Operador de Dirac

First-order differential linear operator on spinor bundle, whose square is the Laplacian

En matemáticas y mecánica cuántica , un operador de Dirac es un operador diferencial que es una raíz cuadrada formal, o semiitera , de un operador de segundo orden como un laplaciano . El caso original que interesaba a Paul Dirac era factorizar formalmente un operador para el espacio de Minkowski , para obtener una forma de teoría cuántica compatible con la relatividad especial ; para obtener el laplaciano relevante como un producto de operadores de primer orden, introdujo los espinores . Fue publicado por primera vez en 1928 por Dirac. ^[1]

Definición formal

En general, sea D un operador diferencial de primer orden que actúa sobre un fibrado vectorial V sobre una variedad riemanniana M . Si

${\displaystyle D^{2}=\Delta ,\,}$

donde ∆ es el Laplaciano de V , entonces D se llama operador de Dirac .

En física de altas energías , este requisito suele relajarse: solo la parte de segundo orden de D ² debe ser igual al Laplaciano.

Ejemplos

Ejemplo 1

D = − i ∂ _x es un operador de Dirac sobre el fibrado tangente sobre una línea.

Ejemplo 2

Consideremos un haz simple de notable importancia en física: el espacio de configuración de una partícula con espín ⁠1/2⁠ confinada en un plano, que es también la variedad base. Se representa mediante una función de onda ψ  : R ² → C ²

${\displaystyle \psi (x,y)={\begin{bmatrix}\chi (x,y)\\\eta (x,y)\end{bmatrix}}}$

donde x e y son las funciones de coordenadas habituales en R ² . χ especifica la amplitud de probabilidad de que la partícula esté en el estado de espín hacia arriba, y de manera similar para η . El llamado operador de espín-Dirac puede entonces escribirse

${\displaystyle D=-i\sigma _{x}\partial _{x}-i\sigma _{y}\partial _{y},}$

donde σ _i son las matrices de Pauli . Nótese que las relaciones de anticonmutación para las matrices de Pauli hacen que la prueba de la propiedad definitoria anterior sea trivial. Esas relaciones definen la noción de un álgebra de Clifford .

Las soluciones de la ecuación de Dirac para campos de espinores a menudo se denominan espinores armónicos . ^[2]

Ejemplo 3

El operador de Dirac de Feynman describe la propagación de un fermión libre en tres dimensiones y está escrito elegantemente.

${\displaystyle D=\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\ \equiv \partial \!\!\!/,}$

utilizando la notación de barra de Feynman . En los libros de texto introductorios a la teoría cuántica de campos , esto aparecerá en la forma

${\displaystyle D=c{\vec {\alpha }}\cdot (-i\hbar \nabla _{x})+mc^{2}\beta }$

donde son las matrices de Dirac fuera de la diagonal , con y las constantes restantes son la velocidad de la luz , siendo la constante de Planck , y la masa de un fermión (por ejemplo, un electrón ). Actúa sobre una función de onda de cuatro componentes , el espacio de Sobolev de funciones suaves integrables al cuadrado. Se puede extender a un operador autoadjunto en ese dominio. El cuadrado, en este caso, no es el laplaciano, sino (después de establecer ) ${\displaystyle {\vec {\alpha }}=(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})}$ ${\displaystyle \alpha _{i}=\beta \gamma _{i}}$ ${\displaystyle \beta =\gamma _{0}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \hbar }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \psi (x)\in L^{2}(\mathbb {R} ^{3},\mathbb {C} ^{4})}$ ${\displaystyle D^{2}=\Delta +m^{2}}$ ${\displaystyle \hbar =c=1.}$

Ejemplo 4

Otro operador de Dirac surge en el análisis de Clifford . En el espacio n euclidiano , este es

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}}$

donde { e _j : j = 1, ..., n } es una base ortonormal para el espacio n euclidiano , y se considera que R ⁿ está incrustado en un álgebra de Clifford .

Este es un caso especial del operador Atiyah–Singer–Dirac que actúa sobre secciones de un fibrado de espinores .

Ejemplo 5

Para una variedad de espín , M , el operador de Atiyah–Singer–Dirac se define localmente de la siguiente manera: Para x ∈ M y e ₁ ( x ), ..., e _j ( x ) una base ortonormal local para el espacio tangente de M en x , el operador de Atiyah–Singer–Dirac es

${\displaystyle D=\sum _{j=1}^{n}e_{j}(x){\tilde {\Gamma }}_{e_{j}(x)},}$

donde es la conexión de espín , una elevación de la conexión de Levi-Civita en M al fibrado de espinores sobre M . El cuadrado en este caso no es el Laplaciano, sino donde es la curvatura escalar de la conexión. ^[3] ${\displaystyle {\tilde {\Gamma }}}$ ${\displaystyle D^{2}=\Delta +R/4}$ ${\displaystyle R}$

Ejemplo 6

Sobre una variedad riemanniana de dimensión con conexión de Levi-Civita y una base ortonormal , podemos definir derivada exterior y coderivada como ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle n=dim(M)}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \{e_{a}\}_{a=1}^{n}}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle d=e^{a}\wedge \nabla _{e_{a}},\quad \delta =e^{a}\lrcorner \nabla _{e_{a}}}$.

Luego podemos definir un operador de Dirac-Kähler ^{[4] [5] [6]} , de la siguiente manera ${\displaystyle D}$

${\displaystyle D=e^{a}\nabla _{e_{a}}=d-\delta }$.

El operador actúa sobre secciones del fibrado de Clifford en general, y puede restringirse a un fibrado de espinores, un ideal del fibrado de Clifford, sólo si el operador de proyección sobre el ideal es paralelo. ^{[4] [5] [6]}

Generalizaciones

En el análisis de Clifford, el operador D  : C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , S ) → C ^∞ ( R ^k ⊗ R ⁿ , C ^k ⊗ S ) actúa sobre funciones con valores de espinor definidas por

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{k})\mapsto {\begin{pmatrix}\partial _{\underline {x_{1}}}f\\\partial _{\underline {x_{2}}}f\\\ldots \\\partial _{\underline {x_{k}}}f\\\end{pmatrix}}}$

A veces se le denomina operador de Dirac en k variables de Clifford. En la notación, S es el espacio de espinores, son variables n -dimensionales y es el operador de Dirac en la i -ésima variable. Esta es una generalización común del operador de Dirac ( k = 1 ) y del operador de Dolbeault ( n = 2 , k arbitrario). Es un operador diferencial invariante , invariante bajo la acción del grupo SL( k ) × Spin( n ) . La resolución de D se conoce solo en algunos casos especiales. ${\displaystyle x_{i}=(x_{i1},x_{i2},\ldots ,x_{in})}$ ${\displaystyle \partial _{\underline {x_{i}}}=\sum _{j}e_{j}\cdot \partial _{x_{ij}}}$

Véase también

• Jerarquía de AKNS
• Ecuación de Dirac
• Álgebra de Clifford
• Análisis de Clifford
• Conexión
• Operador Dolbeault
• Calentar el núcleo
• Haz espinorial

Referencias

1. Mojón Álvarez, Diego (2020). Operadores de Dirac (PDF) (Tesis de pregrado). Universidad de Santiago de Compostela.
2. "Estructura del espinor", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
3. Jurgen Jost, (2002) "Geometría riemanniana y análisis geométrico (3.ª edición)", Springer. Véase la sección 3.4, páginas 142 y siguientes.
4. Graf, Wolfgang (1978). "Formas diferenciales como espinores". Annales de l'Institut Henri Poincaré A. 29 (1): 85-109. ISSN  2400-4863.
5. Benn, Ian M.; Tucker, Robin W. (1987). Introducción a los espinores y la geometría con aplicaciones en física. A. Hilger. ISBN 978-0-85274-169-6.
6. Kycia, Radosław Antoni (29 de julio de 2022). "El lema de Poincaré para formas codiferenciales y anticoexactas y aplicaciones a la física". Resultados en Matemáticas . 77 (5): 182. arXiv : 2009.08542 . doi :10.1007/s00025-022-01646-z. ISSN  1420-9012. S2CID  221802588.

• Friedrich, Thomas (2000), Operadores de Dirac en geometría riemanniana , American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2055-1
• Colombo, F., I.; Sabadini, I. (2004), Análisis de sistemas de Dirac y álgebra computacional , Birkhauser Verlag AG, ISBN 978-3-7643-4255-5