Operador de cambio

Operador mecánico cuántico que intercambia estados de partículas como argumentos de una función

En mecánica cuántica , el operador de intercambio , también conocido como operador de permutación , es un operador de mecánica cuántica que actúa sobre estados en el espacio de Fock . El operador de intercambio actúa cambiando las etiquetas de dos partículas idénticas cualesquiera descritas por el estado cuántico de posición conjunta . ^[1] Dado que las partículas son idénticas, la noción de simetría de intercambio requiere que el operador de intercambio sea unitario . ${\displaystyle {\hat {P}}}$ ${\displaystyle \left|x_{1},x_{2}\right\rangle }$

Construcción

Intercambio de dos partículas en el espaciotiempo 2+1 por rotación. Las rotaciones no son equivalentes, ya que una no puede deformarse en la otra (sin que las líneas de mundo abandonen el plano, algo imposible en el espacio 2D).

En tres dimensiones o más , el operador de intercambio puede representar un intercambio literal de las posiciones del par de partículas mediante el movimiento de las partículas en un proceso adiabático , con todas las demás partículas mantenidas fijas. Esta moción a menudo no se lleva a cabo en la práctica. Más bien, la operación se trata como un "qué pasaría si" similar a una inversión de paridad o una operación de inversión de tiempo . Consideremos dos operaciones repetidas de dicho intercambio de partículas:

${\displaystyle {\hat {P}}^{2}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{1},x_{2}\right\rangle }$

Por lo tanto, no sólo es unitario sino también un operador raíz cuadrada de 1, lo que deja las posibilidades ${\displaystyle {\hat {P}}}$

${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\pm \left|x_{2},x_{1}\right\rangle \,.}$

Ambos signos se realizan en la naturaleza. Las partículas que satisfacen el caso de +1 se denominan bosones , y las partículas que satisfacen el caso de −1 se denominan fermiones . El teorema de la estadística de espín dicta que todas las partículas con espín entero son bosones, mientras que todas las partículas con espín semientero son fermiones.

El operador de cambio conmuta con el hamiltoniano y por tanto es una cantidad conservada . Por lo tanto, siempre es posible y generalmente más conveniente elegir una base en la que los estados sean estados propios del operador de intercambio. Tal estado es completamente simétrico bajo el intercambio de todos los bosones idénticos o completamente antisimétrico bajo el intercambio de todos los fermiones idénticos del sistema. Para hacer esto, por ejemplo, con fermiones, el antisimetrizador construye un estado completamente antisimétrico.

En 2 dimensiones, el intercambio adiabático de partículas no es necesariamente posible. En cambio, los valores propios del operador de intercambio pueden ser factores de fase complejos (en cuyo caso no son hermitianos), consulte este caso en cualquier página . El operador de intercambio no está bien definido en un sistema estrictamente unidimensional, aunque existen construcciones de redes unidimensionales que se comportan como sistemas bidimensionales efectivos. ${\displaystyle {\hat {P}}}$

Química cuántica

Un operador de intercambio modificado se define en el método de química cuántica de Hartree-Fock , para estimar la energía de intercambio que surge de las estadísticas de intercambio descritas anteriormente. En este método, a menudo se define un operador de intercambio energético como:

${\displaystyle {\hat {K}}_{j}(x_{1})f_{i}(x_{1})=\phi _{j}(x_{1})\int {{\frac {\phi _{j}^{*}(x_{2})f_{i}(x_{2})}{r_{12}}}\mathrm {d} x_{2}}}$

donde es el operador de intercambio de un electrón, y , son las funciones de onda de un electrón sobre las que actúa el operador de intercambio como funciones de las posiciones de los electrones, y y son las funciones de onda de un electrón del -ésimo electrón como funciones de las posiciones del electrones. Se denota su separación . ^[2] Las etiquetas 1 y 2 son sólo por conveniencia de notación, ya que físicamente no hay forma de realizar un seguimiento de "qué electrón es cuál". ${\displaystyle {\hat {K}}_{j}(x_{1})}$ ${\displaystyle f(x_{1})}$ ${\displaystyle f(x_{2})}$ ${\displaystyle \phi _{j}(x_{1})}$ ${\displaystyle \phi _{j}(x_{2})}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle r_{12}}$

Ver también

• Interacción de intercambio
• Hamiltoniano (mecánica cuántica)
• operador de culombio
• Simetría de intercambio o simetría de permutación

Referencias

1. JS Townsend (2000). Un enfoque moderno de la mecánica cuántica. Serie internacional de física pura y aplicada. vol. 69 (2 ed.). Libros de ciencias universitarias. pag. 342.ISBN​ 978-1891389139.
2. Levine, IN, Química cuántica (4ª ed., Prentice Hall 1991) p.403. ISBN 0-205-12770-3 

• K. Kitaura; K. Morokuma (2004). "Un nuevo esquema de descomposición de energía para interacciones moleculares dentro de la aproximación de Hartree-Fock". Revista Internacional de Química Cuántica . 10 (2). Wiley: 325–340. doi :10.1002/qua.560100211.
• Bylander, DM; Kleinman, Leonard (1990). "Buenas bandas prohibidas de semiconductores con una aproximación de densidad local modificada". Revisión física B. 41 (11): 7868–7871. Código bibliográfico : 1990PhRvB..41.7868B. doi : 10.1103/PhysRevB.41.7868. PMID  9993089.
• AP Polychronakos (1992). "Formalismo de operador de intercambio para sistemas integrables de partículas". Física. Rev. Lett . 69 (5): 703–705. arXiv : hep-th/9202057 . Código bibliográfico : 1992PhRvL..69..703P. doi :10.1103/PhysRevLett.69.703. PMID  10047011. S2CID  14319416.
• Szépfalusy, P. (1957). "Sobre un nuevo potencial cambiario". Acta Physica Academiae Scientiarum Hungaricae . 7 (3): 357–364. doi :10.1007/BF03156345. S2CID  124672448.
• RK Nesbet (1958). "El operador de intercambio de Heisenberg para sistemas ferromagnéticos y antiferromagnéticos". Anales de Física . 4 (1). Lincoln, Massachusetts, EE.UU.: Elsevier: 87–103. Código bibliográfico : 1958AnPhy...4...87N. doi :10.1016/0003-4916(58)90039-3.
• "La ecuación de Hartree-Fock".

enlaces externos

• 2.3.Partículas idénticas, P. Haynes Archivado el 1 de julio de 2013 en la Wayback Machine.
• Capítulo 12, Estados de partículas múltiples
• Intercambio de partículas idénticas y posiblemente indistinguibles, J. Denker