Notación Steinhaus-Moser

Notación para números extremadamente grandes

En matemáticas , la notación Steinhaus-Moser es una notación para expresar ciertos números grandes . Es una extensión (ideada por Leo Moser ) de la notación poligonal de Hugo Steinhaus . ^[1]

Definiciones

un número n en un triángulo significa n ⁿ .

un número n en un cuadrado es equivalente a "el número n dentro de n triángulos, todos ellos anidados".

un número n en un pentágono es equivalente a "el número n dentro de n cuadrados, todos los cuales están anidados".

etc .: n escrito en un polígono de ( m + 1 ) lados es equivalente a "el número n dentro de n polígonos anidados de m lados". En una serie de polígonos anidados, se asocian hacia dentro. El número n dentro de dos triángulos es equivalente a n ⁿ dentro de un triángulo, que es equivalente a n ⁿ elevado a la potencia de n ⁿ .

Steinhaus definió sólo el triángulo, el cuadrado y el círculo , que es equivalente al pentágono definido anteriormente.

Valores especiales

Steinhaus definió:

• mega es el número equivalente a 2 en un círculo: ②
• megiston es el número equivalente a 10 en un círculo: ⑩

El número de Moser es el número representado por "2 en un megagono". Megagón es aquí el nombre de un polígono de lados "mega" (no confundir con el polígono de un millón de lados ).

Notaciones alternativas:

• Usa las funciones cuadrado(x) y triángulo(x).
• sea ​​M( n , m , p ) el número representado por el número n en m polígonos anidados de lados p ; entonces las reglas son:
  • ${\displaystyle M(n,1,3)=n^{n}}$
  • ${\displaystyle M(n,1,p+1)=M(n,n,p)}$
  • ${\displaystyle M(n,m+1,p)=M(M(n,1,p),m,p)}$
• y
  • mega =  ${\displaystyle M(2,1,5)}$
  • megastón =  ${\displaystyle M(10,1,5)}$
  • Moser =  ${\displaystyle M(2,1,M(2,1,5))}$

Mega

Un mega, ②, ya es un número muy grande, ya que ② = cuadrado(cuadrado(2)) = cuadrado(triángulo(triángulo(2))) = cuadrado(triángulo(2 ² )) = cuadrado(triángulo(4)) = cuadrado(4 ⁴ ) = cuadrado(256) = triángulo(triángulo(triángulo(...triángulo(256)...))) [256 triángulos] = triángulo(triángulo(triángulo(...triángulo(256 ²⁵⁶ ) ...))) [255 triángulos] ~ triángulo(triángulo(triángulo(...triángulo(3.2317 × 10 ⁶¹⁶ )...))) [255 triángulos] ...

Usando la otra notación:

mega = M(2,1,5) = M(256,256,3)

Con la función tenemos mega = donde el superíndice denota una potencia funcional , no una potencia numérica. ${\displaystyle f(x)=x^{x}}$ ${\displaystyle f^{256}(256)=f^{258}(2)}$

Tenemos (obsérvese la convención de que las potencias se evalúan de derecha a izquierda):

• METRO(256,2,3) = ${\displaystyle (256^{\,\!256})^{256^{256}}=256^{256^{257}}}$
• METRO(256,3,3) = ≈ ${\displaystyle (256^{\,\!256^{257}})^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}}$ ${\displaystyle 256^{\,\!256^{256^{257}}}}$

Similarmente:

• METRO(256,4,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{257}}}}}}$
• METRO(256,5,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}$
• METRO(256,6,3) ≈ ${\displaystyle {\,\!256^{256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}}}}$

etc.

De este modo:

• mega = , donde denota una potencia funcional de la función . ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (256\uparrow )^{256}257}$ ${\displaystyle (256\uparrow )^{256}}$ ${\displaystyle f(n)=256^{n}}$

Redondeando de manera más cruda (reemplazando el 257 al final por 256), obtenemos mega ≈ , usando la notación de flecha hacia arriba de Knuth . ${\displaystyle 256\uparrow \uparrow 257}$

Después de los primeros pasos, el valor de cada vez es aproximadamente igual a . De hecho, es incluso aproximadamente igual a (ver también aritmética aproximada para números muy grandes ). Usando potencias de base 10 obtenemos: ${\displaystyle n^{n}}$ ${\displaystyle 256^{n}}$ ${\displaystyle 10^{n}}$

• ${\displaystyle M(256,1,3)\approx 3.23\times 10^{616}}$
• ${\displaystyle M(256,2,3)\approx 10^{\,\!1.99\times 10^{619}}}$( se añade al 616) ${\displaystyle \log _{10}616}$
• ${\displaystyle M(256,3,3)\approx 10^{\,\!10^{1.99\times 10^{619}}}}$( se agrega a , lo cual es insignificante; por lo tanto, solo se agrega un 10 en la parte inferior) ${\displaystyle 619}$ ${\displaystyle 1.99\times 10^{619}}$
• ${\displaystyle M(256,4,3)\approx 10^{\,\!10^{10^{1.99\times 10^{619}}}}}$

...

• mega = , donde denota una potencia funcional de la función . Por eso ${\displaystyle M(256,256,3)\approx (10\uparrow )^{255}1.99\times 10^{619}}$ ${\displaystyle (10\uparrow )^{255}}$ ${\displaystyle f(n)=10^{n}}$ ${\displaystyle 10\uparrow \uparrow 257<{\text{mega}}<10\uparrow \uparrow 258}$

El número de Moser.

Se ha demostrado que en la notación de flechas encadenadas de Conway ,

${\displaystyle \mathrm {moser} <3\rightarrow 3\rightarrow 4\rightarrow 2,}$

y, en la notación de flecha hacia arriba de Knuth ,

${\displaystyle \mathrm {moser} <f^{3}(4)=f(f(f(4))),{\text{ where }}f(n)=3\uparrow ^{n}3.}$

Por lo tanto, el número de Moser, aunque incomprensiblemente grande, es extremadamente pequeño en comparación con el número de Graham : ^[2]

${\displaystyle \mathrm {moser} \ll 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<f^{64}(4)={\text{Graham's number}}.}$

Ver también

• función de ackermann

Referencias

1. Hugo Steinhaus, Instantáneas matemáticas , Oxford University Press 1969 ³ , ISBN  0195032675 , págs.
2. Prueba de que G >> M

enlaces externos

• Los grandes números de Robert Munafo
• Factoide sobre grandes números
• Megistron en mathworld.wolfram.com (Steinhaus se refirió a este número como "megiston" sin "r").
• Notación circular en mathworld.wolfram.com
• Notación Steinhaus-Moser: cosas inútiles sobre números grandes