Teoría de placas

Modo de vibración de una placa cuadrada sujeta

En mecánica continua , las teorías de placas son descripciones matemáticas de la mecánica de placas planas que se basan en la teoría de vigas . Las placas se definen como elementos estructurales planos con un espesor pequeño en comparación con las dimensiones planas. ^[1] La relación típica entre espesor y ancho de una estructura de placa es inferior a 0,1. ^{[ cita necesaria ] Una teoría de placas aprovecha esta disparidad en la escala de longitud para reducir el problema} de mecánica de sólidos tridimensional completo a un problema bidimensional. El objetivo de la teoría de placas es calcular la deformación y las tensiones en una placa sometida a cargas.

De las numerosas teorías de placas que se han desarrollado desde finales del siglo XIX, dos son ampliamente aceptadas y utilizadas en ingeniería. Estos son

• Kirchhoff – Teoría del amor de las placas (teoría clásica de las placas)
• La teoría de las placas de Uflyand-Mindlin (teoría de las placas de corte de primer orden)

Kirchhoff-Teoría del amor por las placas delgadas

Deformación de una placa delgada resaltando el desplazamiento, la superficie media (rojo) y la normal a la superficie media (azul)

La teoría de Kirchhoff - Love es una extensión de la teoría del haz de Euler-Bernoulli a placas delgadas. La teoría fue desarrollada en 1888 por Love ^[2] utilizando supuestos propuestos por Kirchhoff. Se supone que se puede utilizar un plano medio de la superficie para representar la placa tridimensional en forma bidimensional.

En esta teoría se hacen las siguientes suposiciones cinemáticas: ^[3]

• Las líneas rectas normales a la mitad de la superficie permanecen rectas después de la deformación.
• Las líneas rectas normales a la mitad de la superficie permanecen normales a la mitad de la superficie después de la deformación.
• el espesor de la placa no cambia durante una deformación.

Campo de desplazamiento

La hipótesis de Kirchhoff implica que el campo de desplazamiento tiene la forma

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~{\frac {\partial w^{0}}{\partial x_{\alpha }}}=u_{\alpha }^{0}-x_{3}~w_{,\alpha }^{0}~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

donde y son las coordenadas cartesianas en la superficie media de la placa no deformada, es la coordenada para la dirección del espesor, son los desplazamientos en el plano de la superficie media y es el desplazamiento de la superficie media en la dirección. ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle x_{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$ ${\displaystyle u_{1}^{0},u_{2}^{0}}$ ${\displaystyle w^{0}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

Si son los ángulos de rotación de la normal a la superficie media, entonces en la teoría de Kirchhoff-Love ${\displaystyle \varphi _{\alpha }}$ ${\displaystyle \varphi _{\alpha }=w_{,\alpha }^{0}\,.}$

Relaciones deformación-desplazamiento

Para la situación donde las deformaciones en la placa son infinitesimales y las rotaciones de las normales de la superficie media son menores de 10°, las relaciones deformaciones-desplazamiento son

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\tfrac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Por lo tanto, las únicas deformaciones distintas de cero están en las direcciones dentro del plano.

Si las rotaciones de las normales a la superficie media están en el rango de 10° a 15°, las relaciones deformación-desplazamiento se pueden aproximar utilizando las deformaciones de von Kármán . Entonces, los supuestos cinemáticos de la teoría de Kirchhoff-Love conducen a las siguientes relaciones tensión-desplazamiento

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}~w_{,\beta }^{0})-x_{3}~w_{,\alpha \beta }^{0}\\\varepsilon _{\alpha 3}&=-w_{,\alpha }^{0}+w_{,\alpha }^{0}=0\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

Esta teoría es no lineal debido a los términos cuadráticos en las relaciones deformación-desplazamiento.

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio de la placa pueden derivarse del principio del trabajo virtual . Para la situación en la que las deformaciones y rotaciones de la placa son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio para una placa descargada vienen dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }&=0\end{aligned}}}$

donde las resultantes de la tensión y las resultantes del momento de la tensión se definen como

${\displaystyle N_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}~;~~M_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta }~dx_{3}}$

y el espesor de la placa es . Las cantidades son las tensiones. ${\displaystyle 2h}$ ${\displaystyle \sigma _{\alpha \beta }}$

Si la placa está cargada por una carga externa distribuida que es normal a la mitad de la superficie y dirigida en la dirección positiva, el principio del trabajo virtual conduce a las ecuaciones de equilibrio. ${\displaystyle q(x)}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q&=0\end{aligned}}}$

Para rotaciones moderadas, las relaciones deformación-desplazamiento toman la forma de von Karman y las ecuaciones de equilibrio se pueden expresar como

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\alpha }&=0\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }+[N_{\alpha \beta }~w_{,\beta }^{0}]_{,\alpha }-q&=0\end{aligned}}}$

Condiciones de borde

Las condiciones de frontera necesarias para resolver las ecuaciones de equilibrio de la teoría de placas se pueden obtener a partir de los términos de frontera del principio del trabajo virtual.

Para deformaciones pequeñas y rotaciones pequeñas, las condiciones de contorno son

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\\n_{\beta }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad w_{,\alpha }^{0}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que la cantidad es una fuerza cortante efectiva. ${\displaystyle n_{\alpha }~M_{\alpha \beta ,\beta }}$

Relaciones tensión-deformación

Las relaciones tensión-deformación para una placa de Kirchhoff elástica lineal están dadas por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Dado que y no aparecen en las ecuaciones de equilibrio, se supone implícitamente que estas cantidades no tienen ningún efecto sobre el equilibrio del momento y se desprecian. ${\displaystyle \sigma _{\alpha 3}}$ ${\displaystyle \sigma _{33}}$

Es más conveniente trabajar con las resultantes de tensión y momento que entran en las ecuaciones de equilibrio. Estos están relacionados con los desplazamientos por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}\,.}$

Las rigideces a la extensión son las cantidades

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Las rigideces a la flexión (también llamadas rigidez a la flexión ) son las cantidades

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Placa de Kirchhoff isotrópica y homogénea.

Para una placa isotrópica y homogénea, las relaciones tensión-deformación son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

Los momentos correspondientes a estas tensiones son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}^{0}\\w_{,22}^{0}\\w_{,12}^{0}\end{bmatrix}}}$

Flexión pura

Los desplazamientos y son cero en condiciones de flexión pura . Para una placa isotrópica y homogénea bajo flexión pura, la ecuación gobernante es ${\displaystyle u_{1}^{0}}$ ${\displaystyle u_{2}^{0}}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=0\quad {\text{where}}\quad w:=w^{0}\,.}$

En notación de índice,

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2~w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=0\,.}$

En notación tensorial directa, la ecuación gobernante es

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=0\,.}$

Carga transversal

Para una placa cargada transversalmente sin deformaciones axiales, la ecuación gobernante tiene la forma

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x_{2}^{4}}}=-{\frac {q}{D}}}$

dónde

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

En notación de índice,

${\displaystyle w_{,1111}^{0}+2\,w_{,1212}^{0}+w_{,2222}^{0}=-{\frac {q}{D}}}$

y en notación directa

${\displaystyle \nabla ^{2}\nabla ^{2}w=-{\frac {q}{D}}\,.}$

En coordenadas cilíndricas , la ecuación gobernante es ${\displaystyle (r,\theta ,z)}$

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left[r{\cfrac {d}{dr}}\left\{{\frac {1}{r}}{\cfrac {d}{dr}}\left(r{\cfrac {dw}{dr}}\right)\right\}\right]=-{\frac {q}{D}}\,.}$

Placa de Kirchhoff ortotrópica y homogénea.

Para una placa ortotrópica

${\displaystyle {\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {1}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

Por lo tanto,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h}{1-\nu _{12}\nu _{21}}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}D_{11}&D_{12}&D_{13}\\D_{21}&D_{22}&D_{23}\\D_{31}&D_{32}&D_{33}\end{bmatrix}}={\cfrac {2h^{3}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}{\begin{bmatrix}E_{1}&\nu _{12}E_{2}&0\\\nu _{21}E_{1}&E_{2}&0\\0&0&2G_{12}(1-\nu _{12}\nu _{21})\end{bmatrix}}\,.}$

Carga transversal

La ecuación gobernante de una placa ortotrópica de Kirchhoff cargada transversalmente por una carga distribuida por unidad de área es ${\displaystyle q}$

${\displaystyle D_{x}w_{,1111}^{0}+2D_{xy}w_{,1122}^{0}+D_{y}w_{,2222}^{0}=-q}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{x}&=D_{11}={\frac {2h^{3}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{y}&=D_{22}={\frac {2h^{3}E_{2}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\\D_{xy}&=D_{33}+{\tfrac {1}{2}}(\nu _{21}D_{11}+\nu _{12}D_{22})=D_{33}+\nu _{21}D_{11}={\frac {4h^{3}G_{12}}{3}}+{\frac {2h^{3}\nu _{21}E_{1}}{3(1-\nu _{12}\nu _{21})}}\,.\end{aligned}}}$

Dinámica de placas delgadas de Kirchhoff.

La teoría dinámica de placas determina la propagación de ondas en las placas, y el estudio de las ondas estacionarias y los modos de vibración.

Ecuaciones gubernamentales

Las ecuaciones que rigen la dinámica de una placa de Kirchhoff-Love son

${\displaystyle {\begin{aligned}N_{\alpha \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha }^{0}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta }-q(x,t)&=J_{1}~{\ddot {w}}^{0}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }^{0}\end{aligned}}}$

donde, para una placa con densidad , ${\displaystyle \rho =\rho (x)}$

${\displaystyle J_{1}:=\int _{-h}^{h}\rho ~dx_{3}=2~\rho ~h~;~~J_{3}:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}~\rho ~h^{3}}$

y

${\displaystyle {\dot {u}}_{i}={\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}~;~~{\ddot {u}}_{i}={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha }={\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{\alpha }}}~;~~u_{i,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{\alpha }\partial x_{\beta }}}}$

Las siguientes figuras muestran algunos modos de vibración de una placa circular.

• 
  modo k = 0, p = 1
• 
  modo k = 1, p = 2

Placas isotrópicas

Las ecuaciones gobernantes se simplifican considerablemente para placas isotrópicas y homogéneas para las cuales las deformaciones en el plano pueden despreciarse y tienen la forma

${\displaystyle D\,\left({\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{1}^{2}\partial x_{2}^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w^{0}}{\partial x_{2}^{4}}}\right)=-q(x_{1},x_{2},t)-2\rho h\,{\frac {\partial ^{2}w^{0}}{\partial t^{2}}}\,.}$

¿ Dónde está la rigidez a la flexión de la placa? Para una placa uniforme de espesor , ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle 2h}$

${\displaystyle D:={\cfrac {2h^{3}E}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

En notación directa

${\displaystyle D\,\nabla ^{2}\nabla ^{2}w^{0}=-q(x,y,t)-2\rho h\,{\ddot {w}}^{0}\,.}$

Teoría de Uflyand-Mindlin para placas gruesas

En la teoría de las placas gruesas, o teoría de Yakov S. Uflyand ^[4] (ver, para más detalles, el manual de Elishakoff ^[5] ), Raymond Mindlin ^[6] y Eric Reissner , la normal a la superficie media permanece recta pero no necesariamente perpendicular a la superficie media. Si y designe los ángulos que forma la superficie media con el eje, entonces ${\displaystyle \varphi _{1}}$ ${\displaystyle \varphi _{2}}$ ${\displaystyle x_{3}}$

${\displaystyle \varphi _{1}\neq w_{,1}~;~~\varphi _{2}\neq w_{,2}}$

Entonces la hipótesis de Mindlin-Reissner implica que

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{\alpha }(\mathbf {x} )&=u_{\alpha }^{0}(x_{1},x_{2})-x_{3}~\varphi _{\alpha }~;~~\alpha =1,2\\u_{3}(\mathbf {x} )&=w^{0}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}}$

Relaciones deformación-desplazamiento

Dependiendo de la cantidad de rotación de las normales de las placas, se pueden derivar dos aproximaciones diferentes para las deformaciones a partir de los supuestos cinemáticos básicos.

Para deformaciones y rotaciones pequeñas, las relaciones deformación-desplazamiento para placas de Mindlin-Reissner son

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon _{\alpha \beta }&={\frac {1}{2}}(u_{\alpha ,\beta }^{0}+u_{\beta ,\alpha }^{0})-{\frac {x_{3}}{2}}~(\varphi _{\alpha ,\beta }+\varphi _{\beta ,\alpha })\\\varepsilon _{\alpha 3}&={\cfrac {1}{2}}\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)\\\varepsilon _{33}&=0\end{aligned}}}$

En esta teoría no se desprecia la deformación cortante, y por tanto el esfuerzo cortante , a través del espesor de la placa. Sin embargo, la deformación cortante es constante en todo el espesor de la placa. Esto no puede ser exacto ya que se sabe que el esfuerzo cortante es parabólico incluso para geometrías de placas simples. Para tener en cuenta la inexactitud en la deformación por corte, se aplica un factor de corrección de corte ( ) de modo que la teoría prediga la cantidad correcta de energía interna. Entonces ${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \varepsilon _{\alpha 3}={\cfrac {1}{2}}~\kappa ~\left(w_{,\alpha }^{0}-\varphi _{\alpha }\right)}$

Ecuaciones de equilibrio

Las ecuaciones de equilibrio tienen formas ligeramente diferentes dependiendo de la cantidad de flexión esperada en la placa. Para la situación en la que las deformaciones y rotaciones de la placa son pequeñas, las ecuaciones de equilibrio para una placa de Mindlin-Reissner son

${\displaystyle {\begin{aligned}&N_{\alpha \beta ,\alpha }=0\\&M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }=0\\&Q_{\alpha ,\alpha }+q=0\,.\end{aligned}}}$

Las fuerzas cortantes resultantes en las ecuaciones anteriores se definen como

${\displaystyle Q_{\alpha }:=\kappa ~\int _{-h}^{h}\sigma _{\alpha 3}~dx_{3}\,.}$

Condiciones de borde

Las condiciones de contorno están indicadas por los términos de contorno en el principio del trabajo virtual.

Si la única fuerza externa es una fuerza vertical sobre la superficie superior de la placa, las condiciones de contorno son

${\displaystyle {\begin{aligned}n_{\alpha }~N_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad u_{\beta }^{0}\\n_{\alpha }~M_{\alpha \beta }&\quad \mathrm {or} \quad \varphi _{\alpha }\\n_{\alpha }~Q_{\alpha }&\quad \mathrm {or} \quad w^{0}\end{aligned}}}$

Relaciones constitutivas

Las relaciones tensión-deformación para una placa elástica lineal de Mindlin-Reissner están dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\alpha \beta }&=C_{\alpha \beta \gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{\alpha 3}&=C_{\alpha 3\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\\\sigma _{33}&=C_{33\gamma \theta }~\varepsilon _{\gamma \theta }\end{aligned}}}$

Como no aparece en las ecuaciones de equilibrio, se supone implícitamente que no tiene ningún efecto sobre el equilibrio del momento y se desprecia. Este supuesto también se denomina supuesto de tensión plana . Las relaciones tensión-deformación restantes para un material ortotrópico , en forma matricial, se pueden escribir como ${\displaystyle \sigma _{33}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&0&0&0\\0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}}$

Entonces,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}=\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-\left\{\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&0\\C_{12}&C_{22}&0\\0&0&C_{66}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}~(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}}$

Para los términos de corte

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}={\cfrac {\kappa }{2}}\left\{\int _{-h}^{h}{\begin{bmatrix}C_{55}&0\\0&C_{44}\end{bmatrix}}~dx_{3}\right\}{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}}$

Las rigideces a la extensión son las cantidades

${\displaystyle A_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Las rigideces a la flexión son las cantidades

${\displaystyle D_{\alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~C_{\alpha \beta }~dx_{3}}$

Placas Uflyand-Mindlin isotrópicas y homogéneas.

Para placas uniformemente gruesas, homogéneas e isotrópicas, las relaciones tensión-deformación en el plano de la placa son

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {E}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

donde es el módulo de Young, es la relación de Poisson y son las deformaciones en el plano. Las tensiones y deformaciones cortantes a través del espesor están relacionadas por ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \beta }}$

${\displaystyle \sigma _{31}=2G\varepsilon _{31}\quad {\text{and}}\quad \sigma _{32}=2G\varepsilon _{32}}$

¿ Dónde está el módulo de corte ? ${\displaystyle G=E/(2(1+\nu ))}$

Relaciones constitutivas

Las relaciones entre las tensiones resultantes y los desplazamientos generalizados para una placa isotrópica de Mindlin-Reissner son:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}N_{11}\\N_{22}\\N_{12}\end{bmatrix}}={\cfrac {2Eh}{1-\nu ^{2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1,1}^{0}\\u_{2,2}^{0}\\{\frac {1}{2}}~(u_{1,2}^{0}+u_{2,1}^{0})\end{bmatrix}}\,,}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}M_{11}\\M_{22}\\M_{12}\end{bmatrix}}=-{\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varphi _{1,1}\\\varphi _{2,2}\\{\frac {1}{2}}(\varphi _{1,2}+\varphi _{2,1})\end{bmatrix}}\,,}$

y

${\displaystyle {\begin{bmatrix}Q_{1}\\Q_{2}\end{bmatrix}}=\kappa Gh{\begin{bmatrix}w_{,1}^{0}-\varphi _{1}\\w_{,2}^{0}-\varphi _{2}\end{bmatrix}}\,.}$

La rigidez a la flexión se define como la cantidad

${\displaystyle D={\cfrac {2Eh^{3}}{3(1-\nu ^{2})}}\,.}$

Para una placa de espesor , la rigidez a la flexión tiene la forma ${\displaystyle H}$

${\displaystyle D={\cfrac {EH^{3}}{12(1-\nu ^{2})}}\,.}$

dónde ${\displaystyle h={\frac {H}{2}}}$

Ecuaciones gubernamentales

Si ignoramos la extensión en el plano de la placa, las ecuaciones gobernantes son

${\displaystyle {\begin{aligned}M_{\alpha \beta ,\beta }-Q_{\alpha }&=0\\Q_{\alpha ,\alpha }+q&=0\,.\end{aligned}}}$

En términos de las deformaciones generalizadas , las tres ecuaciones gobernantes son ${\displaystyle w^{0},\varphi _{1},\varphi _{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}+{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}\right)=-{\frac {q}{D}}\\&\nabla ^{2}w^{0}-{\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{2}}}=-{\frac {q}{\kappa Gh}}\\&\nabla ^{2}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)=-{\frac {2\kappa Gh}{D(1-\nu )}}\left({\frac {\partial \varphi _{1}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial \varphi _{2}}{\partial x_{1}}}\right)\,.\end{aligned}}}$

Las condiciones de contorno a lo largo de los bordes de una placa rectangular son

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{simply supported}}\quad &\quad w^{0}=0,M_{11}=0~({\text{or}}~M_{22}=0),\varphi _{1}=0~({\text{or}}~\varphi _{2}=0)\\{\text{clamped}}\quad &\quad w^{0}=0,\varphi _{1}=0,\varphi _{2}=0\,.\end{aligned}}}$

Teoría estática de Reissner-Stein para placas en voladizo isotrópico

En general, las soluciones exactas para placas en voladizo utilizando la teoría de placas son bastante complicadas y se pueden encontrar pocas soluciones exactas en la literatura. Reissner y Stein ^[7] proporcionan una teoría simplificada para placas en voladizo que supone una mejora con respecto a teorías más antiguas, como la teoría de placas de Saint-Venant.

La teoría de Reissner-Stein supone un campo de desplazamiento transversal de la forma

${\displaystyle w(x,y)=w_{x}(x)+y\,\theta _{x}(x)\,.}$

Las ecuaciones que rigen la placa se reducen a dos ecuaciones diferenciales ordinarias acopladas:

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\frac {\mathrm {d} ^{4}w_{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}=q_{1}(x)-n_{1}(x){\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{1}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}\\&{\frac {b^{3}D}{12}}\,{\frac {\mathrm {d} ^{4}\theta _{x}}{\mathrm {d} x^{4}}}-2bD(1-\nu ){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}=q_{2}(x)-n_{3}(x){\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}-{\cfrac {dn_{3}}{dx}}\,{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}-{\frac {n_{2}(x)}{2}}\,{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}-{\frac {1}{2}}{\cfrac {dn_{2}}{dx}}\,{\cfrac {dw_{x}}{dx}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{1}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~q_{2}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{1}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\\n_{2}(x)&=\int _{-b/2}^{b/2}y\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y~,~~n_{3}(x)=\int _{-b/2}^{b/2}y^{2}\,n_{x}(x,y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

En , dado que la viga está sujeta, las condiciones de contorno son ${\displaystyle x=0}$

${\displaystyle w(0,y)={\cfrac {dw}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\qquad \implies \qquad w_{x}(0)={\cfrac {dw_{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=\theta _{x}(0)={\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}{\Bigr |}_{x=0}=0\,.}$

Las condiciones de contorno en son ${\displaystyle x=a}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&bD{\cfrac {d^{3}w_{x}}{dx^{3}}}+n_{1}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+q_{x1}=0\\&{\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{3}\theta _{x}}{dx^{3}}}+\left[n_{3}(x)-2bD(1-\nu )\right]{\cfrac {d\theta _{x}}{dx}}+n_{2}(x){\cfrac {dw_{x}}{dx}}+t=0\\&bD{\cfrac {d^{2}w_{x}}{dx^{2}}}+m_{1}=0\quad ,\quad {\frac {b^{3}D}{12}}{\cfrac {d^{2}\theta _{x}}{dx^{2}}}+m_{2}=0\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}&=\int _{-b/2}^{b/2}m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~m_{2}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,m_{x}(y)\,{\text{d}}y~,~~q_{x1}=\int _{-b/2}^{b/2}q_{x}(y)\,{\text{d}}y\\t&=q_{x2}+m_{3}=\int _{-b/2}^{b/2}y\,q_{x}(y)\,{\text{d}}y+\int _{-b/2}^{b/2}m_{xy}(y)\,{\text{d}}y\,.\end{aligned}}}$

Ver también

• Doblado de placas
• Vibración de placas
• Teoría de la deformación infinitesimal
• Teoría de membranas de las conchas.
• Teoría de la deformación finita
• Estrés (mecánica)
• Resultantes de estrés
• Elasticidad lineal
• Doblar
• Ecuaciones de Föppl-von Kármán
• Ecuación del haz de Euler-Bernoulli
• Teoría del haz de Timoshenko

Referencias

1. Timoshenko, S. y Woinowsky-Krieger, S. "Teoría de placas y conchas". McGraw-Hill Nueva York, 1959.
2. AEH Love, Sobre las pequeñas vibraciones libres y deformaciones de las capas elásticas , Trans filosófica. de la Royal Society (Londres), 1888, vol. serie A, N° 17 p. 491–549.
3. Reddy, JN, 2007, Teoría y análisis de placas y conchas elásticas , CRC Press, Taylor y Francis.
4. Uflyand, Ya. S., 1948, Propagación de ondas mediante vibraciones transversales de vigas y placas, PMM: Journal of Applied Mathematics and Mechanics, vol. 12, 287-300 (en ruso)
5. Elishakoff, I., 2020, Manual sobre las teorías del haz de Timoshenko-Ehrenfest y de las placas Uflyand-Mindlin , World Scientific, Singapur, ISBN  978-981-3236-51-6
6. RD Mindlin, Influencia de la inercia rotatoria y el corte en los movimientos de flexión de placas elásticas isotrópicas , Journal of Applied Mechanics, 1951, vol. 18p. 31–38.
7. E. Reissner y M. Stein. Torsión y flexión transversal de placas en voladizo. Nota técnica 2369, Comité Asesor Nacional de Aeronáutica, Washington, 1951.