En el procesamiento de señales , un filtro no lineal es un filtro cuya salida no es una función lineal de su entrada. Es decir, si el filtro genera las señales R y S para dos señales de entrada r y s por separado, pero no siempre genera αR + βS cuando la entrada es una combinación lineal αr + βs .
Tanto los filtros de dominio continuo como los de dominio discreto pueden ser no lineales. Un ejemplo simple del primero sería un dispositivo eléctrico cuyo voltaje de salida R ( t ) en cualquier momento es el cuadrado del voltaje de entrada r ( t ) ; o que es la entrada recortada a un rango fijo [ a , b ] , es decir R ( t ) = max( a , min( b , r ( t ))) . Un ejemplo importante de este último es el filtro de mediana móvil , de modo que cada muestra de salida R i es la mediana de las últimas tres muestras de entrada r i , r i −1 , r i −2 . Al igual que los filtros lineales, los filtros no lineales pueden ser invariantes al desplazamiento o no.
Los filtros no lineales tienen muchas aplicaciones, especialmente en la eliminación de ciertos tipos de ruido que no son aditivos . Por ejemplo, el filtro de mediana se usa ampliamente para eliminar el ruido de pico, que afecta solo a un pequeño porcentaje de las muestras, posiblemente en cantidades muy grandes. De hecho, todos los receptores de radio usan filtros no lineales para convertir señales de kilo a gigahercios al rango de frecuencia de audio ; y todo el procesamiento de señales digitales depende de filtros no lineales ( convertidores analógicos a digitales ) para transformar señales analógicas en números binarios .
Sin embargo, los filtros no lineales son considerablemente más difíciles de usar y diseñar que los lineales, porque las herramientas matemáticas más poderosas del análisis de señales (como la respuesta al impulso y la respuesta en frecuencia ) no se pueden utilizar en ellos. Así, por ejemplo, los filtros lineales se utilizan a menudo para eliminar el ruido y la distorsión que se crean mediante procesos no lineales, simplemente porque el filtro no lineal adecuado sería demasiado difícil de diseñar y construir.
De lo anterior se desprende que los filtros no lineales tienen un comportamiento muy diferente al de los filtros lineales. La característica más importante es que, en el caso de los filtros no lineales, la salida o respuesta del filtro no obedece a los principios expuestos anteriormente, en particular el escalamiento y la invariancia de desplazamiento. Además, un filtro no lineal puede producir resultados que varíen de una manera no intuitiva.
Varios principios definen un sistema lineal . La definición básica de linealidad es que la salida debe ser una función lineal de las entradas, es decir
para cualquier valor escalar y . Esta es una propiedad fundamental del diseño de sistemas lineales y se conoce como superposición. Por lo tanto, se dice que un sistema es no lineal si esta ecuación no es válida. Es decir, cuando el sistema es lineal, se puede aplicar el principio de superposición. Este hecho importante es la razón por la que las técnicas de análisis de sistemas lineales se han desarrollado tan bien.
Las señales a menudo se corrompen durante la transmisión o el procesamiento; y un objetivo frecuente en el diseño de filtros es la restauración de la señal original, un proceso comúnmente llamado "eliminación de ruido". El tipo de corrupción más simple es el ruido aditivo, cuando a la señal deseada S se le suma una señal no deseada N que no tiene conexión conocida con S. Si el ruido N tiene una descripción estadística simple, como el ruido gaussiano , entonces un filtro de Kalman reducirá N y restaurará S en la medida permitida por el teorema de Shannon . En particular, si S y N no se superponen en el dominio de frecuencia , pueden separarse completamente mediante filtros de paso de banda lineales .
Por otra parte, para casi cualquier otra forma de ruido, será necesario algún tipo de filtro no lineal para lograr la máxima recuperación de la señal. Para el ruido multiplicativo (que se multiplica por la señal, en lugar de sumarse a ella), por ejemplo, puede ser suficiente convertir la entrada a una escala logarítmica , aplicar un filtro lineal y luego convertir el resultado a una escala lineal . En este ejemplo, el primer y el tercer paso no son lineales.
Los filtros no lineales también pueden ser útiles cuando ciertas características "no lineales" de la señal son más importantes que el contenido general de información. En el procesamiento de imágenes digitales , por ejemplo, se puede desear preservar la nitidez de los bordes de las siluetas de los objetos en fotografías, o la conectividad de las líneas en dibujos escaneados. Un filtro de eliminación de ruido lineal generalmente desenfocará esas características; un filtro no lineal puede dar resultados más satisfactorios (incluso si la imagen borrosa puede ser más "correcta" en el sentido teórico de la información).
Muchos filtros de eliminación de ruido no lineales operan en el dominio del tiempo. Por lo general, examinan la señal digital de entrada dentro de una ventana finita que rodea cada muestra y utilizan algún modelo de inferencia estadística (implícita o explícitamente) para estimar el valor más probable de la señal original en ese punto. El diseño de dichos filtros se conoce como el problema de filtrado para un proceso estocástico en la teoría de estimación y la teoría de control .
Algunos ejemplos de filtros no lineales incluyen:
Los filtros no lineales también ocupan una posición decisiva en las funciones de procesamiento de imágenes. En una secuencia típica de procesamiento de imágenes en tiempo real, es común tener muchos filtros no lineales incluidos para formar, dar forma, detectar y manipular la información de la imagen. Además, cada uno de estos tipos de filtros se puede parametrizar para que funcione de una manera en determinadas circunstancias y de otra manera en un conjunto diferente de circunstancias mediante la generación de reglas de filtros adaptativos. Los objetivos varían desde la eliminación de ruido hasta la abstracción de características. El filtrado de datos de imágenes es un proceso estándar utilizado en casi todos los sistemas de procesamiento de imágenes. Los filtros no lineales son las formas más utilizadas de construcción de filtros. Por ejemplo, si una imagen contiene una cantidad baja de ruido pero con una magnitud relativamente alta, entonces un filtro mediano puede ser más apropiado.
El contexto aquí es la formulación del problema de filtrado no lineal visto a través de la lente de la teoría de procesos estocásticos. En este contexto, tanto la señal aleatoria como las observaciones parciales ruidosas se describen mediante procesos estocásticos de tiempo continuo. La señal aleatoria no observada que se va a estimar se modela a través de una ecuación diferencial estocástica de Ito no lineal y la función de observación es una transformación no lineal de tiempo continuo de la señal no observada, una observación perturbada por el ruido de observación de tiempo continuo. Dada la naturaleza no lineal de la dinámica, los conceptos familiares del dominio de la frecuencia que se pueden aplicar a los filtros lineales no son viables, y se formula una teoría basada en la representación del espacio de estados. La información completa sobre el filtro no lineal en un momento dado es la ley de probabilidad de la señal no observada en ese momento, condicional al historial de observaciones hasta ese momento. Esta ley puede tener una densidad, y la ecuación de dimensión infinita para la densidad de esta ley toma la forma de una ecuación diferencial parcial estocástica (EDPE). El problema del filtrado no lineal óptimo en este contexto fue resuelto a finales de los años 1950 y principios de los 1960 por Ruslan L. Stratonovich [1] [2] [3] [4] y Harold J. Kushner . [5] El filtro óptimo SPDE se llama ecuación de Kushner-Stratonovich . En 1969, Moshe Zakai introdujo una dinámica simplificada para la ley condicional no normalizada del filtro conocida como ecuación de Zakai . [6] Mireille Chaleyat-Maurel y Dominique Michel [7] han demostrado que la solución es de dimensión infinita en general y, como tal, requiere aproximaciones de dimensión finita. Estas pueden estar basadas en heurísticas, como el filtro de Kalman extendido o los filtros de densidad asumidos descritos por Peter S. Maybeck [8] o los filtros de proyección introducidos por Damiano Brigo , Bernard Hanzon y François Le Gland, [9] algunas subfamilias de las cuales se muestra que coinciden con los filtros de densidad asumidos. [10] Los filtros de partículas [11] son otra opción, relacionada con los métodos secuenciales de Monte Carlo.
Los filtros de transferencia de energía son una clase de filtros dinámicos no lineales que se pueden utilizar para mover energía de una manera diseñada. [12] La energía se puede mover a bandas de frecuencia más altas o más bajas, distribuirse en un rango diseñado o enfocarse. Son posibles muchos diseños de filtros de transferencia de energía, y estos proporcionan grados adicionales de libertad en el diseño de filtros que simplemente no son posibles utilizando diseños lineales.
Un filtro mínimo, también conocido como erosión en el procesamiento de imágenes morfológicas, es un filtro de dominio espacial que se utiliza para el procesamiento de imágenes. Reemplaza cada píxel de la imagen con el valor mínimo de los píxeles vecinos.
El tamaño y la forma del barrio están definidos por un elemento estructurante, normalmente una máscara cuadrada o circular.
La transformación reemplaza el píxel central por el más oscuro en la ventana en ejecución.
Por ejemplo, si tiene texto impreso de forma clara, el filtro mínimo hace que las letras sean más gruesas.
Un filtro máximo , también conocido como dilatación en el procesamiento de imágenes morfológicas, es otro filtro de dominio espacial utilizado para el procesamiento de imágenes.
Reemplaza cada píxel de la imagen con el valor máximo de sus píxeles vecinos, nuevamente definidos por un elemento estructurante.
Los filtros máximo y mínimo son invariantes con respecto al desplazamiento. Mientras que el filtro mínimo reemplaza el píxel central por el más oscuro de la ventana en ejecución, el filtro máximo lo reemplaza por el más claro.
Por ejemplo, si tienes una cadena de texto dibujada con un lápiz grueso, puedes hacer que el signo sea más delgado.
Teoría de la probabilidad y sus aplicaciones, volumen 5, páginas 156–178.
