Operador normal

(en un espacio de Hilbert complejo) operador lineal continuo

En matemáticas , especialmente en análisis funcional , un operador normal en un espacio de Hilbert complejo H es un operador lineal continuo N  : H → H que conmuta con su adjunto hermítico N* , es decir: NN* = N*N . ^[1]

Los operadores normales son importantes porque el teorema espectral se cumple para ellos. La clase de operadores normales se entiende bien. Algunos ejemplos de operadores normales son

• operadores unitarios : N* = N ⁻¹
• Operadores hermíticos (es decir, operadores autoadjuntos): N* = N
• operadores hemihermíticos : N* = − N
• operadores positivos : N = MM* para algún M (por lo que N es autoadjunto).

Una matriz normal es la expresión matricial de un operador normal en el espacio de Hilbert C ⁿ .

Propiedades

Los operadores normales se caracterizan por el teorema espectral . Un operador normal compacto (en particular, un operador normal en un espacio de producto interno de dimensión finita ) es diagonalizable unitariamente. ^[2]

Sea un operador acotado. Los siguientes son equivalentes. ${\displaystyle T}$

• ${\displaystyle T}$es normal
• ${\displaystyle T^{\star }}$es normal
• ${\displaystyle \|Tx\|=\|T^{*}x\|}$para todos (uso ). ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\langle T^{*}Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{*}x\|^{2}}$
• Las partes autoadjuntas y antiautoadjuntas de conmuta. Es decir, si se escribe como con y entonces ^{[nota 1]} ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=T_{1}+iT_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}}$ ${\displaystyle i\,T_{2}:={\frac {T-T^{*}}{2}},}$ ${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.}$

Si es un operador normal, entonces y tienen el mismo núcleo y el mismo rango. En consecuencia, el rango de es denso si y solo si es inyectivo. ^{[ aclaración necesaria ]} Dicho de otra manera, el núcleo de un operador normal es el complemento ortogonal de su rango. De ello se deduce que el núcleo del operador coincide con el de para cualquier Todo valor propio generalizado de un operador normal es, por tanto, genuino. es un valor propio de un operador normal si y solo si su conjugado complejo es un valor propio de Los vectores propios de un operador normal correspondientes a diferentes valores propios son ortogonales, y un operador normal estabiliza el complemento ortogonal de cada uno de sus espacios propios. ^[3] Esto implica el teorema espectral habitual: todo operador normal en un espacio de dimensión finita es diagonalizable por un operador unitario. También existe una versión de dimensión infinita del teorema espectral expresada en términos de medidas con valores de proyección . El espectro residual de un operador normal está vacío. ^[3] ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{*}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N^{k}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k.}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {\overline {\lambda }}}$ ${\displaystyle N^{*}.}$

El producto de los operadores normales que conmutan es nuevamente normal; esto no es trivial, sino que se deduce directamente del teorema de Fuglede , que establece (en una forma generalizada por Putnam):

Si y son operadores normales y si es un operador lineal acotado tal que entonces . ${\displaystyle N_{1}}$ ${\displaystyle N_{2}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle N_{1}A=AN_{2},}$ ${\displaystyle N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}}$

La norma del operador de un operador normal es igual a su radio numérico ^{[ aclaración necesaria ]} y a su radio espectral .

Un operador normal coincide con su transformada de Aluthge .

Propiedades en el caso de dimensión finita

Si un operador normal T en un espacio de Hilbert real ^{[ aclaración necesaria ] o complejo (espacio de producto interno)} de dimensión finita H estabiliza un subespacio V , entonces también estabiliza su complemento ortogonal V ^⊥ . (Esta afirmación es trivial en el caso en que T es autoadjunto).

Demostración. Sea P _V la proyección ortogonal sobre V . Entonces la proyección ortogonal sobre V ^⊥ es 1 _H − P _V . El hecho de que T estabilice a V se puede expresar como ( 1 _H − P _V ) TP _V = 0, o TP _V = P _V TP _V . El objetivo es demostrar que P _V T ( 1 _H − P _V ) = 0.

Sea X = P _V T ( 1 _H − P _V ). Como ( A , B ) ↦ tr( AB* ) es un producto interno en el espacio de endomorfismos de H , basta con demostrar que tr( XX* ) = 0. Primero se observa que

${\displaystyle {\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}}$

Ahora, utilizando propiedades de la traza y de las proyecciones ortogonales tenemos:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{using the hypothesis that }}T{\text{ stabilizes }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}}$

El mismo argumento se aplica a los operadores normales compactos en espacios de Hilbert de dimensión infinita, donde se hace uso del producto interno de Hilbert-Schmidt , definido por tr( AB* ) adecuadamente interpretado. ^[4] Sin embargo, para operadores normales acotados, el complemento ortogonal a un subespacio estable puede no ser estable. ^[5] De ello se deduce que el espacio de Hilbert en general no puede ser abarcado por vectores propios de un operador normal. Consideremos, por ejemplo, el desplazamiento bilateral (o desplazamiento de dos lados) que actúa sobre , que es normal, pero no tiene valores propios. ${\displaystyle \ell ^{2}}$

Los subespacios invariantes de un desplazamiento que actúa sobre el espacio de Hardy se caracterizan por el teorema de Beurling .

Elementos normales de las álgebras

La noción de operadores normales se generaliza a un álgebra involutiva:

Se dice que un elemento x de un álgebra involutiva es normal si xx* = x*x .

Los elementos autoadjuntos y unitarios son normales.

El caso más importante es cuando dicha álgebra es un C*-álgebra .

Operadores normales ilimitados

La definición de operadores normales se generaliza naturalmente a alguna clase de operadores no acotados. Explícitamente, se dice que un operador cerrado N es normal si

${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}.}$

Aquí, la existencia del adjunto N* requiere que el dominio de N sea denso, y la igualdad incluye la afirmación de que el dominio de N*N es igual al de NN* , lo que no es necesariamente el caso en general.

Los operadores normales equivalentes son precisamente aquellos para los que ^[6]

${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad }$

con

${\displaystyle {\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).}$

El teorema espectral sigue siendo válido para operadores no acotados (normales). Las demostraciones funcionan por reducción a operadores acotados (normales). ^{[7] [8]}

Generalización

El éxito de la teoría de los operadores normales condujo a varios intentos de generalización mediante el debilitamiento del requisito de conmutatividad. Las clases de operadores que incluyen operadores normales son (en orden de inclusión)

• Operadores hiponormales
• Normaloides
• Operadores paranormales
• Operadores cuasionormales
• Operadores subnormales

Véase también

• Operador lineal continuo
• Contracción (teoría de operadores)  : operadores acotados con norma de subunidad

Notas

1. Por el contrario, para la importante clase de operadores de creación y aniquilación de, por ejemplo, la teoría cuántica de campos , no conmutan.

Referencias

1. Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971), Álgebra lineal (2.ª ed.), Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc., pág. 312, MR  0276251
2. Hoffman y Kunze (1971), pág. 317.
3. Naylor, Arch W.; Sell George R. (1982). Teoría de operadores lineales en ingeniería y ciencias. Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-95001-3Archivado desde el original el 26 de junio de 2021 . Consultado el 26 de junio de 2021 .
4. Andô, Tsuyoshi (1963). "Nota sobre subespacios invariantes de un operador normal compacto". Archiv der Mathematik . 14 : 337–340. doi :10.1007/BF01234964. S2CID  124945750.
5. Garrett, Paul (2005). "Operadores en espacios de Hilbert" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 18 de septiembre de 2011. Consultado el 1 de julio de 2011 .
6. Weidmann, Lineare Operadores en Hilberträumen, Capítulo 4, Sección 3
7. Alexander Frei, Medidas espectrales, Mathematics Stack Exchange, Existencia Archivado el 26 de junio de 2021 en Wayback Machine , Unicidad Archivado el 26 de junio de 2021 en Wayback Machine
8. John B. Conway , Un curso de análisis funcional, segunda edición, capítulo X, sección §4