Número de Weber

Número adimensional en mecánica de fluidos

Salpicaduras después de que medio ladrillo cae al agua ; la imagen mide aproximadamente medio metro de ancho. Observe las gotas de agua en el aire que se mueven libremente, un fenómeno típico de los flujos con un número de Reynolds alto ; las intrincadas formas no esféricas de las gotas muestran que el número de Weber es alto. Observe también las burbujas arrastradas en el cuerpo de agua y un anillo de perturbación en expansión que se propaga desde el lugar del impacto.

El número de Weber ( We ) es un número adimensional en mecánica de fluidos que suele ser útil para analizar flujos de fluidos donde hay una interfaz entre dos fluidos diferentes, especialmente para flujos multifásicos con superficies fuertemente curvadas. ^[1] Lleva el nombre de Moritz Weber (1871-1951). ^[2] Puede considerarse como una medida de la importancia relativa de la inercia del fluido en comparación con su tensión superficial . La cantidad es útil para analizar flujos de película delgada y la formación de gotitas y burbujas.

Expresión matemática

El número de Weber se puede escribir como:

${\displaystyle \mathrm {We} ={\frac {\mbox{Inertial pressure}}{\mbox{Laplace pressure}}}={\frac {\rho \,v^{2}}{\left(\sigma /l\right)}}={\frac {\rho \,v^{2}\,l}{\sigma }}}$  

dónde

• ${\displaystyle \rho }$es la densidad del fluido ( kg / m3 ⁾ .
• ${\displaystyle v}$es su velocidad (m/ s ).
• ${\displaystyle l}$es su longitud característica , típicamente el diámetro de la gota (m).
• ${\displaystyle \sigma }$es la tensión superficial ( N /m).
• ${\displaystyle \rho \,v^{2}}$es la escala de presión inercial o dinámica .
• ${\displaystyle \sigma /l}$es la escala de presión de Laplace .

Lo anterior es la perspectiva de fuerza para definir el número de Weber. También podemos definirlo utilizando la perspectiva de energía como la relación entre la energía cinética en el impacto y la energía de la superficie.

${\displaystyle \mathrm {We} ={\frac {E_{\mathrm {kin} }}{E_{\mathrm {surf} }}}}$,

dónde

${\displaystyle E_{\mathrm {kin} }\propto \rho l^{3}v^{2}}$  

y

${\displaystyle E_{\mathrm {surf} }\propto l^{2}\sigma }$.

Aparición en las ecuaciones de Navier-Stokes

El número de Weber aparece en las ecuaciones incompresibles de Navier-Stokes a través de una condición de borde de superficie libre . ^[3]

Para un fluido de densidad constante y viscosidad dinámica , en la interfaz de superficie libre existe un equilibrio entre la tensión normal y la fuerza de curvatura asociada a la tensión superficial: ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\widehat {\bf {n}}}\cdot \mathbb {T} \cdot {\widehat {\bf {n}}}=\sigma \left(\nabla \cdot {\widehat {\bf {n}}}\right)}$

Donde es el vector unitario normal a la superficie, es el tensor de tensiones de Cauchy y es el operador de divergencia . El tensor de tensiones de Cauchy para un fluido incompresible tiene la forma: ${\displaystyle {\widehat {\bf {n}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot }$

${\displaystyle \mathbb {T} =-pI+\mu \left[\nabla {\bf {v}}+(\nabla {\bf {v}})^{T}\right]}$

Introduciendo la presión dinámica y, asumiendo un caudal con número de Reynolds elevado , es posible adimensionalizar las variables con las escalas: ${\displaystyle p_{d}=p-\rho {\bf {g}}\cdot {\bf {x}}}$

${\displaystyle p_{d}=\rho V^{2}p_{d}',\quad \nabla =L^{-1}\nabla ',\quad {\bf {g}}=g{\bf {g}}',\quad {\bf {x}}=L{\bf {x}}',\quad {\bf {v}}=V{\bf {v}}'}$

La condición de contorno de superficie libre en variables no dimensionalizadas es entonces:

${\displaystyle -p_{d}'+{1 \over {{\text{Fr}}^{2}}}z'+{1 \over {\text{Re}}}{\widehat {\bf {n}}}\cdot \left[\nabla '{\bf {v}}'+(\nabla '{\bf {v}}')^{T}\right]\cdot {\widehat {\bf {n}}}={1 \over {\text{We}}}\left(\nabla '\cdot {\widehat {\bf {n}}}\right)}$

Donde es el número de Froude , es el número de Reynolds y es el número de Weber. La influencia del número de Weber se puede cuantificar en relación con las fuerzas gravitacionales y viscosas. ${\displaystyle {\text{Fr}}}$ ${\displaystyle {\text{Re}}}$ ${\displaystyle {\text{We}}}$

Aplicaciones

Una aplicación del número de Weber es el estudio de los tubos de calor. Cuando el flujo de momento en el núcleo de vapor del tubo de calor es alto, existe la posibilidad de que la tensión de corte ejercida sobre el líquido en la mecha sea lo suficientemente grande como para arrastrar gotitas hacia el flujo de vapor. El número de Weber es el parámetro adimensional que determina el inicio de este fenómeno llamado límite de arrastre (número de Weber mayor o igual a 1). En este caso, el número de Weber se define como la relación entre el momento en la capa de vapor dividido por la fuerza de tensión superficial que restringe el líquido, donde la longitud característica es el tamaño del poro de la superficie.

Referencias

1. Arnold Frohn; Norbert Roth (27 de marzo de 2000). Dinámica de las gotitas. Springer Science & Business Media. pp. 15–. ISBN 978-3-540-65887-0.
2. Philip Day; Andreas Manz; Yonghao Zhang (28 de julio de 2012). Tecnología de microgotas: principios y aplicaciones emergentes en biología y química. Springer Science & Business Media. pp. 9–. ISBN 978-1-4614-3265-4.
3. Bush, John WM "Módulo de tensión superficial" (PDF) . Departamento de Matemáticas, MIT .

Lectura adicional

• Weast, R. Lide, D. Astle, M. Beyer, W. (1989-1990). Manual de química y física del CRC. 70.ª edición. Boca Ratón, Florida: CRC Press, Inc.. F-373,376.