beta z_{nj}.}$

Propiedades de los modelos de elección discreta implícitas en la teoría de la utilidad

Sólo importan las diferencias

La probabilidad de que una persona elija una alternativa particular se determina comparando la utilidad de elegir esa alternativa con la utilidad de elegir otras alternativas:

${\displaystyle P_{ni}=\Pr(y_{ni}=1)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}>U_{nj}\right)=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}U_{ni}-U_{nj}>0\right)}$

Como indica el último término, la probabilidad de elección depende únicamente de la diferencia de utilidades entre alternativas, no del nivel absoluto de utilidades. De manera equivalente, agregar una constante a las utilidades de todas las alternativas no cambia las probabilidades de elección.

La escala debe normalizarse

Como la utilidad no tiene unidades, es necesario normalizar la escala de utilidades. La escala de utilidad suele definirse por la varianza del término de error en los modelos de elección discreta. Esta varianza puede variar según las características del conjunto de datos, como cuándo o dónde se recopilan los datos. Por lo tanto, la normalización de la varianza afecta la interpretación de los parámetros estimados en diversos conjuntos de datos.

Tipos destacados de modelos de elección discreta

Los modelos de elección discreta pueden clasificarse primero según el número de alternativas disponibles.

* Modelos de elección binomial (dicotómicos): 2 alternativas disponibles

* Modelos de elección multinomial ( politómicos ): 3 o más alternativas disponibles

Los modelos de elección multinomial se pueden clasificar además según la especificación del modelo:

* Modelos, como el logit estándar, que suponen que no hay correlación en factores no observados entre alternativas.

* Modelos que permiten la correlación de factores no observados entre alternativas

Además, existen formas específicas de los modelos para examinar las clasificaciones de alternativas (es decir, primera opción, segunda opción, tercera opción, etc.) y para los datos de clasificación.

En las siguientes secciones se proporcionan detalles de cada modelo.

Elección binaria

A. Logit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

U _n es la utilidad (o beneficio neto) que la persona n obtiene al realizar una acción (en contraposición a no realizarla). La utilidad que la persona obtiene al realizar la acción depende de las características de la persona, algunas de las cuales son observadas por el investigador y otras no. La persona realiza la acción, y _n = 1 , si U _n > 0. Se supone que el término no observado, ε _n , tiene una distribución logística . La especificación se escribe sucintamente como:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Logistic}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta s_{n})}}}$

B. Probit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

La descripción del modelo es la misma que la del modelo A, excepto que los términos no observados se distribuyen de forma normal estándar en lugar de logística .

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n}=\beta s_{n}+\varepsilon _{n}\\y_{n}={\begin{cases}1&U_{n}>0\\0&U_{n}\leqslant 0\end{cases}}\\\varepsilon \sim {\text{Standard normal}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}=\Phi (\beta s_{n}),}$

donde es la función de distribución acumulativa de la normal estándar . ${\displaystyle \Phi }$

C. Logit con variables que varían entre alternativas

U _ni es la utilidad que la persona n obtiene al elegir la alternativa i . La utilidad de cada alternativa depende de los atributos de las alternativas interactuando quizás con los atributos de la persona. Se supone que los términos no observados tienen una distribución de valores extremos . ^{[nb 1]}

${\displaystyle {\begin{cases}U_{n1}=\beta z_{n1}+\varepsilon _{n1}\\U_{n2}=\beta z_{n2}+\varepsilon _{n2}\\\varepsilon _{n1},\varepsilon _{n2}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{n1}={\frac {\exp(\beta z_{n1})}{\exp(\beta z_{n1})+\exp(\beta z_{n2})}}}$

Podemos relacionar esta especificación con el modelo A anterior, que también es logit binario. En particular, P _{n 1} también se puede expresar como

${\displaystyle P_{n1}={\frac {1}{1+\exp(-\beta (z_{n1}-z_{n2}))}}}$

Nótese que si dos términos de error son iid valor extremo , ^{[nb 1]} su diferencia se distribuye logísticamente , que es la base para la equivalencia de las dos especificaciones.

D. Probit con variables que varían entre alternativas

La descripción del modelo es la misma que la del modelo C, excepto que la diferencia de los dos términos no observados se distribuye de forma normal estándar en lugar de logística .

Entonces la probabilidad de realizar la acción es

${\displaystyle P_{n1}=\Phi (\beta (z_{n1}-z_{n2})),}$

donde Φ es la función de distribución acumulativa de la normal estándar .

Elección multinomial sin correlación entre alternativas

E. Logit con atributos de la persona pero sin atributos de las alternativas

La utilidad de todas las alternativas depende de las mismas variables, s _n , pero los coeficientes son diferentes para las distintas alternativas:

• U _ni = β _i s _n + ε _ni ,
• Dado que sólo importan las diferencias en la utilidad, es necesario normalizar para una alternativa. Suponiendo que ${\displaystyle \beta _{i}=0}$ ${\displaystyle \beta _{1}=0}$
• ε _ni son valores extremos de iid ^{[nb 1]}

La probabilidad de elección toma la forma

${\displaystyle P_{ni}={\exp(\beta _{i}s_{n}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta _{j}s_{n})},}$

donde J es el número total de alternativas.

F. Logit con variables que varían entre alternativas (también llamado logit condicional)

La utilidad de cada alternativa depende de los atributos de esa alternativa, interactuando quizás con los atributos de la persona:

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{ni}\sim {\text{iid extreme value}}\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}={\exp(\beta z_{ni}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})},}$

donde J es el número total de alternativas.

Nótese que el modelo E puede expresarse de la misma forma que el modelo F mediante la reespecificación apropiada de las variables. Defina dónde está el delta de Kronecker y dónde s _n son del modelo E. Luego, el modelo F se obtiene utilizando ${\displaystyle w_{nj}^{k}=s_{n}\delta _{jk}}$ ${\displaystyle \delta _{jk}}$

${\displaystyle z_{nj}=\left\{w_{nj}^{1},\cdots ,w_{nj}^{J}\right\}\quad {\text{and}}\quad \beta =\left\{\beta _{1},\cdots ,\beta _{J}\right\},}$

donde J es el número total de alternativas.

Elección multinomial con correlación entre alternativas

Un modelo logit estándar no siempre es adecuado, ya que supone que no existe correlación entre los factores no observados y las alternativas. Esta falta de correlación se traduce en un patrón particular de sustitución entre alternativas que podría no ser siempre realista en una situación dada. Este patrón de sustitución a menudo se denomina propiedad de Independencia de Alternativas Irrelevantes (IIA) de los modelos logit estándar. ^{[16] [17]} Se han propuesto varios modelos para permitir la correlación entre alternativas y patrones de sustitución más generales:

• Modelo Logit anidado: captura correlaciones entre alternativas al dividir el conjunto de opciones en "nidos".
  • Modelo Logit entre anidamientos ^[18] (CNL): las alternativas pueden pertenecer a más de un nido
  • Modelo C-logit ^[19] : captura correlaciones entre alternativas utilizando un "factor común"
  • Modelo logit combinatorio pareado ^[20] : adecuado para problemas de elección de ruta.
• Modelo de valor extremo generalizado ^[21] : clase general de modelo, derivada del modelo de utilidad aleatoria ^[17] al que pertenecen el logit multinomial y el logit anidado.
• Probit condicional ^{[22] [23]} - Permite la covarianza total entre alternativas utilizando una distribución normal conjunta.
• Logit mixto ^{[13] [14] [23]} - Permite cualquier forma de correlación y patrones de sustitución. ^[24] Cuando un logit mixto tiene términos aleatorios normales conjuntos, el modelo a veces se denomina "modelo probit multinomial con núcleo logit". ^{[17] [25]} Se puede aplicar a la elección de ruta. ^[26]

Las siguientes secciones describen en detalle los modelos Logit anidado, GEV, Probit y Logit mixto.

G. Modelos de Logit anidado y de valor extremo generalizado (GEV)

El modelo es el mismo que el modelo F excepto que el componente no observado de utilidad está correlacionado con las alternativas en lugar de ser independiente con respecto a las alternativas.

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• La distribución marginal de cada ε _ni es de valor extremo , ^{[nb 1]} pero su distribución conjunta permite la correlación entre ellos.
• La probabilidad adopta muchas formas según el patrón de correlación que se especifique. Véase Valor extremo generalizado .

H. Probit multinomial

El modelo es el mismo que el modelo G excepto que los términos no observados se distribuyen de forma normal conjunta , lo que permite cualquier patrón de correlación y heterocedasticidad :

${\displaystyle {\begin{cases}U_{ni}=\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}\\\varepsilon _{n}\equiv (\varepsilon _{n1},\cdots ,\varepsilon _{nJ})\sim N(0,\Omega )\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad P_{ni}=\Pr \left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)=\int I\left(\bigcap _{j\neq i}\beta z_{ni}+\varepsilon _{ni}>\beta z_{nj}+\varepsilon _{nj}\right)\phi (\varepsilon _{n}|\Omega )\;d\varepsilon _{n},}$

donde es la densidad normal conjunta con media cero y covarianza . ${\displaystyle \phi (\varepsilon _{n}|\Omega )}$ ${\displaystyle \Omega }$

La integral de esta probabilidad de elección no tiene una forma cerrada, por lo que la probabilidad se aproxima por cuadratura o simulación.

Cuando la matriz identidad es tal que no existe correlación ni heterocedasticidad ), el modelo se denomina probit independiente. ${\displaystyle \Omega }$

I. Logit mixto

Los modelos Logit Mixtos se han vuelto cada vez más populares en los últimos años por varias razones. En primer lugar, el modelo permite ser aleatorio además de . La aleatoriedad en acomoda la variación aleatoria del gusto entre las personas y la correlación entre alternativas que genera patrones de sustitución flexibles. En segundo lugar, los avances en simulación han hecho que la aproximación del modelo sea bastante fácil. Además, McFadden y Train han demostrado que cualquier modelo de elección verdadera puede ser aproximado, con cualquier grado de precisión, por un logit mixto con la especificación apropiada de las variables explicativas y la distribución de los coeficientes. ^[24] ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \beta }$

• U _ni = βz _ni + ε _ni ,
• ${\displaystyle \beta \sim f(\beta |\theta )}$para cualquier distribución , donde es el conjunto de parámetros de distribución (por ejemplo, media y varianza) que se van a estimar, ${\displaystyle {\it {f}}}$ ${\displaystyle \theta }$
• ε _ni ~ iid valor extremo , ^{[nb 1]}

La probabilidad de elección es

${\displaystyle P_{ni}=\int _{\beta }L_{ni}(\beta )f(\beta |\theta )\,d\beta ,}$

dónde

${\displaystyle L_{ni}(\beta )={\exp(\beta z_{ni}) \over {\sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}}$

Es la probabilidad logit evaluada con el número total de alternativas. ${\displaystyle \beta ,}$ ${\displaystyle J}$

La integral de esta probabilidad de elección no tiene una forma cerrada, por lo que la probabilidad se aproxima mediante simulación. ^[27]

Estimación a partir de elecciones

Los modelos de elección discreta se estiman a menudo mediante la estimación de máxima verosimilitud . Los modelos logit se pueden estimar mediante regresión logística y los modelos probit se pueden estimar mediante regresión probit . Se han propuesto métodos no paramétricos , como el estimador de puntuación máxima . ^{[28] [29]} La estimación de dichos modelos se realiza habitualmente mediante métodos de máxima verosimilitud paramétricos, semiparamétricos y no paramétricos, ^[30] pero también se puede realizar con el enfoque de modelado de trayectorias de mínimos cuadrados parciales . ^[31]

Estimación a partir de clasificaciones

En muchas situaciones, se observa la clasificación de alternativas de una persona, en lugar de solo la alternativa elegida. Por ejemplo, a una persona que ha comprado un coche nuevo se le puede preguntar qué habría comprado si no le hubieran ofrecido ese coche, lo que proporciona información sobre la segunda opción de la persona además de su primera opción. O, en una encuesta, se le puede preguntar a un encuestado:

Ejemplo : Clasifique los siguientes planes de llamadas de teléfonos celulares desde el más preferido hasta el menos preferido.

* $60 por mes por minutos ilimitados en cualquier momento, contrato de dos años con cargo por terminación anticipada de $100

* $30 por mes por 400 minutos en cualquier momento, 3 centavos por minuto después de 400 minutos, contrato de un año con cargo por terminación anticipada de $125

* $35 por mes por 500 minutos en cualquier momento, 3 centavos por minuto después de 500 minutos, sin contrato ni cargo por terminación anticipada

* $50 por mes por 1000 minutos en cualquier momento, 5 centavos por minuto después de 1000 minutos, contrato de dos años con cargo por terminación anticipada de $75

Los modelos descritos anteriormente se pueden adaptar para tener en cuenta clasificaciones más allá de la primera opción. El modelo más destacado para los datos de clasificación es el logit explotado y su versión mixta.

J. Explosión logit

Bajo los mismos supuestos que para un logit estándar (modelo F), la probabilidad de una clasificación de las alternativas es un producto de los logit estándar. El modelo se llama "logit expandido" porque la situación de elección que generalmente se representa como una fórmula logit para la alternativa elegida se expande ("expande") para tener una fórmula logit separada para cada alternativa clasificada. El modelo logit expandido es el producto de los modelos logit estándar con el conjunto de opciones que disminuye a medida que se clasifica cada alternativa y deja el conjunto de opciones disponibles en la elección posterior.

Sin pérdida de generalidad, las alternativas pueden volver a etiquetarse para representar la clasificación de la persona, de modo que la alternativa 1 sea la primera opción, la 2 la segunda opción, etc. La probabilidad de elección de clasificar J alternativas como 1, 2, ..., J es entonces

${\displaystyle \Pr({\text{ranking }}1,2,\ldots ,J)={\exp(\beta z_{1}) \over \sum _{j=1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}{\exp(\beta z_{2}) \over \sum _{j=2}^{J}\exp(\beta z_{nj})}\ldots {\exp(\beta z_{J-1}) \over \sum _{j=J-1}^{J}\exp(\beta z_{nj})}}$

Al igual que el logit estándar, el modelo logit descompuesto supone que no hay correlación entre los factores no observados y las alternativas. El logit descompuesto se puede generalizar, de la misma manera que se generaliza el logit estándar, para dar cabida a correlaciones entre alternativas y variaciones aleatorias de gustos. El modelo "logit descompuesto mixto" se obtiene por la probabilidad de la clasificación, dada anteriormente, para L _ni en el modelo logit mixto (modelo I).

Este modelo también se conoce en econometría como el modelo logit ordenado por rangos y fue introducido en ese campo por Beggs, Cardell y Hausman en 1981. ^{[32] [33]} Una aplicación es el artículo de Combes et al. que explica la clasificación de los candidatos para convertirse en profesor. ^[33] También se lo conoce como modelo de Plackett-Luce en la literatura biomédica. ^{[33] [34] [35]}

Modelos ordenados

En las encuestas, a menudo se pide a los encuestados que den calificaciones como las siguientes:

Ejemplo : Por favor, dé su calificación sobre el buen trabajo del Presidente.

1: Muy mal

2: Mal

3: Está bien

4: Bueno

5: Muy bien

O,

Ejemplo : En una escala del 1 al 5, donde 1 significa que estoy completamente en desacuerdo y 5 significa que estoy completamente de acuerdo, ¿cuánto está de acuerdo con la siguiente afirmación? "El gobierno federal debería hacer más para ayudar a las personas que enfrentan la ejecución hipotecaria de sus viviendas".

Un modelo multinomial de elección discreta puede examinar las respuestas a estas preguntas (modelo G, modelo H, modelo I). Sin embargo, estos modelos se derivan bajo el concepto de que el encuestado obtiene cierta utilidad para cada respuesta posible y da la respuesta que proporciona la mayor utilidad. Puede ser más natural pensar que el encuestado tiene alguna medida latente o índice asociado con la pregunta y responde en respuesta a qué tan alta es esta medida. Los modelos logit ordenados y probit ordenados se derivan bajo este concepto.

K. Logit ordenado

Sea U _n la fuerza de los sentimientos u opiniones del encuestado n sobre el tema de la encuesta. Supongamos que existen puntos de corte en el nivel de opinión al elegir una respuesta particular. Por ejemplo, en el ejemplo de ayudar a las personas que enfrentan una ejecución hipotecaria, la persona elige

• 1, si U _n < a
• 2, si a < U _n < b
• 3, si b < U _n < c
• 4, si c < U _n < d
• 5, si U _n > d,

para algunos números reales a , b , c , d .

Definiendo Logística , entonces la probabilidad de cada respuesta posible es: ${\displaystyle U_{n}=\beta z_{n}+\varepsilon ,\;\varepsilon \sim }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Pr(U_{n}<a)=\Pr(\varepsilon <a-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Pr(a<U_{n}<b)=\Pr(a-\beta z_{n}<\varepsilon <b-\beta z_{n})={1 \over 1+\exp(-(b-\beta z_{n}))}-{1 \over 1+\exp(-(a-\beta z_{n}))}\\&\cdots \\\Pr({\text{choosing }}5)&=\Pr(U_{n}>d)=\Pr(\varepsilon >d-\beta z_{n})=1-{1 \over 1+\exp(-(d-\beta z_{n}))}\end{aligned}}}$

Los parámetros del modelo son los coeficientes β y los puntos de corte a − d , uno de los cuales debe estar normalizado para su identificación. Cuando sólo hay dos respuestas posibles, el logit ordenado es el mismo que un logit binario (modelo A), con un punto de corte normalizado a cero.

L. Probit ordenado

La descripción del modelo es la misma que la del modelo K, excepto que los términos no observados tienen distribución normal en lugar de logística .

Las probabilidades de elección son ( es la función de distribución acumulativa de la distribución normal estándar): ${\displaystyle \Phi }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr({\text{choosing }}1)&=\Phi (a-\beta z_{n})\\\Pr({\text{choosing }}2)&=\Phi (b-\beta z_{n})-\Phi (a-\beta z_{n})\\&\cdots \end{aligned}}}$

Véase también

• Regresión binaria
• Elección discreta dinámica

Notas

1. La función de distribución acumulativa y de densidad de la distribución de valores extremos están dadas por y Esta distribución también se denomina distribución de valores extremos de Gumbel o tipo I, un tipo especial de distribución de valores extremos generalizada . ${\displaystyle f(\varepsilon _{nj})=\exp(-\varepsilon _{nj})\exp(-\exp(-\varepsilon _{nj}))}$ ${\displaystyle F(\varepsilon _{nj})=\exp(-\exp(-\varepsilon _{nj})).}$

Referencias

1. Train, K. (1986). Análisis de elección cualitativa: teoría, econometría y una aplicación a la demanda de automóviles . MIT Press. ISBN 9780262200554.Capítulo 8.
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Lectura adicional

• Anderson, S., A. de Palma y J.-F. Thisse (1992), Teoría de la elección discreta de la diferenciación de productos , MIT Press,
• Ben-Akiva, M.; Lerman, S. (1985). Análisis de elección discreta: teoría y aplicación a la demanda de viajes . MIT Press.
• Greene, William H. (2012). Análisis econométrico (séptima edición). Upper Saddle River: Pearson Prentice-Hall. págs. 770–862. ISBN 978-0-13-600383-0.
• Hensher, D.; Rose, J.; Greene, W. (2005). Análisis de elección aplicado: una introducción . Cambridge University Press.
• Maddala, G. (1983). Variables cualitativas y de dependencia limitada en econometría . Cambridge University Press.
• McFadden, Daniel L. (1984). Análisis econométrico de modelos de respuesta cualitativos . Manual de econometría, volumen II. Vol. Capítulo 24. Elsevier Science Publishers BV.
• Train, K. (2009) [2003]. Métodos de elección discreta con simulación . Cambridge University Press.