número de Richardson

El número de Richardson ( Ri ) lleva el nombre de Lewis Fry Richardson (1881-1953). ^[1] Es el número adimensional que expresa la relación entre el término de flotabilidad y el término de corte del flujo : ^[2]

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\text{buoyancy term}}{\text{flow shear term}}}={\frac {g}{\rho }}{\frac {\partial \rho /\partial z}{(\partial u/\partial z)^{2}}}}$

donde es la gravedad , es la densidad, es la velocidad del flujo representativa y es la profundidad. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle z}$

El número de Richardson, o una de varias variantes, es de importancia práctica en el pronóstico del tiempo y en la investigación de la densidad y las corrientes de turbidez en océanos, lagos y embalses.

Al considerar flujos en los que las diferencias de densidad son pequeñas (la aproximación de Boussinesq ), es común utilizar la gravedad reducida g' y el parámetro relevante es el número densimétrico de Richardson ^{[ se necesita más explicación ]}

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {-\partial g'/\partial z}{(\partial u/\partial z)^{2}}}}$

que se utiliza con frecuencia al considerar flujos atmosféricos u oceánicos ^{[ cita requerida ]} .

Si el número de Richardson es mucho menor que la unidad, la flotabilidad no es importante en el flujo. Si es mucho mayor que la unidad, la flotabilidad es dominante (en el sentido de que no hay suficiente energía cinética para homogeneizar los fluidos).

Si el número de Richardson es de orden uno, entonces es probable que el flujo esté impulsado por la flotabilidad: la energía del flujo se deriva de la energía potencial en el sistema originalmente.

Aviación

En aviación , el número de Richardson se utiliza como una medida aproximada de la turbulencia del aire esperada. Un valor más bajo indica un mayor grado de turbulencia. Los valores en el rango de 10 a 0,1 son típicos ^{[ cita necesaria ]} , y los valores por debajo de la unidad indican turbulencia significativa.

Convección térmica

En problemas de convección térmica, el número de Richardson representa la importancia de la convección natural respecto de la convección forzada . El número de Richardson en este contexto se define como

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {g\beta (T_{\text{hot}}-T_{\text{ref}})L}{V^{2}}}}$

donde g es la aceleración gravitacional, es el coeficiente de expansión térmica , T _hot es la temperatura de la pared caliente, T _ref es la temperatura de referencia, L es la longitud característica y V es la velocidad característica. ${\displaystyle \beta }$

El número de Richardson también se puede expresar utilizando una combinación del número de Grashof y el número de Reynolds ,

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {\mathrm {Gr} }{\mathrm {Re} ^{2}}}.}$

Normalmente, la convección natural es insignificante cuando Ri < 0,1, la convección forzada es insignificante cuando Ri > 10 y ninguna es insignificante cuando 0,1 < Ri < 10. Cabe señalar que normalmente la convección forzada es grande en relación con la convección natural, excepto en el caso de velocidades de flujo forzado extremadamente bajas. Sin embargo, la flotabilidad a menudo juega un papel importante en la definición de la transición laminar-turbulenta de un flujo de convección mixto . ^[3] En el diseño de tanques de almacenamiento de energía térmica llenos de agua, el número de Richardson puede resultar útil. ^[4]

Meteorología

En la ciencia atmosférica, se utilizan comúnmente varias expresiones diferentes para el número de Richardson: el número de Richardson de flujo (que es fundamental), el número de Richardson de gradiente y el número de Richardson en masa.

• El número de flujo de Richardson es la relación entre la producción flotante (o supresión) de energía cinética de turbulencia y la producción de turbulencia por cizallamiento. ^[5] Matemáticamente, esto es: ${\displaystyle Ri_{f}}$

${\displaystyle Ri_{f}={\frac {(g/T_{v}){\overline {w'\theta '}}}{{\overline {u'w'}}{\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}+{\overline {v'w'}}{\frac {\partial {\overline {v}}}{\partial z}}}}}$,

donde es la temperatura virtual , es la temperatura potencial virtual , es la altitud, es la componente del viento, es la componente del viento y es la componente (vertical) del viento. Un primo (p. ej. ) denota una desviación del campo respectivo de su promedio de Reynolds . ${\displaystyle T_{v}}$ ${\displaystyle \theta _{v}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w'}$

• Se llega al número de Richardson de gradiente aproximando el número de Richardson de flujo utilizando la "teoría K" . Esto da como resultado: ^[6] ${\displaystyle Ri_{g}}$

${\displaystyle Ri_{g}={\frac {(g/T_{v}){\frac {\partial \theta _{v}}{\partial z}}}{({\frac {\partial u}{\partial z}})^{2}+({\frac {\partial v}{\partial z}})^{2}}}}$.

• El número de Richardson en masa resulta de hacer una aproximación en diferencias finitas a las derivadas en la expresión del número de Richardson en gradiente, dando: ^[7] ${\displaystyle Ri_{b}}$

${\displaystyle Ri_{b}={\frac {(g/T_{v0})\Delta \theta _{v}\Delta z}{(\Delta u)^{2}+(\Delta v)^{2}}}}$.

Aquí, para cualquier variable , es decir, la diferencia entre altitud y altitud . Si se considera que el nivel de referencia inferior es , entonces (debido a la condición de límite de no deslizamiento ), la expresión se simplifica a: ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Delta f:=f_{z1}-f_{z0}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle z1}$ ${\displaystyle z0}$ ${\displaystyle z0=0}$ ${\displaystyle u_{z0}=v_{z0}=0}$

${\displaystyle Ri_{b}={\frac {(g/\theta _{v0})(\theta _{vz1}-\theta _{v0})z}{(u_{z1})^{2}+(v_{z1})^{2}}}}$.

Oceanografía

En oceanografía , el número de Richardson tiene una forma más general ^{[ cita necesaria ]} que tiene en cuenta la estratificación. Es una medida de la importancia relativa de los efectos mecánicos y de densidad en la columna de agua, como lo describe la ecuación de Taylor-Goldstein , utilizada para modelar la inestabilidad de Kelvin-Helmholtz impulsada por flujos cizallados.

${\displaystyle \mathrm {Ri} ={\frac {N^{2}}{(\mathrm {d} u/\mathrm {d} z)^{2}}}}$

donde N es la frecuencia de Brunt-Väisälä y u la velocidad del viento.

El número de Richardson definido anteriormente siempre se considera positivo. Un valor negativo de N² (es decir, N complejo ) indica gradientes de densidad inestables con vuelco convectivo activo. En tales circunstancias, la magnitud de Ri negativo generalmente no es de interés. Se puede demostrar que Ri < 1/4 es una condición necesaria para que la velocidad de corte supere la tendencia de un fluido estratificado a permanecer estratificado, y generalmente se producirá cierta mezcla (turbulencia). Cuando Ri es grande, generalmente se suprime la mezcla turbulenta a través de la estratificación. ^[8]

Referencias

1. Caza, JCR (1998). "Lewis Fry Richardson y sus contribuciones a las matemáticas, la meteorología y los modelos de conflicto". Revisión Anual de Mecánica de Fluidos . 30 (1): xiii–xxxvi. Código Bib : 1998AnRFM..30D..13H. doi : 10.1146/annurev.fluid.30.1.0. ISSN  0066-4189.
2. Encyclopædia Britannica: número de Richardson
3. Garbrecht, Oliver (23 de agosto de 2017). "Simulación de grandes remolinos de convección mixta tridimensional sobre una placa vertical" (PDF) . Universidad RWTH de Aquisgrán .
4. Robert Huhn Beitrag zur thermodynamischen Analyse und Bewertung von Wasserwärmespeichern en Energieumwandlungsketten , ISBN 978-3-940046-32-1 , Andreas Oberhammer Europas größter Fernwärmespeicher in Kombination mit dem Optimalen Ladebetrieb eines Gas- und Dampfturbinenkraftwerkes (Vortrag 20 07) 
5. "Número de flujo Richardson". Glosario AMS . Sociedad Meteorológica Estadounidense . Consultado el 20 de junio de 2023 .
6. "Número de gradiente de Richardson". Glosario AMS . Sociedad Meteorológica Estadounidense . Consultado el 20 de junio de 2023 .
7. "Número de Richardson a granel". Glosario AMS . Sociedad Meteorológica Estadounidense . Consultado el 20 de junio de 2023 .
8. Una buena referencia sobre este tema es Turner, JS (1973). Efectos de la flotabilidad en fluidos . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-08623-3.