Número de Stella octangula

Número figurado basado en la stella octangula

124 bolas magnéticas dispuestas en forma de estrella octangular

En matemáticas, un número de stella octangula es un número figurado basado en la stella octangula , de la forma n (2 n ² − 1) . ^{[1] [2]}

La secuencia de números de stella octangula es

0, 1, 14, 51, 124, 245, 426, 679, 1016, 1449, 1990, ... (secuencia A007588 en la OEIS ) ^[1]

Sólo dos de estos números son cuadrados .

Ecuación de Ljunggren

Solo hay dos números positivos de stella octangula cuadrados , 1 y 9653449 = 3107 ² = (13 × 239) ² , correspondientes a n = 1 y n = 169 respectivamente. ^{[1] [3]} La curva elíptica que describe los números de stella octangula cuadrados,

${\displaystyle m^{2}=n(2n^{2}-1)}$

Puede colocarse en la forma equivalente de Weierstrass.

${\displaystyle x^{2}=y^{3}-2y}$

por el cambio de variables x = 2 m , y = 2 n . Como los dos factores n y 2 n ² − 1 del número cuadrado m ² son primos entre sí, deben ser cuadrados ellos mismos, y el segundo cambio de variables y conduce a la ecuación de Ljunggren ${\displaystyle X=m/{\sqrt {n}}}$ ${\displaystyle Y={\sqrt {n}}}$

${\displaystyle X^{2}=2Y^{4}-1}$^[3]

Un teorema de Siegel establece que cada curva elíptica tiene sólo un número finito de soluciones enteras, y Wilhelm Ljunggren  (1942) encontró una prueba difícil de que las únicas soluciones enteras para su ecuación eran (1,1) y (239,13) , correspondientes a los dos números cuadrados de la stella octangula. ^[4] Louis J. Mordell conjeturó que la prueba podía simplificarse, y varios autores posteriores publicaron simplificaciones. ^{[3] [5] [6]}

Aplicaciones adicionales

Los números de stella octangula surgen en una familia paramétrica de instancias del problema de las escaleras cruzadas en las que las longitudes y alturas de las escaleras y la altura de su punto de cruce son todos números enteros. En estos casos, la relación entre las alturas de las dos escaleras es un número de stella octangula. ^[7]

Referencias

1. Sloane, N. J. A. (ed.), "Secuencia A007588 (números de Stella octangula: n*(2*n^2 - 1))", La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros , OEIS Foundation.
2. Conway, John ; Guy, Richard (1996), El libro de los números, Springer, pág. 51, ISBN 978-0-387-97993-9.
3. Siksek, Samir (1995), Descensos en curvas del género I (PDF) , tesis doctoral, Universidad de Exeter, págs. 16-17
4. Ljunggren, Wilhelm (1942), "Zur Theorie der Gleichung x ²  + 1 =  Dy ⁴ ", Avh. Norské Vid. Akád. Oslo. I. , 1942 (5): 27, SEÑOR  0016375.
5. Steiner, Ray; Tzanakis, Nikos (1991), "Simplificando la solución de la ecuación de Ljunggren X2 + 1 = 2Y4" (PDF) , Journal of Number Theory , 37 (2): 123–132, doi : 10.1016/S0022-314X(05)80029-0 , MR  1092598.
6. Draziotis, Konstantinos A. (2007), "La ecuación de Ljunggren revisada", Colloquium Mathematicum , 109 (1): 9–11, doi : 10.4064/cm109-1-2 , MR  2308822.
7. Bremner, A.; Høibakk, R.; Lukkassen, D. (2009), "Escaleras cruzadas y cuártica de Euler" (PDF) , Annales Mathematicae et Informaticae , 36 : 29–41, SEÑOR  2580898.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Número de Stella Octangula", MathWorld