Mecanismo de Higgs

Mecanismo que explica la generación de masa para bosones de calibre

En el Modelo Estándar de física de partículas , el mecanismo de Higgs es esencial para explicar el mecanismo de generación de la propiedad " masa " de los bosones calibre . Sin el mecanismo de Higgs, todos los bosones (una de las dos clases de partículas, la otra son fermiones ) se considerarían sin masa , pero las mediciones muestran que los bosones W ⁺ , W- ^y Z0 en realidad tienen masas relativamente grandes, alrededor de 80 GeV . / c ² . El campo de Higgs resuelve este enigma. La descripción más simple del mecanismo añade al modelo estándar un campo cuántico (el campo de Higgs ) que impregna todo el espacio. Por debajo de una temperatura extremadamente alta, el campo provoca una ruptura espontánea de la simetría durante las interacciones. La ruptura de la simetría desencadena el mecanismo de Higgs, lo que hace que los bosones con los que interactúa tengan masa. En el modelo estándar, la frase "mecanismo de Higgs" se refiere específicamente a la generación de masas para los bosones de calibre débiles W ^± y Z mediante ruptura de simetría electrodébil . ^[1] El Gran Colisionador de Hadrones del CERN anunció resultados consistentes con la partícula de Higgs el 14 de marzo de 2013, lo que hace extremadamente probable que exista el campo, o uno similar, y explica cómo tiene lugar el mecanismo de Higgs en la naturaleza. La opinión de que el mecanismo de Higgs implica la ruptura espontánea de una simetría de calibre es técnicamente incorrecta ya que, según el teorema de Elitzur, las simetrías de calibre nunca pueden romperse espontáneamente. Más bien, el mecanismo de Fröhlich -Morchio-Strocchi reformula el mecanismo de Higgs de una manera totalmente invariante de calibre, lo que generalmente conduce a los mismos resultados. ^[2]

El mecanismo fue propuesto en 1962 por Philip Warren Anderson , ^[3] tras un trabajo realizado a finales de la década de 1950 sobre la ruptura de la simetría en la superconductividad y un artículo de 1960 de Yoichiro Nambu que analizaba su aplicación en la física de partículas .

Una teoría capaz de explicar finalmente la generación en masa sin "romper" la teoría del calibre fue publicada casi simultáneamente por tres grupos independientes en 1964: por Robert Brout y François Englert ; ^[4] por Peter Higgs ; ^[5] y por Gerald Guralnik , CR Hagen y Tom Kibble . ^{[6] [7] [8]} Por lo tanto, el mecanismo de Higgs también se denomina mecanismo de Brout-Englert-Higgs , o mecanismo de Englert-Brout-Higgs-Guralnik-Hagen-Kibble , ^[9] Mecanismo de Anderson-Higgs , ^[10] Anderson –Mecanismo Higgs-Kibble , ^[11] Mecanismo Higgs-Kibble de Abdus Salam ^[12] y mecanismo ABEGHHK'tH (para Anderson, Brout, Englert, Guralnik, Hagen, Higgs, Kibble y 't Hooft ) de Peter Higgs. ^[12] El mecanismo de Higgs en electrodinámica también fue descubierto independientemente por Eberly y Reiss a la inversa como la ganancia de masa del campo de Dirac "calibre" debido al campo electromagnético desplazado artificialmente como un campo de Higgs. ^[13]

El 8 de octubre de 2013, tras el descubrimiento en el Gran Colisionador de Hadrones del CERN de una nueva partícula que parecía ser el bosón de Higgs largamente buscado y predicho por la teoría, se anunció que Peter Higgs y François Englert habían recibido el Premio Nobel de Física de 2013. . ^{[a] [14]}

Modelo estandar

El mecanismo de Higgs fue incorporado a la física de partículas moderna por Steven Weinberg y Abdus Salam , y es una parte esencial del Modelo Estándar .

En el modelo estándar, a temperaturas lo suficientemente altas como para que la simetría electrodébil no se rompa, todas las partículas elementales carecen de masa. A una temperatura crítica, el campo de Higgs desarrolla un valor esperado de vacío ; Algunas teorías sugieren que la simetría se rompe espontáneamente por la condensación de taquiones , y los bosones W y Z adquieren masas (también llamado "rotura de simetría electrodébil", o EWSB ). En la historia del universo, se cree que esto sucedió aproximadamente un picosegundo (10 ⁻¹² s) después del big bang caliente, cuando el universo estaba a una temperatura de 159,5 ± 1,5  GeV . ^[15]

Los fermiones, como los leptones y los quarks del modelo estándar, también pueden adquirir masa como resultado de su interacción con el campo de Higgs, pero no de la misma manera que los bosones de calibre.

Estructura del campo de Higgs

En el modelo estándar, el campo de Higgs es un doblete SU (2) (es decir, la representación estándar con dos componentes complejos llamados isospin), que es un escalar según las transformaciones de Lorentz. Su carga eléctrica es cero; su isospin débil es1/2y el tercer componente del isospin débil es:1/2; y su hipercarga débil (la carga para el grupo calibre U (1) definido hasta una constante multiplicativa arbitraria) es 1. Bajo rotaciones U (1), se multiplica por una fase, que así mezcla las partes real e imaginaria del espinor complejo entre sí, combinándose con la representación compleja estándar de dos componentes del grupo U (2).

El campo de Higgs, a través de las interacciones especificadas (resumidas, representadas o incluso simuladas) por su potencial, induce la rotura espontánea de tres de los cuatro generadores ("direcciones") del grupo calibre U (2). Esto a menudo se escribe como SU (2) _L × U (1) _Y (que, estrictamente hablando, es lo mismo en el nivel de simetrías infinitesimales) porque el factor de fase diagonal también actúa en otros campos, en particular los quarks . Tres de sus cuatro componentes normalmente se resolverían como bosones de Goldstone , si no estuvieran acoplados para medir campos.

Sin embargo, después de la ruptura de la simetría, estos tres de los cuatro grados de libertad en el campo de Higgs se mezclan con los tres bosones W y Z (
W.⁺
,
W.⁻
y
z⁰
), y sólo son observables como componentes de estos bosones débiles , que se vuelven masivos por su inclusión; sólo el grado de libertad restante se convierte en una nueva partícula escalar: el bosón de Higgs . Los componentes que no se mezclan con los bosones de Goldstone forman un fotón sin masa.

El fotón como parte que permanece sin masa.

El grupo de calibre de la parte electrodébil del modelo estándar es SU (2) _L × U (1) _Y. El grupo SU (2) es el grupo de todas las matrices unitarias de 2 por 2 con determinante unitario; todos los cambios ortonormales de coordenadas en un espacio vectorial bidimensional complejo.

Al girar las coordenadas de modo que el segundo vector base apunte en la dirección del bosón de Higgs, el valor esperado de vacío de H es el espinor (0, v ) . Los generadores de rotaciones alrededor de los ejes x, y y z son la mitad de las matrices de Pauli σ _x , σ _y y σ _z , de modo que una rotación de ángulo θ alrededor del eje z lleva el vacío a

${\displaystyle \ {\Bigl (}\ 0\ ,\ v\ e^{-{\tfrac {1}{2}}\ i\ \theta }\ {\Bigr )}~.}$

Mientras que los generadores T _x y T _y mezclan los componentes superior e inferior del espinor , las rotaciones T _z solo multiplican cada una por fases opuestas. Esta fase se puede deshacer mediante una rotación U (1) del ángulo  1 / 2  θ . En consecuencia, bajo una rotación SU (2) T _z y una rotación U (1) en una cantidad  1 / 2  θ , el vacío es invariante.

Esta combinación de generadores

${\displaystyle \ Q=T_{3}+{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}\ }$

define la parte continua del grupo de calibre, donde Q es la carga eléctrica, T ₃ es el generador de rotaciones alrededor de los 3 ejes en el SU (2) e Y _W es el generador de hipercarga débil del U (1). Esta combinación de generadores (una rotación de 3 en el SU (2) y una rotación simultánea de U (1) en la mitad del ángulo) preserva el vacío y define el grupo de calibre ininterrumpido en el modelo estándar, es decir, el grupo de carga eléctrica. La parte del campo de calibre en esta dirección permanece sin masa y equivale al fotón físico. Por el contrario, la carga ortogonal de traza rota se acopla a la masa masiva ${\displaystyle \ T_{3}-{\tfrac {\ 1\ }{2}}\ Y_{\mathsf {W}}=2\ T_{3}-Q\ }$
z⁰
 bosón.

Consecuencias para los fermiones

A pesar de la introducción de la ruptura espontánea de la simetría, los términos de masa excluyen la invariancia de calibre quiral. Para estos campos, los términos de masa siempre deben reemplazarse por un mecanismo de "Higgs" invariante de calibre. Una posibilidad es algún tipo de acoplamiento de Yukawa (ver más abajo) entre el campo de fermiones ψ y el campo de Higgs φ , con acoplamientos desconocidos G _ψ , que después de romperse la simetría (más precisamente: después de la expansión de la densidad de Lagrange alrededor de un estado fundamental adecuado) nuevamente da como resultado los términos de masa originales, que ahora, sin embargo (es decir, mediante la introducción del campo de Higgs) se escriben de forma invariante en cuanto a calibre. La densidad de Lagrange para la interacción Yukawa de un campo de fermiones ψ y el campo de Higgs φ es

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {Fermion} }(\phi ,A,\psi )~=~{\overline {\psi }}\ \gamma ^{\mu }\ D_{\mu }\ \psi ~+~G_{\psi }\ {\overline {\psi }}\ \phi \ \psi \ ,}$

donde nuevamente el campo de calibre A solo ingresa a través del operador derivado covariante de calibre D _μ (es decir, solo es visible indirectamente). Las cantidades γ _μ son las matrices de Dirac , y G _ψ es el parámetro de acoplamiento de Yukawa ya mencionado para ψ . Ahora bien, la generación en masa sigue el mismo principio anterior, es decir, de la existencia de un valor esperado finito. Nuevamente, esto es crucial para la existencia de la masa de propiedad . ${\displaystyle \ |\langle \phi \rangle |~.}$

Historia de la investigación

Fondo

La ruptura espontánea de simetría ofreció un marco para introducir bosones en las teorías relativistas de campos cuánticos. Sin embargo, según el teorema de Goldstone , estos bosones no deberían tener masa. ^[16] Las únicas partículas observadas que podrían interpretarse aproximadamente como bosones de Goldstone fueron los piones , que Yoichiro Nambu relacionó con la ruptura de la simetría quiral .

Un problema similar surge con la teoría de Yang-Mills (también conocida como teoría de calibre no abeliano ), que predice bosones de calibre de espín -1 sin masa . Los bosones calibre sin masa que interactúan débilmente conducen a fuerzas de largo alcance, que solo se observan en el electromagnetismo y el correspondiente fotón sin masa . Las teorías de calibre de la fuerza débil necesitaban una forma de describir los bosones de calibre masivos para ser consistentes.

Descubrimiento

Philip W. Anderson, el primero en implementar el mecanismo en 1962.

Cinco de los seis ganadores del Premio APS Sakurai 2010 : (de izquierda a derecha) Tom Kibble, Gerald Guralnik, Carl Richard Hagen, François Englert y Robert Brout

Peter Higgs (2009)

Julian Schwinger ^[17] observó en 1961 que la ruptura de las simetrías de calibre no conducía a partículas sin masa, pero no demostró que se producirían partículas masivas. Esto se hizo en el artículo de Philip Warren Anderson de 1962 ^[3] pero sólo en la teoría de campos no relativista; También discutió las consecuencias para la física de partículas, pero no desarrolló un modelo relativista explícito. El modelo relativista fue desarrollado en 1964 por tres grupos independientes:

• Robert Brout y François Englert ^[4]
• Peter Higgs ^[5]
• Gerald Guralnik , Carl Richard Hagen y Tom Kibble . ^{[6] [7] [8]}

Un poco más tarde, en 1965, pero independientemente de las otras publicaciones ^{[18] [19] [20] [21] [22] [23]} el mecanismo también fue propuesto por Alexander Migdal y Alexander Polyakov , ^[24] en aquel entonces estudiante soviético estudiantes. Sin embargo, su artículo fue retrasado por la oficina editorial de JETP y se publicó tarde, en 1966.

El mecanismo es muy análogo a los fenómenos descubiertos previamente por Yoichiro Nambu que involucran la "estructura de vacío" de los campos cuánticos en la superconductividad . ^[25] Ernst Stueckelberg había estudiado previamente un efecto similar pero distinto (que implica una realización afín de lo que ahora se reconoce como el campo de Higgs), conocido como mecanismo de Stueckelberg .

Estos físicos descubrieron que cuando una teoría de calibre se combina con un campo adicional que rompe espontáneamente el grupo de simetría, los bosones de calibre pueden adquirir consistentemente una masa distinta de cero. A pesar de los grandes valores involucrados (ver más abajo), esto permite una descripción de la fuerza débil mediante la teoría de calibre, que fue desarrollada independientemente por Steven Weinberg y Abdus Salam en 1967. El artículo original de Higgs que presentaba el modelo fue rechazado por Physics Letters . Al revisar el artículo antes de volver a enviarlo a Physical Review Letters , añadió una frase al final, ^[26] mencionando que implica la existencia de uno o más bosones escalares masivos nuevos, que no forman representaciones completas del grupo de simetría; estos son los bosones de Higgs.

Los tres artículos de Brout y Englert; Higgs; y Guralnik, Hagen y Kibble fueron reconocidos como "letras históricas" por Physical Review Letters en 2008. ^[27] Si bien cada uno de estos artículos fundamentales adoptó enfoques similares, las contribuciones y diferencias entre los artículos de ruptura de simetría PRL de 1964 son dignas de mención. Los seis físicos recibieron conjuntamente el Premio JJ Sakurai de Física Teórica de Partículas 2010 por este trabajo. ^[28]

A Benjamin W. Lee a menudo se le atribuye el mérito de haber nombrado por primera vez el mecanismo "tipo Higgs", aunque existe un debate sobre cuándo ocurrió esto por primera vez. ^{[29] [30] [31]} Una de las primeras veces que el nombre de Higgs apareció impreso fue en 1972, cuando Gerardus 't Hooft y Martinus JG Veltman se refirieron a él como el "mecanismo de Higgs-Kibble" en su artículo ganador del Nobel. ^{[32] [33]}

Simple explanation of the theory, from its origins in superconductivity

The proposed Higgs mechanism arose as a result of theories proposed to explain observations in superconductivity. A superconductor does not allow penetration by external magnetic fields (the Meissner effect). This strange observation implies that the electromagnetic field somehow becomes short ranged during this phenomenon. Successful theories arose to explain this during the 1950s, first for fermions (Ginzburg–Landau theory, 1950), and then for bosons (BCS theory, 1957).

In these theories, superconductivity is interpreted as arising from a charged condensate. Initially, the condensate value does not have any preferred direction. This implies it is scalar, but its phase is capable of defining a gauge, in gauge based field theories. To do this, the field must be charged. A charged scalar field must also be complex (or described another way, it contains at least two components, and a symmetry capable of rotating each into the other(s)). In naïve gauge theory, a gauge transformation of a condensate usually rotates the phase. However, in these circumstances, it instead fixes a preferred choice of phase. However it turns out that fixing the choice of gauge so that the condensate has the same phase everywhere, also causes the electromagnetic field to gain an extra term. This extra term causes the electromagnetic field to become short range.

Goldstone's theorem also plays a role in such theories. The connection is technically, when a condensate breaks a symmetry, then the state reached by acting with a symmetry generator on the condensate has the same energy as before. This means that some kinds of oscillation will not involve change of energy. Oscillations with unchanged energy imply that excitations (particles) associated with the oscillation are massless.

Once attention was drawn to this theory within particle physics, the parallels were clear. A change of the usually long range electromagnetic field to become short ranged, within a gauge invariant theory, was exactly the needed effect sought for the weak force bosons (because a long range force has massless gauge bosons, and a short ranged force implies massive gauge bosons, suggesting that a result of this interaction is that the field's gauge bosons acquired mass, or a similar and equivalent effect). The features of a field required to do this was also quite well defined - it would have to be a charged scalar field, with at least two components, and complex in order to support a symmetry able to rotate these into each other.

Examples

El mecanismo de Higgs ocurre siempre que un campo cargado tiene un valor esperado de vacío. En el contexto no relativista, se trata de un superconductor , más formalmente conocido como modelo de Landau de un condensado de Bose-Einstein cargado . En el condensado relativista, el condensado es un campo escalar que es relativistamente invariante.

modelo Landau

El mecanismo de Higgs es un tipo de superconductividad que se produce en el vacío. Ocurre cuando todo el espacio está lleno de un mar de partículas cargadas o, en lenguaje de campo, cuando un campo cargado tiene un valor esperado de vacío distinto de cero. La interacción con el fluido cuántico que llena el espacio impide que determinadas fuerzas se propaguen a largas distancias (como ocurre en el interior de un superconductor; por ejemplo, en la teoría de Ginzburg-Landau ).

Un superconductor expulsa todos los campos magnéticos de su interior, fenómeno conocido como efecto Meissner . Esto fue un misterio durante mucho tiempo, porque implica que las fuerzas electromagnéticas de alguna manera se vuelven de corto alcance dentro del superconductor. Comparemos esto con el comportamiento de un metal ordinario. En un metal, la conductividad protege los campos eléctricos reorganizando las cargas en la superficie hasta que el campo total se cancela en el interior.

Pero los campos magnéticos pueden penetrar a cualquier distancia, y si un monopolo magnético (un polo magnético aislado) está rodeado por un metal, el campo puede escapar sin colimar en una cuerda. Sin embargo, en un superconductor las cargas eléctricas se mueven sin disipación, y esto permite corrientes superficiales permanentes, no sólo cargas superficiales. Cuando se introducen campos magnéticos en los límites de un superconductor, se producen corrientes superficiales que los neutralizan exactamente.

El efecto Meissner surge debido a corrientes en una delgada capa superficial, cuyo espesor puede calcularse a partir del modelo simple de la teoría de Ginzburg-Landau, que trata la superconductividad como un condensado cargado de Bose-Einstein.

Supongamos que un superconductor contiene bosones con carga q  . La función de onda de los bosones se puede describir introduciendo un campo cuántico , que obedece a la ecuación de Schrödinger como ecuación de campo . En unidades donde la constante de Planck reducida , ħ , se establece en 1: ${\displaystyle \ \psi \ ,}$

${\displaystyle \ i\ {\frac {\partial }{\ \partial t\ }}\ \psi ~=~{\frac {\ \left(\nabla -iqA\right)^{2}}{2m}}\ \psi ~.}$

El operador aniquila un bosón en el punto x , mientras que su adjunto crea un nuevo bosón en el mismo punto. La función de onda del condensado de Bose-Einstein es entonces cuyo valor esperado es una función clásica que obedece a la misma ecuación. La interpretación del valor esperado es que es la fase que se le debe dar a un bosón recién creado para que se superponga coherentemente con todos los demás bosones que ya están en el condensado. ${\displaystyle \ \psi (x)\ }$ ${\displaystyle \ \psi ^{\dagger }\ }$ ${\displaystyle \ \langle \psi \rangle \ }$ ${\displaystyle \ \psi (x)\ ,}$

Cuando hay un condensado cargado, las interacciones electromagnéticas quedan protegidas. Para ver esto, considere el efecto de una transformación de calibre en el campo. Una transformación de calibre gira la fase del condensado en una cantidad que cambia de un punto a otro y desplaza el potencial del vector en un gradiente:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi &\rightarrow e^{iq\phi (x)}\psi \\\\A&\rightarrow A+\nabla \phi ~.\end{aligned}}}$

Cuando no hay condensado, esta transformación solo cambia la definición de la fase en cada punto. Pero cuando hay condensado, la fase del condensado define una elección preferida de fase. ${\displaystyle \ \psi \ }$

La función de onda del condensado se puede escribir como

${\displaystyle \psi (x)=\rho (x)\ e^{i\theta (x)}\ ,}$

donde ρ es la amplitud real, que determina la densidad local del condensado. Si el condensado fuera neutro, el flujo seguiría los gradientes de θ , la dirección en la que cambia la fase del campo de Schrödinger. Si la fase θ cambia lentamente, el flujo es lento y tiene muy poca energía. Pero ahora se puede hacer que θ sea igual a cero simplemente haciendo una transformación de calibre para rotar la fase del campo.

La energía de los cambios lentos de fase se puede calcular a partir de la energía cinética de Schrödinger,

${\displaystyle \ H={\frac {1}{\ 2\ m\ }}\ {\Bigl |}\left(iqA+\nabla \right)\psi {\Bigr |}^{2}\ ,}$

y tomando la densidad del condensado ρ como constante,

${\displaystyle H\approx {\frac {~\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ \left(qA+\nabla \theta \right)^{2}~.}$

Al fijar la elección del calibre para que el condensado tenga la misma fase en todas partes, la energía del campo electromagnético tiene un término adicional,

${\displaystyle {\frac {\;q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}A^{2}~.}$

Cuando este término está presente, las interacciones electromagnéticas se vuelven de corto alcance. Cada modo de campo, sin importar la longitud de onda, oscila con una frecuencia distinta de cero. La frecuencia más baja se puede leer a partir de la energía de un modo A de longitud de onda larga ,

${\displaystyle E\approx {\frac {\;{\dot {A}}^{2}}{2}}+{\frac {\ q^{2}\rho ^{2}\ }{2\ m}}\ A^{2}~.}$

Este es un oscilador armónico con frecuencia.

${\displaystyle {\sqrt {{\frac {1}{\ m\ }}\ q^{2}\ \rho ^{2}\ }}~.}$

La cantidad es la densidad del condensado de partículas superconductoras. ${\displaystyle \ \left|\psi (x)\right|^{2}=\rho ^{2}\ }$

En un superconductor real, las partículas cargadas son electrones, que son fermiones, no bosones. Entonces, para tener superconductividad, los electrones deben unirse de alguna manera en pares de Cooper . Por tanto , la carga del condensado q es el doble de la carga del electrón −e . El emparejamiento en un superconductor normal se debe a vibraciones de la red y, de hecho, es muy débil; esto significa que los pares están muy vagamente unidos. La descripción de un condensado de Bose-Einstein de pares débilmente unidos es en realidad más difícil que la descripción de un condensado de partículas elementales, y sólo fue elaborada en 1957 por John Bardeen , Leon Cooper y John Robert Schrieffer en la famosa teoría BCS .

Mecanismo abeliano de Higgs

La invariancia de calibre significa que ciertas transformaciones del campo de calibre no cambian la energía en absoluto. Si se agrega un gradiente arbitrario a A , la energía del campo es exactamente la misma. Esto dificulta agregar un término de masa, porque un término de masa tiende a empujar el campo hacia el valor cero. Pero el valor cero del potencial vectorial no es una idea de invariancia de calibre. Lo que es cero en un indicador es distinto de cero en otro.

Entonces, para darle masa a una teoría de calibre, la invariancia de calibre debe romperse mediante un condensado. El condensado definirá entonces una fase preferida, y la fase del condensado definirá el valor cero del campo de forma invariante en cuanto a calibre. La definición de invariante de calibre es que un campo de calibre es cero cuando el cambio de fase a lo largo de cualquier camino desde el transporte paralelo es igual a la diferencia de fase en la función de onda del condensado.

El valor del condensado se describe mediante un campo cuántico con un valor esperado, al igual que en el modelo de Ginzburg-Landau .

Para que la fase del vacío defina un calibre, el campo debe tener una fase (también conocida como "a cargar"). Para que un campo escalar Φ tenga una fase, debe ser complejo o (de manera equivalente) debe contener dos campos con una simetría que los gire entre sí. El potencial vectorial cambia la fase de los cuantos producidos por el campo cuando se mueven de un punto a otro. En términos de campos, define cuánto rotar las partes real e imaginaria de los campos entre sí al comparar valores de campo en puntos cercanos.

El único modelo renormalizable donde un campo escalar complejo Φ adquiere un valor distinto de cero es el modelo del sombrero mexicano, donde la energía del campo tiene un mínimo alejado de cero. La acción para este modelo es

${\displaystyle \ S(\phi )=\int d^{4}x\left[{\tfrac {1}{2}}\left|\partial \phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]\ ,}$

lo que resulta en el hamiltoniano

${\displaystyle \ H(\phi )={\tfrac {1}{2}}\left(\left|{\dot {\phi }}\right|^{2}+\left|\nabla \phi \right|^{2}\right)+V\left(\left|\phi \right|\right)~.}$

El primer término es la energía cinética del campo. El segundo término es la energía potencial adicional cuando el campo varía de un punto a otro. El tercer término es la energía potencial cuando el campo tiene una magnitud determinada.

Esta energía potencial, el potencial de Higgs , ^[34] tiene una gráfica que parece un sombrero mexicano , lo que da nombre al modelo. En particular, el valor mínimo de energía no está en z = 0 , sino en el círculo de puntos donde la magnitud de z es Φ . ${\displaystyle ~V\left(z,\Phi \right)=\lambda \left(\left|z\right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\ ,}$

Potencial de Higgs V. Para un valor fijo de λ , el potencial se presenta hacia arriba frente a las partes real e imaginaria de Φ . Cabe destacar el perfil de un sombrero mexicano o una botella de champán en el suelo.

Cuando el campo Φ( x ) no está acoplado al electromagnetismo, el potencial del sombrero mexicano tiene direcciones planas. Comenzar en cualquiera de los círculos de vacío y cambiar la fase del campo de un punto a otro cuesta muy poca energía. Matemáticamente, si

${\displaystyle \ \phi (x)=\Phi e^{i\theta (x)}\ }$

con un prefactor constante, entonces la acción para el campo θ ( x ) , es decir, la "fase" del campo de Higgs Φ( x ) , sólo tiene términos derivados. Esto no es una sorpresa: agregar una constante a θ ( x ) es una simetría de la teoría original, por lo que diferentes valores de θ ( x ) no pueden tener diferentes energías. Este es un ejemplo de configuración del modelo para que se ajuste al teorema de Goldstone : las simetrías continuas rotas espontáneamente (normalmente) producen excitaciones sin masa.

El modelo de Abelian Higgs es el modelo del sombrero mexicano acoplado al electromagnetismo :

${\displaystyle \ S(\phi ,A)=\int d^{4}x\left[-{\tfrac {1}{4}}F^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+\left|\left(\partial -iqA\right)\phi \right|^{2}-\lambda \left(\left|\phi \right|^{2}-\Phi ^{2}\right)^{2}\right]~.}$

El vacío clásico está nuevamente en el mínimo del potencial, donde la magnitud del campo complejo φ es igual a Φ . Pero ahora la fase del campo es arbitraria, porque las transformaciones de calibre la cambian. Esto significa que el campo se puede poner a cero mediante una transformación de calibre y no representa ningún grado de libertad real. ${\displaystyle \ \theta (x)\ }$

Además, al elegir un calibre donde la fase del vacío es fija, la energía potencial para las fluctuaciones del campo vectorial es distinta de cero. Entonces, en el modelo de Abelian Higgs, el campo de calibre adquiere masa. Para calcular la magnitud de la masa, considere un valor constante del potencial vectorial A en la dirección x en el medidor donde el condensado tiene fase constante. Esto es lo mismo que un condensado que varía sinusoidalmente en el medidor donde el potencial vectorial es cero. En el medidor donde A es cero, la densidad de energía potencial en el condensado es la energía del gradiente escalar:

${\displaystyle \ E={\tfrac {1}{2}}\left|\partial \left(\Phi e^{iqAx}\right)\right|^{2}={\tfrac {1}{2}}q^{2}\Phi ^{2}A^{2}~.}$

Esta energía es la misma que un término de masa. 1/2m ² A ² donde m = q Φ .

Detalles matemáticos del mecanismo abeliano de Higgs

Mecanismo de Higgs no abeliano

El modelo de Higgs no abeliano tiene la siguiente acción

${\displaystyle S(\phi ,\mathbf {A} )=\int {1 \over 4g^{2}}\mathop {\textrm {tr}} (F^{\mu \nu }F_{\mu \nu })+|D\phi |^{2}+V(|\phi |),}$

donde ahora el campo no abeliano A está contenido en la derivada covariante D y en los componentes tensoriales y (la relación entre A y esos componentes es bien conocida por la teoría de Yang-Mills ). ${\displaystyle F^{\mu \nu }}$ ${\displaystyle F_{\mu \nu }}$

Es exactamente análogo al modelo de Abelian Higgs. Ahora el campo está en una representación del grupo de calibre, y la derivada covariante de calibre se define por la tasa de cambio del campo menos la tasa de cambio del transporte paralelo utilizando el campo de calibre A como conexión. ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle D\phi =\partial \phi -iA^{k}t_{k}\phi }$

Nuevamente, el valor esperado de define un calibre preferido donde el vacío es constante y, fijando este calibre, las fluctuaciones en el campo de calibre A conllevan un costo de energía distinto de cero. ${\displaystyle \phi }$

Dependiendo de la representación del campo escalar, no todos los campos de calibre adquieren masa. Un ejemplo simple es la versión renormalizable de un modelo electrodébil temprano debido a Julian Schwinger . En este modelo, el grupo de calibre es SO (3) (o SU (2); no hay representaciones de espinor en el modelo), y la invariancia de calibre se descompone en U (1) o SO (2) en distancias largas. Para hacer una versión renormalizable consistente usando el mecanismo de Higgs, introduzca un campo escalar que se transforme como un vector (un triplete) de SO (3). Si este campo tiene un valor esperado de vacío, apunta en alguna dirección en el espacio del campo. Sin pérdida de generalidad, se puede elegir el eje z en el espacio de campo como la dirección a la que apunta, y luego el valor esperado del vacío es (0, 0, à ) , donde à es una constante con dimensiones de masa ( ). . ${\displaystyle \phi ^{a}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle c=\hbar =1}$

Las rotaciones alrededor del eje z forman un subgrupo U (1) de SO (3) que conserva el valor esperado de vacío de , y este es el grupo de calibre ininterrumpido. Las rotaciones alrededor de los ejes xey no preservan el vacío, y los componentes del campo calibre SO (3) que generan estas rotaciones se convierten en mesones vectoriales masivos. Hay dos mesones W masivos en el modelo de Schwinger, con una masa determinada por la escala de masa à , y un bosón calibre U (1) sin masa, similar al fotón. ${\displaystyle \phi }$

El modelo de Schwinger predice monopolos magnéticos en la escala de unificación electrodébil y no predice el bosón Z. No rompe adecuadamente la simetría electrodébil como en la naturaleza. Pero históricamente, un modelo similar a este (pero sin utilizar el mecanismo de Higgs) fue el primero en el que se unificaron la fuerza débil y la fuerza electromagnética.

Mecanismo de Higgs afín

Ernst Stueckelberg descubrió ^[35] una versión del mecanismo de Higgs analizando la teoría de la electrodinámica cuántica con un fotón masivo. Efectivamente, el modelo de Stueckelberg es un límite del modelo Abelian Higgs del sombrero mexicano, donde el valor esperado de vacío H va al infinito y la carga del campo de Higgs va a cero de tal manera que su producto permanece fijo. La masa del bosón de Higgs es proporcional a H , por lo que el bosón de Higgs se vuelve infinitamente masivo y se desacopla, por lo que no está presente en la discusión. La masa del mesón vectorial, sin embargo, es igual al producto eH y permanece finita.

La interpretación es que cuando un campo calibre U (1) no requiere cargas cuantificadas, es posible conservar sólo la parte angular de las oscilaciones de Higgs y descartar la parte radial. La parte angular del campo de Higgs θ tiene la siguiente ley de transformación de calibre:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta &\rightarrow \theta +e\alpha \,\\A&\rightarrow A+\partial \alpha .\end{aligned}}}$

La derivada covariante de calibre para el ángulo (que en realidad es invariante de calibre) es:

${\displaystyle D\theta =\partial \theta -eAH\,}$.

Para mantener las fluctuaciones de θ finitas y distintas de cero en este límite, θ debe ser reescalado por  H , de modo que su término cinético en la acción permanezca normalizado. La acción del campo theta se lee de la acción del sombrero mexicano sustituyendo . ${\displaystyle \phi =He^{i\theta /H}}$

${\displaystyle S=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(D\theta )^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -HeA)^{2}{\bigr ]}=\int {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}F^{2}+{\tfrac {1}{2}}(\partial \theta -mA)^{2}{\bigr ]}}$

ya que eH es la masa del bosón de calibre. Al realizar una transformación de calibre para establecer θ = 0 , se elimina la libertad de calibre en la acción y la acción se convierte en la de un campo vectorial masivo:

${\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}\int {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}F^{2}+m^{2}A^{2}{\bigr ]}\,.}$

Para tener cargas arbitrariamente pequeñas se requiere que U (1) no sea el círculo de números complejos unitarios bajo multiplicación, sino los números reales R bajo suma, que solo es diferente en la topología global. Un grupo U (1) de este tipo no es compacto. El campo θ se transforma como una representación afín del grupo de calibre. Entre los grupos de calibres permitidos, solo el U (1) no compacto admite representaciones afines, y se sabe experimentalmente que el U (1) del electromagnetismo es compacto, ya que la cuantificación de carga mantiene una precisión extremadamente alta.

El condensado de Higgs en este modelo tiene carga infinitesimal, por lo que las interacciones con el bosón de Higgs no violan la conservación de la carga. La teoría de la electrodinámica cuántica con un fotón masivo sigue siendo una teoría renormalizable, en la que la carga eléctrica aún se conserva, pero no se permiten los monopolos magnéticos . Para la teoría del calibre no abeliano, no existe un límite afín y las oscilaciones de Higgs no pueden ser mucho más masivas que los vectores.

Ver también

• masa electromagnética
• paquete de Higgs
• Trivialidad cuántica
• ángulo de weinberg
• Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs

Notas

1. El coautor de Englert, Robert Brout, había muerto en 2011; El Premio Nobel no suele concederse de forma póstuma.

Referencias

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enlaces externos

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