La conjetura de Gillies

En teoría de números , la conjetura de Gillies es una conjetura sobre la distribución de los divisores primos de los números de Mersenne y fue realizada por Donald B. Gillies en un artículo de 1964 ^[1] en el que también anunció el descubrimiento de tres nuevos primos de Mersenne . La conjetura es una especialización del teorema de los números primos y es un refinamiento de conjeturas debido a IJ Good ^[2] y Daniel Shanks . ^[3] La conjetura sigue siendo un problema abierto: varios artículos brindan apoyo empírico, pero no está de acuerdo con la conjetura ampliamente aceptada (pero también abierta) de Lenstra-Pomerance-Wagstaff .

la conjetura

${\displaystyle {\text{If }}}$ ${\displaystyle A<B<{\sqrt {M_{p}}}{\text{, as }}B/A{\text{ and }}M_{p}\rightarrow \infty {\text{, the number of prime divisors of }}M}$

${\displaystyle {\text{ in the interval }}[A,B]{\text{ is Poisson-distributed with}}}$

${\displaystyle {\text{mean }}\sim {\begin{cases}\log(\log B/\log A)&{\text{ if }}A\geq 2p\\\log(\log B/\log 2p)&{\text{ if }}A<2p\end{cases}}}$

Señaló que su conjetura implicaría que

1. El número de primos de Mersenne menores que es . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ~{\frac {2}{\log 2}}\log \log x}$
2. El número esperado de primos de Mersenne es . ${\displaystyle M_{p}}$ ${\displaystyle x\leq p\leq 2x}$ ${\displaystyle \sim 2}$
3. La probabilidad de que sea primo es . ${\displaystyle M_{p}}$ ${\displaystyle ~{\frac {2\log 2p}{p\log 2}}}$

Incompatibilidad con la conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff

La conjetura de Lenstra-Pomerance-Wagstaff da diferentes valores: ^{[4] [5]}

1. El número de primos de Mersenne menores que es . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ~{\frac {e^{\gamma }}{\log 2}}\log \log x}$
2. El número esperado de primos de Mersenne es . ${\displaystyle M_{p}}$ ${\displaystyle x\leq p\leq 2x}$ ${\displaystyle \sim e^{\gamma }}$
3. La probabilidad de que sea primo es con a = 2 si p = 3 mod 4 y 6 en caso contrario. ${\displaystyle M_{p}}$ ${\displaystyle ~{\frac {e^{\gamma }\log ap}{p\log 2}}}$

Asintóticamente estos valores son aproximadamente un 11% más pequeños.

Resultados

Si bien la conjetura de Gillie permanece abierta, varios artículos han añadido apoyo empírico a su validez, incluido el artículo de Ehrman de 1964. ^[6]

Referencias

1. Donald B. Gillies (1964). "Tres nuevos números primos de Mersenne y una teoría estadística". Matemáticas de la Computación . 18 (85): 93–97. doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0159774-6 .
2. IJ Bueno (1955). "Conjeturas sobre los números de Mersenne". Matemáticas de la Computación . 9 (51): 120–121. doi : 10.1090/S0025-5718-1955-0071444-6 .
3. Mangos, Daniel (1962). Problemas resueltos y no resueltos en teoría de números . Washington: Libros espartanos. pag. 198.
4. Samuel S. Wagstaff (1983). "Divisores de números de Mersenne". Matemáticas de la Computación . 40 (161): 385–397. doi : 10.1090/S0025-5718-1983-0679454-X .
5. Chris Caldwell, Heurística: derivación de la conjetura de Wagstaff Mersenne. Recuperado el 26 de julio de 2017.
6. John R. Ehrman (1967). "El número de divisores primos de ciertos números de Mersenne". Matemáticas de la Computación . 21 (100): 700–704. doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0223320-1 .