Número doble de Mersenne

En matemáticas , un número doble de Mersenne es un número de Mersenne de la forma

${\displaystyle M_{M_{p}}=2^{2^{p}-1}-1}$

donde p es primo .

Ejemplos

Los primeros cuatro términos de la secuencia de números dobles de Mersenne son ^[1] (secuencia A077586 en la OEIS ):

${\displaystyle M_{M_{2}}=M_{3}=7}$

${\displaystyle M_{M_{3}}=M_{7}=127}$

${\displaystyle M_{M_{5}}=M_{31}=2147483647}$

${\displaystyle M_{M_{7}}=M_{127}=170141183460469231731687303715884105727}$

Primos dobles de Mersenne

Un número de Mersenne doble que es primo se llama primo de Mersenne doble . Dado que un número de Mersenne M _p puede ser primo sólo si p es primo (ver Primo de Mersenne para una prueba), un número doble de Mersenne puede ser primo sólo si M _p es en sí mismo un primo de Mersenne. Para los primeros valores de p para los cuales M _p es primo, se sabe que es primo para p = 2, 3, 5, 7, mientras que se han encontrado factores explícitos de para p = 13, 17, 19 y 31. ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ ${\displaystyle M_{M_{p}}}$ ${\displaystyle M_{M_{p}}}$

Por lo tanto, el candidato más pequeño para el siguiente primo doble de Mersenne es , o 2 ^{2305843009213693951} − 1. Siendo aproximadamente 1,695 × 10 ^{694127911065419641} , este número es demasiado grande para cualquier prueba de primalidad conocida actualmente . No tiene factor primo por debajo de 1 × 10 ³⁶ . ^[2] Probablemente no existan otros primos dobles de Mersenne además de los cuatro conocidos. ^{[1] [3]} ${\displaystyle M_{M_{61}}}$

El factor primo más pequeño de (donde p es el n ésimo primo) es ${\displaystyle M_{M_{p}}}$

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 2952575266 26031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... (el siguiente término es > 1 × 10 ³⁶ ) (secuencia A309130 en la OEIS )

Conjetura del número catalán-mersenne

La secuencia definida recursivamente

${\displaystyle c_{0}=2}$

${\displaystyle c_{n+1}=2^{c_{n}}-1=M_{c_{n}}}$

se llama secuencia de números catalán-mersenne . ^[4] Los primeros términos de la secuencia (secuencia A007013 en la OEIS ) son:

${\displaystyle c_{0}=2}$

${\displaystyle c_{1}=2^{2}-1=3}$

${\displaystyle c_{2}=2^{3}-1=7}$

${\displaystyle c_{3}=2^{7}-1=127}$

${\displaystyle c_{4}=2^{127}-1=170141183460469231731687303715884105727}$

${\displaystyle c_{5}=2^{170141183460469231731687303715884105727}-1\approx 5.45431\times 10^{51217599719369681875006054625051616349}\approx 10^{10^{37.70942}}}$

El catalán descubrió esta secuencia después del descubrimiento de la primalidad de por Lucas en 1876. ^{[1] [5]} El catalán conjeturó que son primos "hasta cierto límite". Aunque los cinco primeros términos son primos, ningún método conocido puede demostrar que otros términos sean primos (en un tiempo razonable) simplemente porque son demasiado grandes. Sin embargo, si no es primo, existe la posibilidad de descubrirlo calculando el módulo de algún primo pequeño (usando exponenciación modular recursiva ). Si el residuo resultante es cero, representa un factor de y por tanto refutaría su primalidad. Como es un número de Mersenne , dicho factor primo tendría que tener la forma . Además, debido a que es compuesto cuando es compuesto, el descubrimiento de un término compuesto en la secuencia excluiría la posibilidad de que haya más primos en la secuencia. ${\displaystyle M_{127}=c_{4}}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle c_{5}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2kc_{4}+1}$ ${\displaystyle 2^{n}-1}$ ${\displaystyle n}$

En la cultura popular

En la película de Futurama La bestia de los mil millones de espaldas , el doble número de Mersenne se ve brevemente en "una prueba elemental de la conjetura de Goldbach ". En la película, este número se conoce como "primo marciano". ${\displaystyle M_{M_{7}}}$

Ver también

• cadena cunningham
• Función exponencial doble
• Número de Fermat
• numero perfecto
• Wieferich principal

Referencias

1. Chris Caldwell, Primos de Mersenne: historia, teoremas y listas en las páginas principales .
2. "Estado de factoraje doble Mersenne 61". www.doublemersennes.org . Consultado el 31 de marzo de 2022 .
3. IJ Bueno. Conjeturas sobre los números de Mersenne. Matemáticas de la Computación vol. 9 (1955) pág. 120-121 [consultado el 19 de octubre de 2012]
4. Weisstein, Eric W. "Número catalán-Mersenne". MundoMatemático .
5. "Preguntas propuestas". Nueva correspondencia matemática . 2 : 94–96. 1876.(probablemente recopilado por el editor). Casi todas las preguntas están firmadas por Édouard Lucas al igual que la número 92:

   Prouver que 2 ⁶¹  − 1 et 2 ¹²⁷  − 1 sont des nombres premiers. (É. L.) (*).

   La nota a pie de página (indicada por la estrella), escrita por el editor Eugène Catalan, es la siguiente:

   (*) Si l'on admet ces deux propositions, et si l'on observe que 2 ²  − 1, 2 ³  − 1, 2 ⁷  − 1 sont aussi des nombres premiers, on a ce théorème empirique: Jusqu'à une suree limite, si 2 ⁿ  − 1 est un nombre premier p , 2 ^p  − 1 est un nombre premier p ', 2 ^{p '}  − 1 est un nombre premier p", etc. Esta proposición a quelque analogie avec le théorème suivant, énoncé par Fermat, et dont Euler a montré l'inexactitude: Si n est une puissance de 2, 2 ⁿ + 1 est un nombre premier (EC) .

Otras lecturas

• Dickson, LE (1971) [1919], Historia de la teoría de los números , Nueva York: Chelsea Publishing.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Número doble de Mersenne". MundoMatemático .
• Tony Forbes, Una búsqueda de un factor de MM61 Archivado el 8 de febrero de 2009 en Wayback Machine .
• Estado de la factorización de números dobles de Mersenne.
• Doble búsqueda de Mersennes Prime
• Operación Doppi Mersennes