Vuelo de Lévy

Caminata aleatoria con pasos de cola pesada

Un vuelo de Lévy es un paseo aleatorio en el que las longitudes de los pasos tienen una distribución estable ^[1] , una distribución de probabilidad de cola pesada . Cuando se define como un paseo en un espacio de dimensión mayor que uno, los pasos dados son en direcciones aleatorias isotrópicas . Investigadores posteriores han extendido el uso del término "vuelo de Lévy" para incluir también casos en los que el paseo aleatorio tiene lugar en una cuadrícula discreta en lugar de en un espacio continuo. ^[2]

El término "vuelo de Lévy" fue acuñado en honor a Paul Lévy por Benoît Mandelbrot ^[3], quien lo utilizó para una definición específica de la distribución de tamaños de paso. Utilizó el término " vuelo de Cauchy" para el caso en que la distribución de tamaños de paso es una distribución de Cauchy [ ^4] y "vuelo de Rayleigh" para cuando la distribución es una distribución normal ^[5] (que no es un ejemplo de una distribución de probabilidad de cola pesada).

El caso particular para el cual Mandelbrot utilizó el término "vuelo de Lévy" ^[3] está definido por la función de supervivencia de la distribución de tamaños de paso, U , siendo ^[6]

${\displaystyle \Pr(U>u)={\begin{cases}1&:\ u<1,\\u^{-D}&:\ u\geq 1.\end{cases}}}$

Aquí D es un parámetro relacionado con la dimensión fractal y la distribución es un caso particular de la distribución de Pareto .

Propiedades

Los vuelos de Lévy son, por construcción, procesos de Markov . Para distribuciones generales del tamaño de paso, que satisfacen la condición de potencia similar, la distancia desde el origen del recorrido aleatorio tiende, después de un gran número de pasos, a una distribución estable debido al teorema del límite central generalizado , lo que permite que muchos procesos se modelen utilizando vuelos de Lévy.

Las densidades de probabilidad de las partículas que experimentan un vuelo de Levy se pueden modelar utilizando una versión generalizada de la ecuación de Fokker-Planck , que se utiliza habitualmente para modelar el movimiento browniano . La ecuación requiere el uso de derivadas fraccionarias . Para longitudes de salto que tienen una distribución de probabilidad simétrica, la ecuación adopta una forma simple en términos de la derivada fraccionaria de Riesz . En una dimensión, la ecuación se lee como

${\displaystyle {\frac {\partial \varphi (x,t)}{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}f(x,t)\varphi (x,t)+\gamma {\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}}$

donde γ es una constante similar a la constante de difusión, α es el parámetro de estabilidad ^{[ cita requerida ]} y f ( x , t ) es el potencial. La derivada de Riesz se puede entender en términos de su Transformada de Fourier .

${\displaystyle F_{k}\left[{\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}\right]=-|k|^{\alpha }F_{k}[\varphi (x,t)]}$

Esto se puede ampliar fácilmente a múltiples dimensiones.

Otra propiedad importante del vuelo de Lévy es la de las varianzas divergentes en todos los casos excepto en el de α  = 2, es decir, el movimiento browniano. En general, el momento fraccionario θ de la distribución diverge si α  ≤  θ . Además,

${\displaystyle \left\langle |x|^{\theta }\right\rangle \propto t^{\theta /\alpha }\quad {\text{if }}\theta <\alpha .}$

La escala exponencial de las longitudes de los pasos otorga a los vuelos de Lévy una propiedad invariante de escala , ^{[ cita requerida ]} y se utilizan para modelar datos que exhiben agrupamiento. ^{[ cita requerida ]}

Figura 1. Ejemplo de 1000 pasos de un vuelo de Lévy en dos dimensiones. El origen del movimiento está en [0,0], la dirección angular se distribuye uniformemente y el tamaño del paso se distribuye según una distribución de Lévy (es decir, estable ) con α  = 1 y β  = 0, que es una distribución de Cauchy . Nótese la presencia de grandes saltos en la ubicación en comparación con el movimiento browniano ilustrado en la Figura 2.

Figura 2. Ejemplo de 1000 pasos de una aproximación a un tipo de movimiento browniano de vuelo de Lévy en dos dimensiones. El origen del movimiento está en [0, 0], la dirección angular se distribuye uniformemente y el tamaño del paso se distribuye según una distribución de Lévy (es decir, estable ) con α  = 2 y β  = 0 ( es decir, una distribución normal ).

Aplicaciones

La definición de vuelo de Lévy proviene de las matemáticas relacionadas con la teoría del caos y es útil en mediciones estocásticas y simulaciones de fenómenos naturales aleatorios o pseudoaleatorios. Algunos ejemplos incluyen análisis de datos de terremotos , matemáticas financieras , criptografía , análisis de señales, así como muchas aplicaciones en astronomía , biología y física .

Se ha descubierto que el salto entre estados climáticos observados en el registro paleoclimático puede describirse como un vuelo de Lévy o un proceso alfa-estable ^[7] Otra aplicación es la hipótesis de búsqueda de alimento del vuelo de Lévy . Cuando los tiburones y otros depredadores oceánicos no pueden encontrar comida, abandonan el movimiento browniano , el movimiento aleatorio observado en las moléculas de gas arremolinadas, por el vuelo de Lévy, una mezcla de trayectorias largas y movimientos cortos y aleatorios que se encuentran en fluidos turbulentos. Los investigadores analizaron más de 12 millones de movimientos registrados durante 5700 días en 55 animales etiquetados con registradores de datos de 14 especies de depredadores oceánicos en los océanos Atlántico y Pacífico, incluidos tiburones sedosos , atún de aleta amarilla , marlín azul y pez espada. Los datos mostraron que los vuelos de Lévy intercalados con el movimiento browniano pueden describir los patrones de caza de los animales. ^{[8] [9] [10] [11]} Las aves y otros animales (incluidos los humanos) ^[12] siguen caminos que se han modelado utilizando el vuelo de Lévy (por ejemplo, cuando buscan comida). ^[13] Un ejemplo de un animal, específicamente un escarabajo, que utiliza patrones de vuelo de Lévy es Pterostichus melanarius . Cuando los escarabajos tienen hambre y la comida es escasa, evitan buscar presas en lugares que otros individuos de P. melanarius han visitado . Este comportamiento es óptimo para presas ampliamente dispersas que no siempre pueden ser consumidas por completo de una sola vez, como las babosas. ^[14]

Además, el vuelo biológico también puede ser imitado aparentemente por otros modelos como los paseos aleatorios correlacionados compuestos, que crecen a través de escalas para converger en paseos de Lévy óptimos. ^[13] Los paseos brownianos compuestos pueden ajustarse finamente a paseos de Lévy teóricamente óptimos, pero no son tan eficientes como la búsqueda de Lévy en la mayoría de los tipos de paisajes, lo que sugiere que la presión de selección para las características del paseo de Lévy es más probable que los patrones difusivos normales de múltiples escalas. ^[15]

El enrutamiento eficiente en una red se puede realizar mediante enlaces que tengan una distribución de longitud de vuelo de Levy con valores específicos de alfa. ^[2]

Véase también

• Difusión anómala
• Distribución de cola gorda
• Distribución de cola pesada
• Proceso Lévy
• Distribución alfa estable de Lévy
• Hipótesis de alimentación mediante el vuelo de Lévy

Notas

1. Chechkin, Alexei V.; Metzler, Ralf; Klafter, Joseph; Gonchar, Vsevolod Yu. (2008). "Introducción a la teoría de los vuelos de Lévy". Transporte anómalo . págs. 129–162. doi :10.1002/9783527622979.ch5. ISBN 9783527622979.
2. JM Kleinberg (2000). "Navegación en un mundo pequeño". Nature . 406 (6798): 845. Bibcode :2000Natur.406..845K. doi : 10.1038/35022643 . PMID  10972276.
3. Mandelbrot (1982, pág. 289)
4. Mandelbrot (1982, pág. 290)
5. Mandelbrot (1982, pág. 288)
6. Mandelbrot (1982, pág. 294)
7. PD Ditlevsen, "Observación de ruido alfa estable y un potencial climático biestable en un registro de núcleos de hielo", Geophys. Res. Lett 26, 1441-1444, 1999.
8. Sims, David W.; Southall, Emily J.; Humphries, Nicolas E.; Hays, Graeme C.; Bradshaw, Corey JA; Pitchford, Jonathan W.; James, Alex; Ahmed, Mohammed Z.; Brierley, Andrew S.; Hindell, Mark A.; Morritt, David; Musyl, Michael K.; Righton, David; Shepard, Emily LC; Wearmouth, Victoria J.; Wilson, Rory P.; Witt, Matthew J.; Metcalfe, Julian D. (2008). "Leyes de escala del comportamiento de búsqueda de los depredadores marinos". Nature . 451 (7182): 1098–1102. Bibcode :2008Natur.451.1098S. doi :10.1038/nature06518. PMID  18305542. S2CID  4412923.
9. Humphries, Nicolas E.; Queiroz, Nuno; Dyer, Jennifer RM; Pade, Nicolas G.; Musyl, Michael K.; Schaefer, Kurt M.; Fuller, Daniel W.; Brunnschweiler, Juerg M.; Doyle, Thomas K.; Houghton, Jonathan DR; Hays, Graeme C.; Jones, Catherine S.; Noble, Leslie R.; Wearmouth, Victoria J.; Southall, Emily J.; Sims, David W. (2010). "El contexto ambiental explica los patrones de movimiento de Lévy y Brownian de los depredadores marinos" (PDF) . Nature . 465 (7301): 1066–1069. Código Bibliográfico :2010Natur.465.1066H. doi :10.1038/nature09116. Número de modelo: PMID  20531470. Número de modelo: S2CID  4316766.
10. Witze, Alexandra. "Los tiburones tienen habilidades matemáticas". discovery.com . Consultado el 22 de febrero de 2013 .
11. Dacey, James (11 de junio de 2010). "Los tiburones cazan mediante vuelos de Lévy". physicsworld.com . Consultado el 22 de febrero de 2013 .
12. Reynolds, Gretchen (1 de enero de 2014). "Navegando por nuestro mundo como los pájaros" y algunos autores han afirmado que el movimiento de las abejas. The New York Times .
13. Sims, David W. ; Reynolds, Andrew M.; Humphries, Nicholas E.; Southall, Emily J.; Wearmouth, Victoria J.; Metcalfe, Brett; Twitchett, Richard J. (29 de julio de 2014). "Paseos aleatorios jerárquicos en fósiles traza y el origen del comportamiento de búsqueda óptimo". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 111 (30): 11073–11078. Bibcode :2014PNAS..11111073S. doi : 10.1073/pnas.1405966111 . ISSN  0027-8424. PMC 4121825 . PMID  25024221. 
14. Guy, Adam G.; Bohan, David A.; Powers, Stephen J.; Reynolds, Andrew M. (1 de septiembre de 2008). "Evitación del olor de los miembros de la misma especie por parte de los escarabajos carábidos: un mecanismo para la aparición de patrones de búsqueda sin escamas". Animal Behaviour . 76 (3): 585–591. doi :10.1016/j.anbehav.2008.04.004. ISSN  0003-3472.
15. Humphries, NE; Sims, DW (2014). "Estrategias óptimas de forrajeo: los paseos de Lévy equilibran la búsqueda y la explotación de parches en una amplia gama de condiciones" (PDF) . Journal of Theoretical Biology . 358 : 179–193. Bibcode :2014JThBi.358..179H. doi :10.1016/j.jtbi.2014.05.032. PMID  24882791.

Referencias

• Mandelbrot, Benoit B. (1982). La geometría fractal de la naturaleza (edición actualizada y aumentada). Nueva York: WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9.OCLC 7876824  .

Lectura adicional

• Cheng, Z.; Savit, R. (1987). "Comportamiento fractal y no fractal en vuelos de Levy" (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 28 (3): 592. Bibcode :1987JMP....28..592C. doi :10.1063/1.527644. hdl : 2027.42/70735 .
• Shlesinger, Michael F.; Klafter, Joseph; Zumofen, Gert (diciembre de 1999). "Above, below and beyond brownian motion" (PDF) . American Journal of Physics . 67 (12): 1253–1259. Bibcode :1999AmJPh..67.1253S. doi :10.1119/1.19112. Archivado desde el original (PDF) el 28 de marzo de 2012.

Enlaces externos

• Comparación de las pinturas de Jackson Pollock con un modelo de vuelo de Lévy