Palillos (juego de mano)

Juego de manos para dos o más jugadores.

Las puntuaciones del juego se registran con los dedos de ambas manos.

Palillos (a veces llamado Calculadora , o simplemente Palos ) ^{[ cita necesaria ]} es un juego de manos para dos o más jugadores, en el que los jugadores extienden varios dedos de cada mano y transfieren esas puntuaciones turnándose para golpear una mano contra la otra. ^{[1] [2]} Chopsticks es un ejemplo de juego combinatorio , y se resuelve en el sentido de que con un juego perfecto , se conoce una estrategia óptima desde cualquier punto. ^[3]

Descripción

Como se Juega

Los palillos consisten en que los jugadores sumen puntos usando los dedos de sus manos.

Cada jugador comienza con dos puntos (un dedo en cada mano). Por turnos, los jugadores tocan la mano del oponente, lo que le suma puntos iguales al valor de la mano que toca. Las manos de un jugador no cambian cuando se toca la mano del oponente. Por ejemplo, si un jugador contrario tiene el número máximo de puntos en su mano, no puede restarle puntos si decide eliminar la mano del otro jugador, por ejemplo, si un jugador tiene cinco puntos y el otro dos, el El jugador con cinco puntos no puede darle al otro jugador una parte de sus puntos para evitar ser eliminado. Cuando una mano obtiene sólo cinco puntos, queda "eliminada" y se considera mano muerta . ^[3] Una mano muerta no puede atacar ni ser atacada. Un jugador gana al noquear ambas manos de su oponente.

En lugar de atacar en su turno, un jugador puede "dividir" puntos entre sus manos. Una división puede ser una transferencia o una división. Una transferencia implica mover una cierta cantidad de puntos de una mano viva a otra; transferir todos los puntos de una mano lo elimina ("suicidio") y está permitido en algunas variaciones. ^[3] Una división puede resucitar una mano muerta moviendo puntos de una mano viva, volviéndola a poner en juego. ^[3] La nueva distribución debe ser distinta de la distribución original; un jugador no puede simplemente intercambiar puntos entre manos. ^[3]

Debido a la sencilla estructura básica del juego, existen muchas variaciones con reglas adicionales. ^[1] En algunas variaciones, una suma mayor que 5 "se transfiere" a un valor menor restando 5 de la suma ( aritmética modular ); una mano se elimina sólo cuando tiene exactamente cinco puntos. En otras variantes, se permiten movimientos de transferencia y división más complejos.

Abreviatura

Cada posición en un juego de Chopsticks para dos jugadores se puede codificar como un número de cuatro dígitos, y cada dígito oscila entre 0 y 4, lo que representa el número de dedos activos en cada mano. Esto se puede escribir como [ABCD], donde A y B son las manos del jugador que está a punto de tomar su turno, y C y D son las manos del jugador que no está a punto de tomar su turno. Cada par de manos está anotado en orden ascendente, por lo que cada posición distinta está representada por un solo número de cuatro dígitos. Por ejemplo, el código 1023 no está permitido y debe anotarse 0123.

La posición inicial es 1111. La siguiente posición debe ser 1211. La siguiente posición debe ser 1212 o 1312. Durante el juego, la posición más pequeña es 0000 y la posición más grande es 4444.

Esta abreviatura se puede ampliar a juegos con más jugadores. Un juego de tres jugadores se puede representar con seis dígitos (por ejemplo, [111211]), donde cada par de dígitos adyacentes representa a un solo jugador, y cada par está ordenado según cuándo tomarán su turno los jugadores. El par más a la izquierda representa las manos del jugador que está a punto de tomar su turno; el par del medio representa al jugador que irá a continuación, y así sucesivamente. El par más a la derecha representa al jugador que debe esperar más tiempo antes de su turno (generalmente porque acaba de irse).

se mueve

Según las reglas normales, hay un máximo de 14 movimientos posibles:

• Cuatro ataques (A→C, A→D, B→C, B→D)
• Cuatro divisiones (02→11, 03→12, 04→13, 04→22)
• Seis transferencias (13→22, 22→13, 14→23, 23→14, 24→33, 33→24)

Sin embargo, sólo 5 o menos de ellos están disponibles en un turno determinado. Por ejemplo, la posición inicial 1312 puede convertirse en 2213, 1313, 2413, 0113 o 1222.

Duración del juego

El juego más corto posible es de cinco movimientos. Hay un caso:

• 1111 1211 1312 0113 1401 0014

Sin revisitar (repetir una posición), la partida más larga posible es de nueve movimientos. Hay dos instancias:

• 1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001
• 1111 1211 1212 2312 2323 0323 0303 0103 0401 0004

Con una nueva visita, el juego más largo posible es indefinido.

Posiciones

Dado que la cantidad acumulada es 5, Chopsticks es un juego de base 5 . En un juego de dos jugadores, cada posición tiene cuatro dígitos. Contando desde 0000 hasta 4444 (en base 5) se obtienen 625 posiciones. Sin embargo, esto incluye redundancias: la mayoría de estas posiciones son anotaciones incorrectas (por ejemplo, 0132, 1023 y 1032 son anotaciones incorrectas de 0123), que parecen diferentes pero son funcionalmente iguales en el juego.

Para encontrar el número de posiciones funcionalmente distintas, tenga en cuenta que cada jugador puede ser uno de 15 pares distintos (00, 01, 02, 03, 04, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34 y 44). Con dos jugadores, hay 15*15 = 225 posiciones funcionalmente distintas. En general, para los jugadores existen posiciones funcionalmente distintas. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 15^{n}}$

Sin embargo, hay 21 posiciones inalcanzables: 0000, 0100, 0200, 0300, 0400, 1100, 1101, 1200, 1300, 1400, 2200, 2202, 2300, 2400, 3300, 3303, 3400, 3444, 440. 0, 4404 y 4444 .

• 15 de estas posiciones son simplemente un jugador que tiene cada uno de los 15 pares distintos y el otro jugador está muerto. El problema es que el jugador muerto es el jugador que acaba de tomar su turno (de ahí el "00" en el lado derecho). Como el jugador no puede perder en su propio turno, estas posiciones son inalcanzables.
• 4 de estas posiciones son el jugador que debe moverse con [kk] y el otro jugador con [0k], donde . Esto es inalcanzable porque el jugador que acaba de ir a [0k] no podría dividirse, por lo que ese jugador debe haber atacado usando su [0k]. Pero no hay forma de usar [0k] para atacar a un enemigo y que se mueva a [kk]. Eso requeriría atacar una mano muerta, lo cual es ilegal. ${\displaystyle 0<k<5}$
• Las dos posiciones restantes son 3444 y 4444. 4444 es inalcanzable porque un jugador no puede alcanzar [44] desde una división y, por lo tanto, ya tenía que tener [44]. El único par posible que va a [44] después de ser atacado por [44] es [04], lo que nuevamente requiere que se ataque una mano muerta. En realidad, se puede acceder a 3444, pero solo desde 4444. Dado que no se puede acceder a 4444 desde 4444, tampoco lo es 3444.

Esto da un total de 204 posiciones únicas y accesibles.

Hay 14 finales alcanzables: 0001, 0002, 0003, 0004, 0011, 0012, 0013, 0014, 0022, 0023, 0024, 0033, 0034, 0044. De manera bastante satisfactoria, estos son los 14 finales posibles; en otras palabras, alguien puede ganar usando cualquiera de los 14 pares en vivo distintos. De estos 14 finales, el primer jugador gana 8 de ellos, asumiendo que los juegos terminan en el número mínimo de movimientos.

Generalizaciones

Los palillos se pueden generalizar en un juego de tipo, donde es el número de jugadores y la cantidad de rollover. ${\displaystyle (p,r)}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle r}$

Menos de dos jugadores

En un juego de un solo jugador, el jugador gana trivialmente por ser el último jugador en el juego. Un juego sin jugadores es igualmente trivial ya que no puede haber ganadores.

Dos jugadores

Dado y una reinversión de , ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle r}$

• Hay puestos, incluidos despidos. ${\displaystyle r^{2p}=r^{4}}$
• Hay distintos pares de dedos (el -ésimo número triangular ) y, por tanto, posiciones funcionalmente distintas. ${\displaystyle {r+1 \choose 2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {r+1 \choose 2}^{p}}$
• Para , hay posiciones inalcanzables. ${\displaystyle r>2}$ ${\displaystyle {r+1 \choose 2}+(r-1)+2}$
  • ${\displaystyle {r+1 \choose 2}}$Las posiciones inalcanzables ocurren cuando el jugador actual tiene un par distinto y el otro jugador está muerto. Sin embargo, el jugador muerto es el jugador que acaba de jugar su turno. Como un jugador no puede perder en su propio turno, estas posiciones son inalcanzables.
  • ${\displaystyle (r-1)}$Las posiciones inalcanzables ocurren cuando el jugador actual tiene y el otro jugador tiene y , por . Estas posiciones son inalcanzables porque el otro jugador [CD] no se había dividido en el turno anterior, por lo que debió atacar usando su mano viva. Sin embargo, no hay forma de atacar como tal que resulte en que el objetivo tenga ambas manos valiosas , ya que esto requeriría atacar con una mano muerta, lo cual es ilegal. ${\displaystyle A=B=k}$ ${\displaystyle C=0}$ ${\displaystyle D=k}$ ${\displaystyle 0<k<r}$ ${\displaystyle k}$
  • Una posición inalcanzable ocurre cuando ambos jugadores tienen dos manos de valor . Como tal, el jugador anterior no pudo haberse separado, por lo que debió haber atacado. Pero para que ambas manos del oponente tuvieran valor habría sido necesario atacar una mano muerta, lo cual es ilegal. ${\displaystyle r-1}$ ${\displaystyle r-1}$
  • Una posición inalcanzable ocurre cuando el jugador actual tiene y y el otro jugador tiene . Esta posición tiene sólo una posición previa, la cual es inalcanzable desde la posición inicial. ${\displaystyle A=r-2}$ ${\displaystyle B=r-1}$ ${\displaystyle C=D=r-1}$

Así, para , hay posiciones alcanzables. ${\displaystyle r>2}$ ${\displaystyle {r+1 \choose 2}^{p}-\left({r+1 \choose 2}+(r-1)+2\right)}$

Más de dos jugadores

Dado un rollover de 5,

• Con 2 jugadores, hay 204 posiciones.
• Con 3 jugadores, hay 3.337 posiciones.
• Con 4 jugadores, hay más de 25.000 posiciones.

Casos degenerados

Un juego con una cantidad de rollover de 1 es el juego trivial , porque todas las manos empiezan muertas.

Un juego con una cantidad de rollover de 2 es degenerado , porque la división es imposible y las variaciones de rollover y corte dan como resultado el mismo juego. Las manos están vivas o muertas, sin un estado intermedio, y atacar una mano la mata. De hecho, uno podría simplemente llevar la cuenta del número de "manos" que tiene un jugador (usando los dedos o algún otro método de contar), y cuando un jugador ataca a un oponente, el número de manos que tiene ese oponente disminuye en uno. Hay un total de posiciones alcanzables en el juego y una duración de juego de . El juego para dos jugadores está fuertemente resuelto como una victoria en primera persona. ${\displaystyle 2^{p}-1}$ ${\displaystyle 2p-1}$

Cuando dos jugadores tienen una sola mano, el juego se vuelve degenerado, porque no pueden ocurrir divisiones y cada jugador solo tiene un movimiento. Dado un rollover de , cada posición después de los movimientos en el juego se puede representar mediante la tupla , donde es el -ésimo número de Fibonacci con y . El número de posiciones viene dado por el menor número positivo tal que divide . Esta variante se resuelve firmemente como una victoria para cualquiera de las partes dependiendo de las propiedades de divisibilidad de los números de Fibonacci . La duración del juego es . ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \left(F_{k+2}{\bmod {r}},F_{k+1}{\bmod {r}}\right)}$ ${\displaystyle F_{k}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F_{0}=0}$ ${\displaystyle F_{1}=1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle F_{k+2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle k+1}$

Variaciones

• Misère : El primer jugador al que le maten ambas manos gana.
• Suicidio : los jugadores pueden matar una de sus propias manos con una división. Por ejemplo, en la posición 1201, un jugador podría ejecutar 12→03, llevando así el juego a 0103. El oponente se ve obligado a jugar B→D, llevando el juego a 0401, momento en el cual se obtiene una victoria rápida para el primer jugador. posible.
• Swaps / Cherri : si los jugadores tienen dos manos en vivo desiguales, pueden intercambiarlas (aunque perderán su turno). Esta variación comúnmente produce un sorteo por repetición o bucle infinito por razones obvias. Para evitar esto, se pueden imponer límites al número de intercambios consecutivos que un jugador puede realizar sin ser atacado antes de verse obligado a atacar.
• Muerte súbita : los jugadores pierden cuando solo les queda un dedo (en ambas manos). Alternativamente, cada jugador podría comenzar con tres vidas y cada vez que lleguen a [01], perderán una vida.
• Meta : si las manos de un jugador suman más de cinco, puede combinarlas, restar cinco del total y luego dividir el resto. Por ejemplo, [44] suma 8, que se convierte en 3 después de restar cinco; estos luego se pueden dividir en [12]. Por tanto, es posible pasar de [44] a [12] en un solo movimiento. Meta desbloquea 2 nuevos movimientos posibles (34→11, 44→12). Si juegas Meta y Suicide, se desbloquean cuatro movimientos adicionales (24→01, 33→01, 34→02, 44→03), para un máximo de 20 movimientos posibles en total.
• Cláusula Logan : Los jugadores pueden suicidarse e intercambiar, pero sólo si hacen ambas cosas simultáneamente (es decir, cambiar una mano muerta por una viva).
• Ataque mortal: los jugadores pueden atacar manos muertas. Atacar una mano muerta la tratará como un 0 antes de ser atacada.
• Cutoff o Juego de Cinco : Si una mano supera los cinco dedos, está muerta (a diferencia del rollover , descrito en las reglas oficiales). ^[3]
• Zombis : con tres o más jugadores, si un jugador es eliminado, quedará reducido permanentemente a un dedo de una mano. En su turno, pueden atacar, pero no pueden dividirse ni ser atacados (inventado por Chris Bandy).
• Sólo traslados : No se permiten divisiones. Las únicas divisiones permitidas son las transferencias.
• Sólo divisiones : No se permiten transferencias. Las únicas divisiones permitidas son las divisiones.
• Divisiones : la división solo se permite cuando se divide un número par en dos mitades iguales u, opcionalmente, un número impar se divide lo más uniformemente posible (usando números enteros). En esta variación, el segundo jugador tiene una estrategia ganadora (siempre puede forzar una victoria). ^[3]
• Stumps / Knubs : Si un jugador está en [01], es legal dividirse en [0,5 0,5], representado doblando un dedo hacia abajo hasta la mitad. ^[3]
• Más Manos : Cada jugador tiene "más de dos manos", generalmente representadas jugando en equipos de varias personas. Con más manos por jugador, son posibles diferentes reglas de transferencia, división, intercambio y suicidio, que incluyen:
  • Transferencia única : Cada jugador puede transferir dedos entre solo dos manos.
  • Transferencia múltiple : Cada jugador puede transferir dedos entre más de dos manos, siempre que el estado resultante sea diferente al estado original.
  • División única : el jugador puede transferir dedos de una sola mano a una sola mano muerta.
  • Partición : el jugador puede transferir dedos de una sola mano a varias manos muertas.
  • Transferencia y partición : el jugador puede transferir dedos de varias manos para revivir manos muertas.
• Números diferentes : una mano muere cuando alcanza un número positivo (en palillos estándar ). Se podrían utilizar diferentes sistemas de conteo manual para números mayores de 5, como los números manuales chinos , el conteo de dedos senario y el sistema binario de dedos . Esta variación a menudo incluye reinversiones. ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=5}$
• Suns : Ambos jugadores empiezan con un 4 en cada mano (4444). Esta es una posición que es inalcanzable en el juego normal (es decir, desde la posición inicial 1111).
• Números enteros : Está permitido intercambiar una de las manos dándole la vuelta, cambiando el signo +/- de la mano. Esto permite manos con valor negativo y cero, aunque una mano todavía muere en 5 o −5. Con el rollover, esta acción se vuelve idéntica a reemplazar el valor de la mano con 5 menos el valor.
• Sin nombre : Se permiten atacar con las propias manos, agregando dos movimientos adicionales (A→B, B→A). Normalmente se juega junto con las variantes Swap y Cutoff.
• Cherry Bomb : Transferir exactamente a 5 hará que la mano del atacante se convierta en [11] y la mano del objetivo se convierta en [01]. En un juego de dos jugadores, la posición pasa a ser 1101, lo que se convierte en una victoria forzada fácil, por lo que es mejor jugarlo con más de 2 personas.
• Autoadición : en su turno, los jugadores pueden agregar 1 dedo a cualquier mano viva o transferir varios dedos a una mano muerta. Esto permite la autodestrucción (al agregar 1 a una mano viva con 4 dedos) y la resurrección. Esta variación del juego tiene una estrategia más complicada.

Estrategia optima

Usando las reglas anteriores, dos jugadores perfectos jugarán indefinidamente; el juego continuará en un bucle. De hecho, incluso los jugadores muy inexpertos pueden evitar perder simplemente mirando un movimiento hacia adelante.

En la variante límite, el primer jugador puede forzar una victoria. Una estrategia ganadora es alcanzar siempre una de las siguientes configuraciones después de cada movimiento (eligiendo preferentemente la primera):

• 1211 (comenzando aquí)
• AB12, donde A y B pueden ser cualquier número de dedos (ganando inmediatamente si es posible)

Por el contrario, en la variación División y Suicidio, el segundo jugador tiene una estrategia ganadora. ^{[4] [¿ cómo? ]}

Ver también

• Morra (juego) : un juego de manos diferente, que se basa más en el azar que en la lógica.

Referencias

1. "Cómo tocar los palillos". wikiHow . Consultado el 19 de junio de 2021 .
2. "Juego de palillos". Pueblo de actividades . Consultado el 27 de marzo de 2014 .
3. Juegos japoneses: palillos (juego de mano), 2008
4. "Cómo ganar siempre palillos". wikiHow . Consultado el 19 de junio de 2021 .

enlaces externos

• Bot de IA de palillos inmejorable. Este robot juega con rollovers y transferencias.