Número feliz

Números con una determinada propiedad que implica suma recursiva

Árbol que muestra todos los números felices hasta el 100, con el 130 visto con el 13 y el 31.

En teoría de números , un número feliz es un número que finalmente llega a 1 cuando se reemplaza por la suma del cuadrado de cada dígito. Por ejemplo, 13 es un número feliz porque , y . Por otro lado, 4 no es un número feliz porque la secuencia que comienza con y finalmente llega a , el número que inició la secuencia, y así el proceso continúa en un ciclo infinito sin llegar nunca a 1. Un número que no es feliz se llama triste o infeliz . ${\displaystyle 1^{2}+3^{2}=10}$ ${\displaystyle 1^{2}+0^{2}=1}$ ${\displaystyle 4^{2}=16}$ ${\displaystyle 1^{2}+6^{2}=37}$ ${\displaystyle 2^{2}+0^{2}=4}$

De manera más general, un número feliz es un número natural en una base numérica dada que eventualmente llega a 1 cuando se itera sobre la función invariante digital perfecta para . ^[1] ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle p=2}$

El origen de los números felices no está claro. Reg Allenby (autor británico y profesor titular de matemáticas puras en la Universidad de Leeds ) se enteró de ellos gracias a su hija, que los había oído en la escuela. Sin embargo, "puede que se hayan originado en Rusia" (Guy 2004:§E34).

Números felices e invariantes digitales perfectos

Formalmente, sea un número natural. Dada la función invariante digital perfecta ${\displaystyle n}$

${\displaystyle F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{\lfloor \log _{b}{n}\rfloor }{\left({\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}\right)}^{p}}$.

para la base , un número es -feliz si existe un tal que , donde representa la -ésima iteración de , y -infeliz en caso contrario. Si un número es un invariante digital perfecto no trivial de , entonces es -infeliz. ${\displaystyle b>1}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle F_{2,b}^{j}(n)=1}$ ${\displaystyle F_{2,b}^{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$ ${\displaystyle b}$

Por ejemplo, 19 es 10-feliz, como

${\displaystyle F_{2,10}(19)=1^{2}+9^{2}=82}$

${\displaystyle F_{2,10}^{2}(19)=F_{2,10}(82)=8^{2}+2^{2}=68}$

${\displaystyle F_{2,10}^{3}(19)=F_{2,10}(68)=6^{2}+8^{2}=100}$

${\displaystyle F_{2,10}^{4}(19)=F_{2,10}(100)=1^{2}+0^{2}+0^{2}=1}$

Por ejemplo, 347 es 6-feliz, ya que

${\displaystyle F_{2,6}(347)=F_{2,6}(1335_{6})=1^{2}+3^{2}+3^{2}+5^{2}=44}$

${\displaystyle F_{2,6}^{2}(347)=F_{2,6}(44)=F_{2,6}(112_{6})=1^{2}+1^{2}+2^{2}=6}$

${\displaystyle F_{2,6}^{3}(347)=F_{2,6}(6)=F_{2,6}(10_{6})=1^{2}+0^{2}=1}$

Hay infinitos números -feliz, ya que 1 es un número -feliz, y para cada , ( en base ) es -feliz, ya que su suma es 1. La felicidad de un número se preserva quitando o insertando ceros a voluntad, ya que no contribuyen a la suma cruzada. ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle b^{n}}$ ${\displaystyle 10^{n}}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Densidad natural deb-números felices

Al examinar el primer millón de números felices de 10, parece que tienen una densidad natural de alrededor de 0,15. Por tanto, quizá resulte sorprendente que los números felices de 10 no tengan una densidad asintótica. La densidad superior de los números felices es mayor que 0,18577 y la inferior es menor que 0,1138. ^[2]

Bases felices

Problema sin resolver en matemáticas :

¿Son la base 2 y la base 4 las únicas bases que están felices?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

Una base feliz es una base numérica donde cada número es -feliz. Las únicas bases enteras felices menores que ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$5 × 10 ⁸ son base 2 y base 4. [ ^3]

Específicob-números felices

4-números felices

Para , el único invariante digital perfecto positivo para es el invariante digital perfecto trivial 1, y no hay otros ciclos. Debido a que todos los números son puntos preperiódicos para , todos los números conducen a 1 y son felices. Como resultado, la base 4 es una base feliz. ${\displaystyle b=4}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$

6-números felices

Para , el único invariante digital perfecto positivo para es el invariante digital perfecto trivial 1, y el único ciclo es el ciclo de ocho números ${\displaystyle b=6}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$

5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 → ...

y como todos los números son puntos preperiódicos para , todos los números conducen a 1 y son felices, o conducen al ciclo y son infelices. Como la base 6 no tiene otros invariantes digitales perfectos excepto 1, ningún entero positivo que no sea 1 es la suma de los cuadrados de sus propios dígitos. ${\displaystyle F_{2,b}}$

En base 10, los 74 números felices del 6 hasta 1296 = 6 ⁴ son (escritos en base 10):

1, 6, 36, 44, 49, 79, 100, 160, 170, 216, 224, 229, 254, 264, 275, 285, 289, 294, 335, 347, 355, 357, 388, 405, 415, 417, 439, 460, 469, 474, 533, 538, 580, 593, 600, 608, 628, 638, 647, 695, 707, 715, 717, 767, 777, 787, 835, 837, 847, 880, 890, 928, 940, 953, 960, 968, 1010, 1018, 1020, 1033, 1058, 1125, 1135, 1137, 1168, 1178, 1187, 1195, 1197, 1207, 1238, 1277, 1292, 1295

10-números felices

Para , el único invariante digital perfecto positivo para es el invariante digital perfecto trivial 1, y el único ciclo es el ciclo de ocho números ${\displaystyle b=10}$ ${\displaystyle F_{2,b}}$

4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → ...

y como todos los números son puntos preperiódicos para , todos los números conducen a 1 y son felices, o conducen al ciclo y son infelices. Como la base 10 no tiene otros invariantes digitales perfectos excepto 1, ningún entero positivo que no sea 1 es la suma de los cuadrados de sus propios dígitos. ${\displaystyle F_{2,b}}$

En base 10, los 143 números felices hasta el 1000 son:

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000 (secuencia A007770 en la OEIS ).

Las distintas combinaciones de dígitos que forman números felices por debajo de 1000 son (el resto son solo reordenamientos y/o inserciones de dígitos cero):

1, 7, 13, 19, 23, 28, 44, 49, 68, 79, 129, 133, 139, 167, 188, 226, 236, 239, 338, 356, 367, 368, 379, 446, 469, 478, 556, 566, 888, 899. (secuencia A124095 en la OEIS ).

El primer par de números consecutivos de la 10-felicidad es 31 y 32. ^[4] El primer conjunto de tres consecutivos es 1880, 1881 y 1882. ^[5] Se ha demostrado que existen secuencias de números consecutivos de la 10-felicidad de cualquier longitud de número natural. ^[6] El comienzo de la primera serie de al menos n números consecutivos de la 10-felicidad para n  = 1, 2, 3, ... es ^[7]

1, 31, 1880, 7839, 44488, 78999999999999959999999996, 7899999999999959999999996, ...

Como dice Robert Styer en su artículo en el que calcula esta serie: "Sorprendentemente, el mismo valor de N que inicia la menor secuencia de seis números felices consecutivos también inicia la menor secuencia de siete números felices consecutivos". ^[8]

El número de números felices hasta 10 ⁿ para 1 ≤  n  ≤ 20 es ^[9]

3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, 1418854, 14255667, 145674808, 1492609148, 15091199357, 149121303586, 1443278000870, 853279685, 130660965862333, 1245219117260664, 12024696404768025, 118226055080025491, 1183229962059381238, 12005034444292997294.

Primos felices

Un primo feliz es un número que es a la vez feliz y primo . A diferencia de los números felices, reorganizar los dígitos de un primo feliz no necesariamente creará otro primo feliz. Por ejemplo, mientras que 19 es un primo feliz de 10, 91 = 13 × 7 no es primo (pero sigue siendo feliz de 10). ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle b}$

Todos los números primos son primos felices en el sentido 2 y 4, ya que la base 2 y la base 4 son bases felices.

6-números primos felices

En base 6 , los primos 6-felices por debajo de 1296 = 6 ⁴ son

211, 1021, 1335, 2011, 2425, 2555, 3351, 4225, 4441, 5255, 5525

10-números primos felices

En base 10 , los números primos felices por debajo de 500 son

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487 (secuencia A035497 en la OEIS ).

El primo palindrómico 10 ¹⁵⁰⁰⁰⁶ +7 426 247 × 10 ^{75 000} + 1 es un primo feliz de 10 con150 007 dígitos porque los muchos 0 no contribuyen a la suma de los dígitos al cuadrado, y 1 ² + 7 ² + 4 ² + 2 ² + 6 ² + 2 ² + 4 ² + 7 ² + 1 ² = 176, que es un número feliz con 10. Paul Jobling descubrió el primo en 2005. ^[10]

A partir de 2010 ^[actualizar], el mayor primo conocido que cumple 10 es 2 ^42643801  − 1 (un primo de Mersenne ). ^{[ dudoso – discutir ]} Su expansión decimal tiene12 837 064 dígitos. ^[11]

12 números primos felices

En base 12 , no hay 12 primos felices menores que 10000, los primeros 12 primos felices son (las letras X y E representan los números decimales 10 y 11 respectivamente)

11031, 1233E, 13011, 1332E, 16377, 17367, 17637, 22E8E, 2331E, 233E1, 23955, 25935, 25X8E, 28X5E, 28XE5, 2X8E5, 2E82E, X5, 31011, 31101, 3123E, 3132E, 31677, 33E21, 35295, 35567, 35765, 35925, 36557, 37167, 37671, 39525, 4878E, 4X7X7, 53567, 55367, 55637, 56357, 57635, 58XX5, 5X82E, 5XX85, 606EE, 63575, 63771, 66E0E, 67317, 67371, 67535, 6E60E, 71367, 71637, 73167, 76137, 7XX47, 82XE5, 82EX5, 8487E, 848E7, 84E87, 8874E, 8X1X7, 8X25E, 8X2E5, 8X5X5, 8XX17, 8XX71, 8E2X5, 8E847, 92355, 93255, 93525, 95235, X1X87, X258E, X285E, X2E85, X85X5, X8X17, XX477, XX585, E228E, E606E, E822E, EX825, ...

Ejemplo de programación

Los ejemplos a continuación implementan la función invariante digital perfecta para y una base predeterminada descrita en la definición de feliz dada en la parte superior de este artículo, repetidamente; después de cada vez, verifican ambas condiciones de detención: llegar a 1 y repetir un número . ${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle b=10}$

Una prueba sencilla en Python para comprobar si un número es feliz:

def  pdi_function ( número ,  base :  int  =  10 ): """Función invariante digital perfecta.""" total = 0 while número > 0 : total += pow ( número % base , 2 ) número = número // base devuelve total                     def  is_happy ( number :  int )  ->  bool : """Determinar si el número especificado es un número feliz. " "" seen_numbers = set ( ) while number > 1 and number not in seen_numbers : seen_numbers.add ( number ) number = pdi_function ( number ) return number == 1                     

Véase también

• Dinámica aritmética
• Número afortunado
• Número de Harshad
• Número de la suerte
• Invariante digital perfecto

Referencias

1. "Número triste". Wolfram Research, Inc. Consultado el 16 de septiembre de 2009 .
2. Gilmer, Justin (2013). "Sobre la densidad de los números felices". Enteros . 13 (2): 2. arXiv : 1110.3836 . Código Bibliográfico :2011arXiv1110.3836G.
3. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A161872 (Número más pequeño infeliz en base n)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
4. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A035502 (menor de un par de números consecutivos felices)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 8 de abril de 2011 .
5. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A072494 (Primera de los triples de números felices consecutivos)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS . Consultado el 8 de abril de 2011 .
6. Pan, Hao (2006). "Números felices consecutivos". arXiv : math/0607213 .
7. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A055629 (Inicio de la primera serie de al menos n números felices consecutivos)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
8. Styer, Robert (2010). "Los ejemplos más pequeños de cadenas de números felices consecutivos". Journal of Integer Sequences . 13 : 5. 10.6.3 – vía University of Waterloo .Citado en Sloane "A055629".
9. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A068571 (Número de números felices <= 10^n)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . Fundación OEIS.
10. Chris K. Caldwell. "La base de datos de números primos: 10150006 + 7426247 · 1075000 + 1". utm.edu .
11. Chris K. Caldwell. "La base de datos de números primos: 242643801 − 1". utm.edu .

Literatura

• Guy, Richard (2004). Problemas sin resolver en teoría de números (3.ª ed.). Springer-Verlag . ISBN 0-387-20860-7.

Enlaces externos

• Schneider, Walter: Mathews: Números felices.
• Weisstein, Eric W. "Número feliz". MathWorld .
• Calcular si un número es feliz Archivado el 25 de enero de 2019 en Wayback Machine.
• Números felices en el Foro de Matemáticas.
• 145 y el Melancoil en Numberphile.
• Symonds, Ria. "7 and Happy Numbers". Numberphile . Brady Haran . Archivado desde el original el 15 de enero de 2018 . Consultado el 2 de abril de 2013 .