PROP (teoría de categorías)

Tipo de categoría monoidal en la teoría de categorías

En teoría de categorías , una rama de las matemáticas, una PROP es una categoría monoidal estricta simétrica cuyos objetos son los números naturales n identificados con los conjuntos finitos y cuyo producto tensorial está dado sobre los objetos por la adición de números. ^[1] Debido a “simétrico”, para cada n , el grupo simétrico sobre n letras se da como un subgrupo del grupo de automorfismos de n . El nombre PROP es una abreviatura de "PROduct and Permutation category ". ${\displaystyle \{0,1,\ldots ,n-1\}}$

El concepto fue introducido por Adams y Mac Lane; la versión topológica del mismo fue dada posteriormente por Boardman y Vogt. ^[2] Siguiendo a ellos, JP May introdujo el término “ operad ”, que es un tipo particular de PROP, para el objeto que Boardman y Vogt llamaron la “categoría de operadores en forma estándar”.

Existen las siguientes inclusiones de subcategorías completas: ^[3]

${\displaystyle {\mathsf {Operads}}\subset {\tfrac {1}{2}}{\mathsf {PROP}}\subset {\mathsf {PROP}}}$

donde la primera categoría es la categoría de operadas (simétricas).

Ejemplos y variantes

Una clase elemental importante de PROP son los conjuntos de todas las matrices (sin importar el número de filas y columnas) sobre un anillo fijo . Más concretamente, estas matrices son los morfismos de la PROP; los objetos pueden tomarse como (conjuntos de vectores) o simplemente como números naturales simples (ya que los objetos no tienen que ser conjuntos con alguna estructura). En este ejemplo: ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{\bullet \times \bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ${\displaystyle \{{\mathcal {R}}^{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• La composición de morfismos es la multiplicación de matrices ordinaria . ${\displaystyle \circ }$
• El morfismo identidad de un objeto (o ) es la matriz identidad con lado . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{n}}$ ${\displaystyle n}$
• El producto actúa sobre objetos como adición ( o ) y sobre morfismos como una operación de construcción de matrices diagonales en bloques : . ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle m\otimes n=m+n}$ ${\displaystyle {\mathcal {R}}^{m}\otimes {\mathcal {R}}^{n}={\mathcal {R}}^{m+n}}$ ${\displaystyle \alpha \otimes \beta ={\begin{bmatrix}\alpha &0\\0&\beta \end{bmatrix}}}$
  • La compatibilidad de la composición y el producto se reduce, por tanto, a:

    ${\displaystyle (A\otimes B)\circ (C\otimes D)={\begin{bmatrix}A&0\\0&B\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}C&0\\0&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}AC&0\\0&BD\end{bmatrix}}=(A\circ C)\otimes (B\circ D)}$.

  • Como caso extremo, se permiten matrices sin filas ( matrices) o sin columnas ( matrices), y con respecto a la multiplicación se consideran matrices cero. La identidad es la matriz. ${\displaystyle 0\times n}$ ${\displaystyle m\times 0}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle 0\times 0}$
• Las permutaciones en la PROP son las matrices de permutación . Por lo tanto, la acción izquierda de una permutación en una matriz (morfismo de esta PROP) es permutar las filas, mientras que la acción derecha es permutar las columnas.

También hay PROP de matrices donde el producto es el producto de Kronecker , pero en esa clase de PROP las matrices deben ser todas de la forma (los lados son todas potencias de alguna base común ); estas son las contrapartes de coordenadas de categorías monoidales simétricas apropiadas de espacios vectoriales bajo producto tensorial. ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle k^{m}\times k^{n}}$ ${\displaystyle k}$

Otros ejemplos de PROP:

• la categoría discreta de los números naturales, ${\displaystyle \mathbb {N} }$
• la categoría FinSet de números naturales y funciones entre ellos,
• la categoría Bij de números naturales y biyecciones,
• la categoría Inj de números naturales e inyecciones.

Si se elimina el requisito “simétrico”, se obtiene la noción de categoría PRO . Si se reemplaza “simétrico” por b raided , se obtiene la noción de categoría PROB .

• la categoría Bij _Braid de números naturales, dotada del grupo trenzado B _n como automorfismos de cada n (y ningún otro morfismos).

es una PROB pero no una PROP.

• la categoría simplex aumentada de números naturales y funciones que preservan el orden . ${\displaystyle \Delta _{+}}$

es un ejemplo de PRO que ni siquiera es un PROB.

Álgebras de un PRO

Un álgebra de una PRO en una categoría monoidal es un funtor monoidal estricto de a . Toda PRO y categoría da lugar a una categoría de álgebras cuyos objetos son las álgebras de en y cuyos morfismos son las transformaciones naturales entre ellas. ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \mathrm {Alg} _{P}^{C}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$

Por ejemplo:

• un álgebra de es solo un objeto de , ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle C}$
• un álgebra de FinSet es un objeto monoide conmutativo de , ${\displaystyle C}$
• un álgebra de es un objeto monoide en . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle C}$

Más precisamente, lo que queremos decir aquí con "las álgebras de en son los objetos monoides en ", por ejemplo, es que la categoría de las álgebras de en es equivalente a la categoría de los monoides en . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

Véase también

• Teoría de Lawvere
• Categoría de permutación

Referencias

1. Mac Lane 1965, Cap. V, § 24.
2. Boardman, JM; Vogt, RM (1968). "Homotopía-todo en H-espacios" (PDF) . Bull. Amer. Math. Soc . 74 (6): 1117–22. doi :10.1090/S0002-9904-1968-12070-1. MR  0236922.
3. Markl, Martin (2006). "Operads y PROPs". Manual de álgebra . 5 (1): 87–140. doi :10.1016/S1570-7954(07)05002-4. ISBN 978-0-444-53101-8. Número de identificación del sujeto  3239126.pág. 45

• Mac Lane, Saunders (1965). "Álgebra categórica". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 71 : 40–106. doi : 10.1090/S0002-9904-1965-11234-4 .
• Markl, Martin; Shnider, Steve ; Stasheff, Jim (2002). Operadas en álgebra, topología y física. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4362-8.
• Leinster, Tom (2004). Operads superiores, categorías superiores . Cambridge University Press. arXiv : math/0305049 . Bibcode :2004hohc.book.....L. ISBN 978-0-521-53215-0.