Teorema de no compresión

El teorema de no compresión , también llamado teorema de no compresión de Gromov , es uno de los teoremas más importantes de la geometría simpléctica . ^[1] Fue demostrado por primera vez en 1985 por Mikhail Gromov . ^[2] El teorema establece que no se puede incrustar una bola en un cilindro mediante una función simpléctica a menos que el radio de la bola sea menor o igual que el radio del cilindro. El teorema es importante porque anteriormente se sabía muy poco sobre la geometría detrás de las funciones simplécticas. Una consecuencia fácil de que una transformación sea simpléctica es que preserva el volumen . ^[3] Uno puede incrustar fácilmente una bola de cualquier radio en un cilindro de cualquier otro radio mediante una transformación que preserva el volumen : solo imagínese comprimir la bola en el cilindro (de ahí el nombre de teorema de no compresión). Así, el teorema de no compresión nos dice que, aunque las transformaciones simplécticas preservan el volumen, es mucho más restrictivo que una transformación sea simpléctica que que preserve el volumen.

Antecedentes y declaración

Consideremos los espacios simplécticos

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\},}$

${\displaystyle B^{2n}(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:\|z\|<r\},}$

${\displaystyle Z^{2n}(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}:x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<R^{2}\},}$

cada uno dotado de la forma simpléctica

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\cdots +dx_{n}\wedge dy_{n}.}$

El espacio se llama esfera de radio y se llama cilindro de radio . La elección de los ejes para el cilindro no es arbitraria dada la forma simpléctica fija anterior; los círculos del cilindro se encuentran cada uno en un subespacio simpléctico de . ${\displaystyle B^{2n}(r)}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle Z^{2n}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$

Si y son variedades simplécticas, una incrustación simpléctica es una incrustación suave tal que . Para , hay una incrustación simpléctica que lleva al mismo punto . ${\displaystyle (M,\eta )}$ ${\displaystyle (N,\nu )}$ ${\displaystyle \varphi :(M,\eta )\to (N,\nu )}$ ${\displaystyle \varphi :M\to N}$ ${\displaystyle \varphi ^{*}\nu =\eta }$ ${\displaystyle r\leq R}$ ${\displaystyle B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)}$ ${\displaystyle x\in B^{2n}(r)\subset \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle x\in Z^{2n}(R)\subset \mathbb {R} ^{2n}}$

El teorema de no compresión de Gromov dice que si hay una incrustación simpléctica , entonces . ^[3] ${\displaystyle \varphi :B^{2n}(r)\to Z^{2n}(R)}$ ${\displaystyle r\leq R}$

Capacidades simplécticas

Una capacidad simpléctica es un mapa que satisface ${\displaystyle c:\{{\text{symplectic manifolds}}\}\to [0,\infty ]}$

1. (Monotonicidad) Si hay una incrustación simpléctica y , entonces , ${\displaystyle (M,\omega )\to (N,\eta )}$ ${\displaystyle \dim M=\dim N}$ ${\displaystyle c(M,\omega )\leq c(N,\eta )}$
2. (Conformidad) , ${\displaystyle c(M,\lambda \omega )=\lambda c(M,\omega )}$
3. (No trivialidad) y . ^[3] ${\displaystyle c(B^{2n}(1))>0}$ ${\displaystyle c(Z^{2n}(1))<\infty }$

La existencia de una capacidad simpléctica que satisface

${\displaystyle c(B^{2n}(1))=c(Z^{2n}(1))=\pi }$

es equivalente al teorema de no compresión de Gromov. Dada tal capacidad, se puede verificar el teorema de no compresión, y dado el teorema de no compresión, el ancho de Gromov

${\displaystyle w_{G}(M,\omega )=\sup\{\pi r^{2}:{\text{there exists a symplectic embedding }}B^{2n}(r)\to (M,\omega )\}}$

es una capacidad tal. ^[3]

El “camello simpléctico”

El teorema de no compresión de Gromov también se conoce como el principio del camello simpléctico desde que Ian Stewart se refirió a él aludiendo a la parábola del camello y el ojo de una aguja . ^[4] Como afirma Maurice A. de Gosson :

Ahora bien, ¿por qué hacemos referencia a un camello simpléctico en el título de este artículo? Esto se debe a que se puede reformular el teorema de Gromov de la siguiente manera: no hay manera de deformar una bola del espacio de fase mediante transformaciones canónicas de tal manera que podamos hacerla pasar a través de un agujero en un plano de coordenadas conjugadas  , si el área de ese agujero es menor que la de la sección transversal de esa bola. ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle p_{j}}$

—  Maurice A. de Gosson, El camello simpléctico y el principio de incertidumbre: ¿la punta de un iceberg? ^[5]

Similarmente:

Intuitivamente, un volumen en el espacio de fases no puede estirarse con respecto a un plano simpléctico particular más de lo que permite su “ancho simpléctico”. En otras palabras, es imposible meter un camello simpléctico en el ojo de una aguja, si la aguja es lo suficientemente pequeña. Este es un resultado muy poderoso, que está íntimamente ligado a la naturaleza hamiltoniana del sistema, y ​​es un resultado completamente diferente del teorema de Liouville , que solo interesa al volumen total y no plantea ninguna restricción sobre la forma .

—  Andrea Censi, Camellos simplécticos y análisis de incertidumbre ^[6]

Trabajos futuros

De Gosson ha demostrado que el teorema de no compresión está estrechamente vinculado a la desigualdad de Robertson-Schrödinger-Heisenberg , una generalización de la relación de incertidumbre de Heisenberg . La desigualdad de Robertson-Schrödinger-Heisenberg establece que:

${\displaystyle \operatorname {var} (Q)\operatorname {var} (P)\geq \operatorname {cov} ^{2}(Q,P)+\left({\frac {\hbar }{2}}\right)^{2}}$

con Q y P las coordenadas canónicas y var y cov las funciones de varianza y covarianza. ^[7]

Referencias

1. Tao, Terence (2006), Ecuaciones dispersivas no lineales: análisis local y global, Serie de conferencias regionales de CBMS sobre matemáticas, vol. 106, American Mathematical Society, pág. 219, ISBN 9780821889503, MR  2233925, Este teorema es especialmente sorprendente a la luz del teorema de Darboux... Es un resultado de importancia fundamental en la geometría simpléctica..
2. Grómov, ML (1985). "Curvas pseudo holomorfas en variedades simplécticas". Invenciones Mathematicae . 82 (2): 307–347. Código Bib : 1985 InMat..82..307G. doi :10.1007/BF01388806. S2CID  4983969.
3. McDuff, Dusa; Salamon, Dietmar (2017). Introducción a la topología simpléctica . Oxford Graduate Texts in Mathematics. Oxford University Press.
4. Stewart, I.: El camello simpléctico , Nature 329(6134), 17–18 (1987), doi :10.1038/329017a0. Citado después de Maurice A. de Gosson: El camello simpléctico y el principio de incertidumbre: ¿la punta de un iceberg?, Foundations of Physics (2009) 39, pp. 194–214, doi :10.1007/s10701-009-9272-2, allí: p. 196
5. Maurice A. de Gosson: El camello simpléctico y el principio de incertidumbre: ¿la punta de un iceberg?, Fundamentos de la física (2009) 39, págs. 194-214, doi :10.1007/s10701-009-9272-2, allí: pág. 199
6. Andrea Censi: Camellos simplécticos y análisis de incertidumbre
7. Maurice de Gosson: ¿Hasta qué punto es clásico el universo cuántico? arXiv:0808.2774v1 (enviado el 20 de agosto de 2008)

Lectura adicional

• Maurice A. de Gosson : El huevo simpléctico , arXiv:1208.5969v1, enviado el 29 de agosto de 2012 – incluye una prueba de una variante del teorema para el caso de transformaciones canónicas lineales
• Dusa McDuff : ¿Qué es la geometría simpléctica?, 2009