Odómetro de Markov

En matemáticas, un odómetro de Markov es un cierto tipo de sistema dinámico topológico . Desempeña un papel fundamental en la teoría ergódica y especialmente en la teoría orbital de sistemas dinámicos , ya que un teorema de H. Dye afirma que toda transformación ergódica no singular es orbitalmente equivalente a un odómetro de Markov. ^[1]

El ejemplo básico de tal sistema es el "odómetro no singular", que es un grupo topológico aditivo definido en el espacio producto de espacios discretos , inducido por la suma definida como , donde . A este grupo se le puede dotar de la estructura de un sistema dinámico ; el resultado es un sistema dinámico conservador . ${\displaystyle x\mapsto x+{\underline {1}}}$ ${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$

La forma general, que se denomina "odómetro de Markov", se puede construir mediante el diagrama de Bratteli-Vershik para definir el espacio compacto de Bratteli-Vershik junto con una transformación correspondiente.

Odómetros no singulares

Se pueden definir varios tipos de odómetros no singulares. ^[2] A veces se las denomina máquinas sumadoras . ^[3] El más sencillo se ilustra con el proceso de Bernoulli . Este es el conjunto de todas las cadenas infinitas en dos símbolos, aquí denotado por dotado de la topología del producto . Esta definición se extiende naturalmente a un odómetro más general definido en el espacio del producto. ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }\left(\mathbb {Z} /k_{n}\mathbb {Z} \right)}$

para alguna secuencia de números enteros con cada uno ${\displaystyle (k_{n})}$ ${\displaystyle k_{n}\geq 2.}$

El odómetro para todos se denomina odómetro diádico , máquina sumadora de von Neumann-Kakutani o máquina sumadora diádica . ${\displaystyle k_{n}=2}$ ${\displaystyle n}$

La entropía topológica de toda máquina sumadora es cero. ^[3] Cualquier mapa continuo de un intervalo con una entropía topológica de cero está topológicamente conjugado con una máquina sumadora, cuando se restringe a su acción sobre el conjunto transitivo topológicamente invariante, con las órbitas periódicas eliminadas. ^[3]

Odómetro diádico

Odómetro diádico visualizado como una transformación de intercambio de intervalos con el mapeo ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2},\cdots )\mapsto \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x_{n}}{2^{n}}}.}$

Odómetro diádico repetido dos veces; eso es ${\displaystyle T^{2}.}$

Odómetro diádico tres veces iterado; eso es ${\displaystyle T^{3}.}$

Odómetro diádico repetido cuatro veces; eso es ${\displaystyle T^{4}.}$

El conjunto de todas las cadenas infinitas en cadenas de dos símbolos tiene una topología natural, la topología del producto , generada por los conjuntos de cilindros . La topología del producto se extiende a un álgebra sigma de Borel ; denotemos ese álgebra. Los puntos individuales se denotan como ${\displaystyle \Omega =\{0,1\}^{\mathbb {N} }}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots ).}$

El proceso de Bernoulli está convencionalmente dotado de un conjunto de medidas , las medidas de Bernoulli, dadas por y , para algunas independientes de . El valor de es bastante especial; corresponde al caso especial de la medida de Haar , cuando se la considera un grupo abeliano compacto . Tenga en cuenta que la medida de Bernoulli no es la misma que la medida 2-ádica en los enteros diádicos . Formalmente, se puede observar que también es el espacio base para los números enteros diádicos; sin embargo, los enteros diádicos están dotados de una métrica , la métrica p-ádica, que induce una topología métrica distinta de la topología de producto utilizada aquí. ${\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=1)=p}$ ${\displaystyle \mu _{p}(x_{n}=0)=1-p}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p=1/2}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$

El espacio se puede dotar de suma, definida como suma de coordenadas, con un bit de acarreo. Es decir, para cada coordenada, sea dónde y ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle (x+y)_{n}=x_{n}+y_{n}+\varepsilon _{n}\,{\bmod {\,}}2}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}=0}$

${\displaystyle \varepsilon _{n}={\begin{cases}0&x_{n-1}+y_{n-1}<2\\1&x_{n-1}+y_{n-1}=2\end{cases}}}$

por inducción. El incremento en uno se denomina entonces odómetro (diádico) . Es la transformación dada por , donde . Se llama odómetro por cómo se ve cuando "da la vuelta": es la transformación . Tenga en cuenta que y que es -medible, es decir, para todos ${\displaystyle T:\Omega \to \Omega }$ ${\displaystyle T(x)=x+{\underline {1}}}$ ${\displaystyle {\underline {1}}:=(1,0,0,\dots )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T\left(1,\dots ,1,0,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)=\left(0,\dots ,0,1,x_{k+1},x_{k+2},\dots \right)}$ ${\displaystyle T^{-1}(0,0,\cdots )=(1,1,\cdots )}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle T^{-1}(\sigma )\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}.}$

La transformación no es singular para cada . Recuerde que una transformación medible es no singular cuando, dado , se tiene eso si y sólo si . En este caso, se encuentra ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu _{p}}$ ${\displaystyle \tau :\Omega \to \Omega }$ ${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \mu (\tau ^{-1}\sigma )=0}$ ${\displaystyle \mu (\sigma )=0}$

${\displaystyle {\frac {d\mu _{p}\circ T}{d\mu _{p}}}=\left({\frac {1-p}{p}}\right)^{\varphi }}$

dónde . Por tanto, es no singular con respecto a . ${\displaystyle \varphi (x)=\min \left\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}=0\right\}-2}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mu _{p}}$

La transformación es ergódica . Esto se deduce porque, para todo número natural , la órbita de under es el conjunto . Esto a su vez implica que es conservador , ya que toda transformación ergódica no singular invertible en un espacio no atómico es conservadora. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle T^{0},T^{1},\cdots ,T^{2^{n}-1}}$ ${\displaystyle \{0,1\}^{n}}$ ${\displaystyle T}$

Tenga en cuenta que para el caso especial de , se trata de un sistema dinámico que conserva medidas . ${\displaystyle p=1/2}$ ${\displaystyle \left(\Omega ,{\mathcal {B}},\mu _{1/2},T\right)}$

Odómetros enteros

La misma construcción permite definir tal sistema para cada producto de espacios discretos . En general se escribe

${\displaystyle \Omega =\prod _{n\in \mathbb {N} }A_{n}}$

para con un número entero. La topología del producto se extiende naturalmente al producto Borel sigma-álgebra en . Una medida de producto en se define convencionalmente como dada alguna medida en . El mapa correspondiente está definido por ${\displaystyle A_{n}=\mathbb {Z} /m_{n}\mathbb {Z} =\{0,1,\dots ,m_{n}-1\}}$ ${\displaystyle m_{n}\geq 2}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \textstyle \mu =\prod _{n\in \mathbb {N} }\mu _{n},}$ ${\displaystyle \mu _{n}}$ ${\displaystyle A_{n}}$

${\displaystyle T(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},x_{k+2},\dots )=(0,\dots ,0,x_{k}+1,x_{k+1},x_{k+2},\dots )}$

¿Dónde está el índice más pequeño para el cual ? Este es nuevamente un grupo topológico. ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}\neq m_{k}-1}$

Un caso especial es el odómetro de Ornstein , que se define en el espacio

${\displaystyle \Omega =\left(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} \right)\times \left(\mathbb {Z} /4\mathbb {Z} \right)\times \cdots }$

con la medida un producto de

${\displaystyle \mu _{n}(j)={\begin{cases}1/2&{\mbox{ if }}j=0\\1/2(n+1)&{\mbox{ if }}j\neq 0\\\end{cases}}}$

Modelo de pila de arena

Un concepto estrechamente relacionado con el odómetro conservador es el del modelo abeliano de pila de arena . Este modelo reemplaza la secuencia lineal dirigida de grupos finitos construida anteriormente por un gráfico no dirigido de vértices y aristas. En cada vértice se coloca un grupo finito con el grado del vértice . Las funciones de transición están definidas por el gráfico laplaciano . Es decir, se puede incrementar en uno cualquier vértice dado; al incrementar el elemento del grupo más grande (para que vuelva a incrementarse hasta cero), cada uno de los vértices vecinos se incrementa en uno. ${\displaystyle (V,E)}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n=deg(v)}$ ${\displaystyle v}$

Los modelos de pilas de arena difieren de la definición anterior de odómetro conservador en tres formas diferentes. Primero, en general, no hay un vértice único señalado como vértice inicial, mientras que en lo anterior, el primer vértice es el vértice inicial; es el que se incrementa con la función de transición. Además, los modelos de pila de arena en general utilizan bordes no dirigidos, de modo que la envoltura del odómetro se redistribuye en todas direcciones. Una tercera diferencia es que los modelos de pila de arena generalmente no se toman en un gráfico infinito, sino que hay un vértice especial señalado, el "sumidero", que absorbe todos los incrementos y nunca se envuelve. El sumidero equivale a cortar las infinitas partes de un gráfico infinito y reemplazarlas por el sumidero; alternativamente, ignorar todos los cambios más allá de ese punto de terminación.

Odómetro de Markov

Sea un diagrama de Bratteli-Vershik ordenado , consta de un conjunto de vértices de la forma (unión disjunta) donde es un singleton y de un conjunto de aristas (unión disjunta). ${\displaystyle B=(V,E)}$ ${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }V^{(n)}}$ ${\displaystyle V^{0}}$ ${\displaystyle \textstyle \coprod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$

El diagrama incluye asignaciones de sobreyección de fuente y asignaciones de sobreyección de rango . Suponemos que son comparables si y sólo si . ${\displaystyle s_{n}:E^{(n)}\to V^{(n-1)}}$ ${\displaystyle r_{n}:E^{(n)}\to V^{(n)}}$ ${\displaystyle e,e'\in E^{(n)}}$ ${\displaystyle r_{n}(e)=r_{n}(e')}$

Para dicho diagrama observamos el espacio del producto equipado con la topología del producto . Defina "Bratteli-Vershik compactum" como el subespacio de caminos infinitos, ${\displaystyle \textstyle E:=\prod _{n\in \mathbb {N} }E^{(n)}}$

${\displaystyle X_{B}:=\left\{x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\in E\mid x_{n}\in E^{(n)}{\text{ and }}r(x_{n})=s(x_{n+1})\right\}}$

Supongamos que existe sólo un camino infinito para el cual cada uno es máximo y, de manera similar, un camino infinito . Defina el "mapa Bratteli-Vershik" mediante y, para cualquier definición , dónde está el primer índice para el cual no es máximo y, en consecuencia, sea la ruta única para los cuales todos son máximos y es el sucesor de . Entonces es el homeomorfismo de . ${\displaystyle x_{\max }=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle x_{\text{min}}}$ ${\displaystyle T_{B}:X_{B}\to X_{B}}$ ${\displaystyle T(x_{\max })=x_{\min }}$ ${\displaystyle x=(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }\neq x_{\max }}$ ${\displaystyle T_{B}(x_{1},\dots ,x_{k},x_{k+1},\dots )=(y_{1},\dots ,y_{k},x_{k+1},\dots )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{k})}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{k-1}}$ ${\displaystyle y_{k}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle T_{B}}$ ${\displaystyle X_{B}}$

Sea una secuencia de matrices estocásticas tal que si y sólo si . Defina "medida de Markov" en los cilindros de por . Entonces el sistema se llama "odómetro de Markov". ${\displaystyle P=\left(P^{(1)},P^{(2)},\dots \right)}$ ${\displaystyle P^{(n)}=\left(p_{(v,e)\in V^{n-1}\times E^{(}n)}^{(n)}\right)}$ ${\displaystyle p_{v,e}^{(n)}>0}$ ${\displaystyle v=s_{n}(e)}$ ${\displaystyle X_{B}}$ ${\displaystyle \mu _{P}([e_{1},\dots ,e_{n}])=p_{s_{1}(e_{1}),e_{1}}^{(1)}\cdots p_{s_{n}(e_{n}),e_{n}}^{(n)}}$ ${\displaystyle \left(X_{B},{\mathcal {B}},\mu _{P},T_{B}\right)}$

Se puede demostrar que el odómetro no singular es un odómetro de Markov donde todos son únicos. ${\displaystyle V^{(n)}}$

Ver también

• Modelo de pila de arena abeliana

Referencias

1. Dooley, AH; Hamachi, T. (2003). "Sistemas dinámicos no singulares, diagramas de Bratteli y odómetros de Markov". Revista Israelí de Matemáticas . 138 : 93-123. doi : 10.1007/BF02783421 .
2. Danilenko, Alejandro I.; Silva, César E. (2011). "Teoría ergódica: transformaciones no singulares". En Meyers, Robert A. (ed.). Matemáticas de la Complejidad y Sistemas Dinámicos . Saltador. arXiv : 0803.2424 . doi : 10.1007/978-1-4614-1806-1_22 .
3. Nicol, Mateo; Petersen, Karl (2009). "Teoría ergódica: ejemplos y construcciones básicos" (PDF) . Enciclopedia de Complejidad y Ciencia de Sistemas . Saltador. doi :10.1007/978-0-387-30440-3_177. ISBN 978-0-387-30440-3.

Otras lecturas

• Aaronson, J. (1997). Una introducción a la teoría ergódica infinita . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 50. Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 25–32. ISBN 9781470412814.
• Dooley, Anthony H. (2003). "Odómetros de Markov". En Bezuglyi, Sergey; Kolyada, Sergiy (eds.). Temas de dinámica y teoría ergódica. Artículos de estudio y minicursos presentados en la conferencia internacional y el taller entre Estados Unidos y Ucrania sobre sistemas dinámicos y teoría ergódica, Katsiveli, Ucrania, 21 al 30 de agosto de 2000 . Londres. Matemáticas. Soc. Lectura. Nota ser. vol. 310. Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 60–80. ISBN 0-521-53365-1. Zbl  1063.37005.