Tasa de Nyquist

Frecuencia de muestreo mínima para evitar el aliasing

Fig. 1: Ejemplo típico de frecuencia y tasa de Nyquist. Rara vez son iguales, porque eso requeriría un sobremuestreo por un factor de 2 (es decir, 4 veces el ancho de banda).

En el procesamiento de señales , la tasa de Nyquist , llamada así por Harry Nyquist , es un valor igual al doble de la frecuencia más alta ( ancho de banda ) de una función o señal dada. Tiene unidades de muestras por unidad de tiempo, expresadas convencionalmente como muestras por segundo o hercios (Hz). ^[1] Cuando la señal se muestrea a una frecuencia de muestreo más alta (ver § Frecuencia crítica ), se dice que la secuencia de tiempo discreto resultante está libre de la distorsión conocida como aliasing . Por el contrario, para una frecuencia de muestreo dada, la frecuencia de Nyquist correspondiente es la mitad de la frecuencia de muestreo. Tenga en cuenta que la tasa de Nyquist es una propiedad de una señal de tiempo continuo , mientras que la frecuencia de Nyquist es una propiedad de un sistema de tiempo discreto.

El término tasa de Nyquist también se utiliza en un contexto diferente con unidades de símbolos por segundo, que es en realidad el campo en el que trabajaba Harry Nyquist. En ese contexto, es un límite superior para la tasa de símbolos en un canal de banda base con ancho de banda limitado, como una línea telegráfica ^[2] o un canal de banda de paso , como una banda de radiofrecuencia limitada o un canal multiplexado por división de frecuencia .

Relativo al muestreo

Fig. 2: Transformada de Fourier de una función de banda limitada (amplitud vs frecuencia)

Cuando una función continua, se muestrea a una tasa constante, muestras/segundo , siempre hay un número ilimitado de otras funciones continuas que se ajustan al mismo conjunto de muestras. Pero solo una de ellas está limitada en banda a ciclos/segundo ( hertz ), ^[A] lo que significa que su transformada de Fourier , es para todos   Los algoritmos matemáticos que se utilizan normalmente para recrear una función continua a partir de muestras crean aproximaciones arbitrariamente buenas a esta función teórica, pero infinitamente larga. De ello se deduce que si la función original, está limitada en banda a lo que se denomina criterio de Nyquist , entonces es la única función a la que se aproximan los algoritmos de interpolación. En términos del propio ancho de banda de una función como se representa aquí, el criterio de Nyquist se suele expresar como   Y se denomina tasa de Nyquist para funciones con ancho de banda Cuando no se cumple el criterio de Nyquist , por ejemplo, se produce una condición denominada aliasing , que da como resultado algunas diferencias inevitables entre y una función reconstruida que tiene menos ancho de banda. En la mayoría de los casos, las diferencias se consideran distorsión. ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle f_{s}}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s}}$ ${\displaystyle X(f),}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |f|\geq {\tfrac {1}{2}}f_{s}.}$ ${\displaystyle x(t),}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}f_{s},}$ ${\displaystyle (B),}$ ${\displaystyle f_{s}>2B.}$ ${\displaystyle 2B}$ ${\displaystyle B.}$ ${\displaystyle (}$ ${\displaystyle B>{\tfrac {1}{2}}f_{s}),}$ ${\displaystyle x(t)}$

Fig. 3: Los 2 gráficos superiores representan las transformadas de Fourier de 2 funciones diferentes que producen los mismos resultados cuando se muestrean a una velocidad determinada. La función de banda base se muestrea más rápido que su velocidad de Nyquist, y la función de paso de banda se muestrea por debajo de su valor real, lo que la convierte efectivamente en banda base. Los gráficos inferiores indican cómo los alias del proceso de muestreo crean resultados espectrales idénticos.

Alias ​​intencional

La figura 3 muestra un tipo de función llamada banda base o paso bajo , porque su rango de frecuencia positiva de energía significativa es [0,  B ). Cuando, en cambio, el rango de frecuencia es ( A ,  A + B ), para algún A  >  B , se llama paso de banda , y un deseo común (por varias razones) es convertirla a banda base. Una forma de hacerlo es mezclar la frecuencia ( heterodina ) de la función paso de banda hasta el rango de frecuencia (0,  B ). Una de las posibles razones es reducir la tasa de Nyquist para un almacenamiento más eficiente. Y resulta que uno puede lograr directamente el mismo resultado muestreando la función paso de banda a una tasa de muestreo sub-Nyquist que es el submúltiplo entero más pequeño de la frecuencia A que cumple con el criterio de Nyquist de banda base: f _s  > 2 B . Para una discusión más general, vea muestreo paso de banda .

Relativo a la señalización

Mucho antes de que Harry Nyquist tuviera su nombre asociado con el muestreo, el término tasa de Nyquist se utilizaba de forma diferente, con un significado más cercano a lo que Nyquist realmente estudió. Citando el libro de Harold S. Black de 1953 Teoría de la modulación, en la sección Intervalo de Nyquist del capítulo inicial Antecedentes históricos:

"Si el rango de frecuencia esencial está limitado a B ciclos por segundo, Nyquist estableció 2 B como el número máximo de elementos de código por segundo que podrían resolverse sin ambigüedades, suponiendo que la interferencia máxima es menor que la mitad de un paso cuántico. Esta tasa se conoce generalmente como señalización a la tasa de Nyquist y 1/(2 B ) se ha denominado intervalo de Nyquist ". (negrita añadida para enfatizar; cursiva del original)

Según el OED , la afirmación de Black respecto a 2 B puede ser el origen del término tasa de Nyquist . ^[3]

El famoso artículo de Nyquist de 1928 fue un estudio sobre cuántos pulsos (elementos de código) se podían transmitir por segundo y recuperar a través de un canal de ancho de banda limitado. ^[4] La señalización a la tasa de Nyquist significaba poner tantos pulsos de código a través de un canal telegráfico como permitiera su ancho de banda. Shannon utilizó el enfoque de Nyquist cuando demostró el teorema de muestreo en 1948, pero Nyquist no trabajó en el muestreo per se.

El capítulo posterior de Black sobre "El principio de muestreo" le otorga a Nyquist parte del crédito por algunas matemáticas relevantes:

"Nyquist (1928) señaló que, si la función está sustancialmente limitada al intervalo de tiempo T , 2 valores BT son suficientes para especificar la función, basando sus conclusiones en una representación de la serie de Fourier de la función en el intervalo de tiempo T. "

Véase también

• Frecuencia de Nyquist
• Criterio ISI de Nyquist
• Teorema de muestreo de Nyquist-Shannon
• Muestreo (procesamiento de señales)

Notas

1. El factor de tiene las unidades ciclos/muestra (ver Muestreo y Teorema de muestreo ). ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$

Referencias

1. Oppenheim, Alan V. ; Schafer, Ronald W. ; Buck, John R. (1999). Procesamiento de señales en tiempo discreto (2.ª ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pág. 140. ISBN 0-13-754920-2. T es el período de muestreo, y su recíproco, f _s = 1/T, es la frecuencia de muestreo, en muestras por segundo.
2. Roger L. Freeman (2004). Ingeniería de sistemas de telecomunicaciones. John Wiley & Sons. pág. 399. ISBN 0-471-45133-9.
3. Black, HS , Modulation Theory , v. 65, 1953, citado en OED
4. Nyquist, Harry. "Certain topics in telegraph transmission theory", Trans. AIEE, vol. 47, pp. 617–644, abril de 1928. Reimpresión como artículo clásico en: Proc. IEEE, vol. 90, n.º 2, febrero de 2002.