Parámetros de admisión

Los parámetros de admitancia o parámetros Y (los elementos de una matriz de admitancia o matriz Y ) son propiedades utilizadas en muchas áreas de la ingeniería eléctrica , como la energía , la electrónica y las telecomunicaciones . Estos parámetros se utilizan para describir el comportamiento eléctrico de las redes eléctricas lineales . También se utilizan para describir la respuesta de pequeña señal ( linealizada ) de las redes no lineales. Los parámetros Y también se conocen como parámetros de admitancia en cortocircuito. Son miembros de una familia de parámetros similares utilizados en la ingeniería electrónica, otros ejemplos son: parámetros S , ^[1]parámetros Z , ^[2]parámetros H , parámetros T o parámetros ABCD . ^[3]^[4]

La matriz de parámetros Y

Una matriz de parámetros Y describe el comportamiento de cualquier red eléctrica lineal que pueda considerarse como una caja negra con varios puertos . Un puerto en este contexto es un par de terminales eléctricos que llevan corrientes iguales y opuestas hacia dentro y hacia fuera de la red, y que tienen un voltaje particular entre ellos. La matriz Y no brinda información sobre el comportamiento de la red cuando las corrientes en cualquier puerto no están equilibradas de esta manera (si esto fuera posible), ni tampoco brinda información sobre el voltaje entre terminales que no pertenecen al mismo puerto. Por lo general, se pretende que cada conexión externa a la red se realice entre los terminales de un solo puerto, de modo que estas limitaciones sean apropiadas.

Para una definición genérica de red multipuerto, se supone que a cada uno de los puertos se le asigna un número entero $n$ que va de 1 a $N$ , donde $N$ es el número total de puertos. Para el puerto $n$ , la definición del parámetro Y asociado se expresa en términos de voltaje y corriente del puerto, $V n$ e $I n$ respectivamente.

Para todos los puertos, las corrientes pueden definirse en términos de la matriz de parámetros Y y los voltajes mediante la siguiente ecuación matricial:

I=YV\,

donde Y es una matriz $N \times N$ cuyos elementos se pueden indexar utilizando la notación matricial convencional . En general, los elementos de la matriz de parámetros Y son números complejos y funciones de frecuencia. Para una red de un puerto, la matriz Y se reduce a un solo elemento, que es la admitancia ordinaria medida entre los dos terminales.

Redes de dos puertos

La matriz de parámetros Y para la red de dos puertos es probablemente la más común. En este caso, la relación entre los voltajes y las corrientes de los puertos y la matriz de parámetros Y viene dada por:

{\begin{pmatrix}I_{1}\\I_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}Y_{11}&Y_{12}\\Y_{21}&Y_{22}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}V_{1}\\V_{2}\end{pmatrix}}

dónde

{\begin{aligned}Y_{11}&={I_{1} \sobre V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{12}={I_{1} \sobre V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\\[8pt]Y_{21}&={I_{2} \sobre V_{1}}{\bigg |}_{V_{2}=0}\qquad Y_{22}={I_{2} \sobre V_{2}}{\bigg |}_{V_{1}=0}\end{aligned}}

Para el caso general de una red de $n puertos,$

Y_{nm}={I_{n} \sobre V_{m}}{\bigg |}_{V_{k}=0{\text{ para }}k\neq m}

Relaciones de admisión

La admitancia de entrada de una red de dos puertos viene dada por:

Y_{in}=Y_{11}-{\frac {Y_{12}Y_{21}}{Y_{22}+Y_{L}}}

donde $Y L$ es la admitancia de la carga conectada al puerto dos.

De manera similar, la admitancia de salida viene dada por:

Y_{out}=Y_{22}-{\frac {Y_{12}Y_{21}}{Y_{11}+Y_{S}}}

donde $Y S$ es la admitancia de la fuente conectada al puerto uno.

Relación con los parámetros S

Los parámetros Y de una red están relacionados con sus parámetros S por ^[5]

{\begin{aligned}Y&={\sqrt {y}}(I_{N}-S)(I_{N}+S)^{-1}{\sqrt {y}}\\&={\sqrt {y}}(I_{N}+S)^{-1}(I_{N}-S){\sqrt {y}}\\\end{aligned}}

y ^[5]

{\begin{aligned}S&=(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}\\&=(I_{N}+{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})^{-1}(I_{N}-{\sqrt {z}}Y{\sqrt {z}})\\\end{aligned}}

donde $I N$ es la matriz identidad , es una matriz diagonal que tiene la raíz cuadrada de la admitancia característica (el recíproco de la impedancia característica ) en cada puerto como sus elementos distintos de cero, ${\sqrt {y}}$

${\sqrt {y}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {y_{01}}}&\\&{\sqrt {y_{02}}}\\&&\ddots \\&&&{ \sqrt {y_{0N}}}\end{pmatrix}}$

y es la matriz diagonal correspondiente de raíces cuadradas de impedancias características . En estas expresiones, las matrices representadas por los factores entre corchetes conmutan y, por lo tanto, como se muestra arriba, pueden escribirse en cualquier orden. ^[5]^{[nota 1]} ${\sqrt {z}}=({\sqrt {y}})^{-1}$

Dos puertos

En el caso especial de una red de dos puertos, con la misma admitancia característica real en cada puerto, las expresiones anteriores se reducen a ^[6] ${\ Displaystyle y_ {01} = y_ {02} = Y_ {0}}$

{\begin{aligned}Y_{11}&={(1-S_{11})(1+S_{22})+S_{12}S_{21} \sobre \Delta _{S}}Y_{0}\\Y_{12}&={-2S_{12} \sobre \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{21}&={-2S_{21} \sobre \Delta _{S}}Y_{0}\\[4pt]Y_{22}&={(1+S_{11})(1-S_{22})+S_{12}S_{21} \sobre \Delta _{S}}Y_{0}\end{aligned}}

dónde

\Delta _{S}=(1+S_{11})(1+S_{22})-S_{12}S_{21}.

Las expresiones anteriores generalmente utilizan números complejos para y . Tenga en cuenta que el valor de puede convertirse en 0 para valores específicos de , por lo que la división por en los cálculos de puede dar lugar a una división por 0. $Estilo de visualización S_{ij}$ $Y_{ij}$ ${\estilo de visualización \Delta}$ $Estilo de visualización S_{ij}$ ${\estilo de visualización \Delta}$ $Y_{ij}$

Los parámetros S de dos puertos también pueden obtenerse a partir de los parámetros Y de dos puertos equivalentes mediante las siguientes expresiones. ^[7]

{\begin{aligned}S_{11}&={(1-Z_{0}Y_{11})(1+Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\\S_{12}&={-2Z_{0}Y_{12} \over \Delta }\\[4pt]S_{21}&={-2Z_{0}Y_{21} \over \Delta }\\[4pt]S_{22}&={(1+Z_{0}Y_{11})(1-Z_{0}Y_{22})+Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21} \over \Delta }\end{aligned}}

dónde

\Delta =(1+Z_{0}Y_{11})(1+Z_{0}Y_{22})-Z_{0}^{2}Y_{12}Y_{21}\,

y es la impedancia característica en cada puerto (se supone que es la misma para los dos puertos). $Z_{0}$

Relación con los parámetros Z

La conversión de parámetros Z a parámetros Y es mucho más sencilla, ya que la matriz de parámetros Y es simplemente la inversa de la matriz de parámetros Z. Las siguientes expresiones muestran las relaciones aplicables:

{\begin{aligned}Y_{11}&={Z_{22} \over |Z|}\\[4pt]Y_{12}&={-Z_{12} \over |Z|}\\[4pt]Y_{21}&={-Z_{21} \over |Z|}\\[4pt]Y_{22}&={Z_{11} \over |Z|}\end{aligned}}

dónde

|Z|=Z_{11}Z_{22}-Z_{12}Z_{21}\,

En este caso es el determinante de la matriz de parámetros Z. $|Z|$

Viceversa, los parámetros Y se pueden utilizar para determinar los parámetros Z, utilizando esencialmente las mismas expresiones ya que

Y=Z^{-1}\,

Z=Y^{-1}.

Véase también

Notas

^ Toda matriz cuadrada conmuta consigo misma y con la matriz identidad, y si dos matrices A y B conmutan, entonces también lo hacen A y B⁻¹ (ya que AB⁻¹ = B⁻¹BAB⁻¹ = B⁻¹ABB⁻¹ = B⁻¹A )

Referencias

^ Pozar, David M. (2005); Ingeniería de microondas, tercera edición (edición internacional); John Wiley & Sons; págs. 170-174. ISBN 0-471-44878-8 .
^ Pozar, David M. (2005) (op. cit); págs. 170-174.
^ Pozar, David M. (2005) (op. cit); págs. 183-186.
^ Morton, AH (1985); Ingeniería eléctrica avanzada ; Pitman Publishing Ltd.; págs. 33-72. ISBN 0-273-40172-6
^ abc Russer, Peter (2003). Electromagnetismo, diseño de circuitos de microondas y antenas para ingeniería de comunicaciones . Artech House. ISBN 978-1-58053-532-8.
^ Frickey, DA (febrero de 1994). "Conversiones entre los parámetros S, Z, Y, H, ABCD y T que son válidas para impedancias complejas de fuente y carga". IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques . 42 (2): 205–211. Bibcode :1994ITMTT..42..205F. doi :10.1109/22.275248. ISSN 0018-9480.
^ Simon Ramo, John R. Whinnery, Theodore Van Duzer, "Campos y ondas en la electrónica de comunicaciones", tercera edición, John Wiley & Sons Inc.; 1993, págs. 537-541, ISBN 0-471-58551-3 .