Integral de Paley-Wiener

En matemáticas , la integral de Paley-Wiener es una integral estocástica simple . Cuando se aplica al espacio de Wiener clásico , es menos general que la integral de Itō , pero las dos coinciden cuando se definen.

La integral recibe su nombre en honor a sus descubridores, Raymond Paley y Norbert Wiener .

Definición

Sea un espacio abstracto de Wiener con medida abstracta de Wiener en . Sea el adjunto de . (Hemos abusado un poco de la notación: estrictamente hablando, , pero como es un espacio de Hilbert , es isométrico isomorfo a su espacio dual , por el teorema de representación de Riesz .) ${\displaystyle i:H\to E}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle j:E^{*}\to H}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j:E^{*}\to H^{*}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{*}}$

Se puede demostrar que es una función inyectiva y tiene imagen densa en . ^{[ cita requerida ]} Además, se puede demostrar que cada funcional lineal también es integrable al cuadrado : de hecho, ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f\in E^{*}}$

${\displaystyle \|f\|_{L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}=\|j(f)\|_{H}}$

Esto define una función lineal natural de a , bajo la cual pasa a la clase de equivalencia de en . Esto está bien definido ya que es inyectiva. Esta función es una isometría , por lo que es continua . ${\displaystyle j(E^{*})}$ ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle j(f)\in j(E^{*})\subseteq H}$ ${\displaystyle [f]}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle j}$

Sin embargo, dado que una función lineal continua entre espacios de Banach como y está determinada únicamente por sus valores en cualquier subespacio denso de su dominio, existe una extensión lineal continua única de la función natural anterior para todo . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle j(E^{*})\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H}$

Esta isometría se conoce como el mapa de Paley-Wiener . , también denotado como , es una función en y se conoce como la integral de Paley-Wiener (con respecto a ). ${\displaystyle I:H\to L^{2}(E,\gamma ;\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle I(h)}$ ${\displaystyle \langle h,x\rangle ^{\sim }}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle h\in H}$

Es importante señalar que la integral de Paley-Wiener para un elemento particular es una función en . La notación no denota realmente un producto interno (ya que y pertenecen a dos espacios diferentes), pero es un abuso conveniente de la notación en vista del teorema de Cameron-Martin . Por esta razón, muchos autores ^{[ cita requerida ]} prefieren escribir o en lugar de usar la notación más compacta pero potencialmente confusa . ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \langle h,x\rangle ^{\sim }}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \langle h,-\rangle ^{\sim }(x)}$ ${\displaystyle I(h)(x)}$ ${\displaystyle \langle h,x\rangle ^{\sim }}$

Véase también

Otras integrales estocásticas:

• Integral de Itō
• Integral de Skorokhod
• Integral de Stratonovich

Referencias

• Park, Chull; Skoug, David (1988), "Una nota sobre las integrales estocásticas de Paley-Wiener-Zygmund", Actas de la American Mathematical Society , 103 (2): 591–601, doi : 10.1090/S0002-9939-1988-0943089-8 , JSTOR  2047184
• Elworthy, David (2008), MA482 Análisis estocástico (PDF) , Notas de clase, Universidad de Warwick(Sección 6)