En matemáticas , las conjeturas de Mersenne se refieren a la caracterización de un tipo de números primos llamados primos de Mersenne , es decir, números primos que son una potencia de dos menos uno.
La original, llamada conjetura de Mersenne , fue una afirmación de Marin Mersenne en su Cogitata Physico-Mathematica (1644; véase, por ejemplo, Dickson 1919) de que los números eran primos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31. , 67, 127 y 257, y eran compuestos para todos los demás números enteros positivos n ≤ 257. Ya se había demostrado que las primeras siete entradas de su lista ( para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19) eran primos por división de prueba antes de la época de Mersenne; [1] sólo las últimas cuatro entradas fueron nuevas afirmaciones de Mersenne. Debido al tamaño de esos últimos números, Mersenne no los probó ni pudo probarlos todos, ni tampoco sus pares del siglo XVII. Finalmente se determinó, después de tres siglos y de la disponibilidad de nuevas técnicas como la prueba de Lucas-Lehmer , que la conjetura de Mersenne contenía cinco errores, a saber, dos entradas son compuestas (las correspondientes a los números primos n = 67, 257) y tres números primos son faltantes (los correspondientes a los primos n = 61, 89, 107). La lista correcta para n ≤ 257 es: n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 y 127.
Si bien la conjetura original de Mersenne es falsa, puede haber llevado a la conjetura de Nueva Mersenne .
La conjetura de New Mersenne o conjetura de Bateman, Selfridge y Wagstaff (Bateman et al. 1989) establece que para cualquier número natural impar p , si se cumplen dos de las siguientes condiciones, también se cumple la tercera:
Si p es un número compuesto impar, entonces 2 p − 1 y (2 p + 1)/3 son ambos compuestos. Por lo tanto, sólo es necesario probar los números primos para verificar la verdad de la conjetura.
Actualmente, hay nueve números conocidos para los cuales se cumplen las tres condiciones: 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 127 (secuencia A107360 en la OEIS ). Bateman et al. Esperó que ningún número mayor que 127 satisficiera las tres condiciones, y demostró que heurísticamente ningún número mayor satisfaría siquiera dos condiciones, lo que haría que la nueva conjetura de Mersenne fuera trivialmente cierta.
A partir de 2024 [actualizar], se conocen todos los primos de Mersenne hasta 2 57885161 − 1, y para ninguno de ellos se cumple la tercera condición, excepto los que se acaban de mencionar. [2] [3] Los primos que satisfacen al menos una condición son
Tenga en cuenta que los dos primos para los cuales la conjetura original de Mersenne es falsa (67 y 257) satisfacen la primera condición de la nueva conjetura (67 = 2 6 + 3, 257 = 2 8 + 1), pero no las otras dos. 89 y 107, que Mersenne omitió, satisfacen la segunda condición pero no las otras dos. Mersenne pudo haber pensado que 2 p − 1 es primo sólo si p = 2 k ± 1 o p = 4 k ± 3 para algún número natural k , pero si hubiera pensado que era " si y sólo si ", habría incluido 61.
Se puede considerar la conjetura de Nueva Mersenne como un intento de salvar la centenaria conjetura de Mersenne, que es falsa. Sin embargo, según Robert D. Silverman, John Selfridge estuvo de acuerdo en que la conjetura de Nueva Mersenne es "obviamente cierta", ya que fue elegida para ajustarse a los datos conocidos y los contraejemplos más allá de esos casos son extremadamente improbables. Puede considerarse más una observación curiosa que una cuestión abierta que necesita ser demostrada .
Prime Pages muestra que la conjetura de New Mersenne es cierta para todos los números enteros menores o iguales a 30402457 [2] al enumerar sistemáticamente todos los primos para los cuales ya se sabe que se cumple una de las condiciones.
Lenstra , Pomerance y Wagstaff han conjeturado que hay infinitos primos de Mersenne y, más precisamente, que el número de primos de Mersenne menores que x se aproxima asintóticamente por
donde γ es la constante de Euler-Mascheroni . En otras palabras, el número de primos de Mersenne con exponente p menor que y es asintóticamente
Esto significa que, en promedio, debería haber aproximadamente ≈ 5,92 primos p de un número dado de dígitos decimales tales que sean primos. La conjetura es bastante precisa para los primeros 40 primos de Mersenne, pero entre 2 20.000.000 y 2 85.000.000 hay al menos 12, [6] en lugar del número esperado que es alrededor de 3,7.
De manera más general, el número de primos p ≤ y tales que son primos (donde a , b son enteros coprimos , a > 1, − a < b < a , a y b no son potencias r -ésimas perfectas para cualquier número natural r > 1, y −4 ab no es una cuarta potencia perfecta) es asintóticamente
donde m es el entero no negativo más grande tal que a y − b son potencias perfectas 2 m -ésimas. El caso de los números primos de Mersenne es un caso de ( a , b ) = (2, 1).
