En dinámica de fluidos , la aproximación de Boussinesq ( pronunciada [businɛsk] , llamada así por Joseph Valentin Boussinesq ) se utiliza en el campo del flujo impulsado por flotabilidad (también conocido como convección natural ). Ignora las diferencias de densidad excepto cuando aparecen en términos multiplicados por g , la aceleración debida a la gravedad . La esencia de la aproximación de Boussinesq es que la diferencia de inercia es insignificante pero la gravedad es lo suficientemente fuerte como para hacer que el peso específico sea apreciablemente diferente entre los dos fluidos. Las ondas sonoras son imposibles/descuidadas cuando se utiliza la aproximación de Boussinesq, ya que las ondas sonoras se mueven a través de variaciones de densidad.
Los flujos de Boussinesq son comunes en la naturaleza (como frentes atmosféricos , circulación oceánica, vientos catabáticos ), en la industria ( dispersión densa de gases , ventilación por vitrinas de gases) y en el entorno construido (ventilación natural, calefacción central ). La aproximación es extremadamente precisa para muchos de estos flujos y simplifica las matemáticas y la física.
La aproximación de Boussinesq se aplica a problemas en los que el fluido varía en temperatura (o composición) de un lugar a otro, impulsando un flujo de fluido y una transferencia de calor (o transferencia de masa [1] ). El fluido satisface la conservación de masa , la conservación del momento y la conservación de la energía . En la aproximación de Boussinesq, las variaciones en las propiedades del fluido distintas de la densidad ρ se ignoran, y la densidad sólo aparece cuando se multiplica por g , la aceleración gravitacional. [2] : 127–128 Si u es la velocidad local de una porción de fluido, la ecuación de continuidad para la conservación de la masa es [2] : 52
Si se ignoran las variaciones de densidad, esto se reduce a [2] : 128
La expresión general para la conservación del momento de un fluido newtoniano incompresible (las ecuaciones de Navier-Stokes ) es
donde ν (nu) es la viscosidad cinemática y F es la suma de las fuerzas de cualquier cuerpo , como la gravedad . [2] : 59 En esta ecuación, se supone que las variaciones de densidad tienen una parte fija y otra parte que tiene una dependencia lineal de la temperatura:
donde α es el coeficiente de expansión térmica . [2] : 128–129 La aproximación de Boussinesq establece que la variación de la densidad sólo es importante en el término de flotabilidad.
Si es la fuerza gravitacional del cuerpo, la ecuación de conservación resultante es [2] : 129
En la ecuación para el flujo de calor en un gradiente de temperatura, la capacidad calorífica por unidad de volumen, , se supone constante y se ignora el término de disipación. La ecuación resultante es
donde J es la tasa por unidad de volumen de producción interna de calor y es la conductividad térmica . [2] : 129
Las tres ecuaciones numeradas son las ecuaciones de convección básicas en la aproximación de Boussinesq.
La ventaja de la aproximación surge porque al considerar un flujo de, digamos, agua fría y caliente de densidad ρ 1 y ρ 2, solo es necesario considerar una única densidad ρ : la diferencia Δ ρ = ρ 1 − ρ 2 es insignificante. El análisis dimensional muestra [ se necesita aclaración ] que, bajo estas circunstancias, la única manera sensata de que la aceleración debida a la gravedad g entre en las ecuaciones de movimiento es en la gravedad reducida g′ donde
(Tenga en cuenta que el denominador puede ser cualquiera de las densidades sin afectar el resultado porque el cambio sería de orden ). El número adimensional más utilizado sería el número de Richardson y el número de Rayleigh .
Por lo tanto, las matemáticas del flujo son más simples porque la relación de densidadρ 1/ρ 2, un número adimensional , no afecta el flujo; la aproximación de Boussinesq establece que se puede suponer que es exactamente uno.
Una característica de los flujos de Boussinesq es que parecen iguales cuando se ven al revés, siempre que las identidades de los fluidos estén invertidas. La aproximación de Boussinesq es inexacta cuando la diferencia de densidad adimensionalΔ ρ/ρes aproximadamente 1, es decir, Δ ρ ≈ ρ .
Por ejemplo, considere una ventana abierta en una habitación cálida. El aire caliente del interior es menos denso que el aire frío del exterior, que fluye hacia la habitación y desciende hacia el suelo. Ahora imagine lo contrario: una habitación fría expuesta al aire cálido del exterior. Aquí el aire que entra sube hacia el techo. Si el flujo es Boussinesq (y por lo demás la habitación es simétrica), entonces ver la habitación fría al revés es exactamente lo mismo que ver la habitación cálida al revés. Esto se debe a que la única forma en que la densidad entra en el problema es a través de la gravedad reducida g′, que sufre solo un cambio de signo cuando se cambia del flujo de la habitación cálida al flujo de la habitación fría.
Un ejemplo de flujo no boussinesq son las burbujas que se elevan en el agua. El comportamiento de las burbujas de aire que suben en el agua es muy diferente del comportamiento del agua que cae en el aire: en el primer caso, las burbujas ascendentes tienden a formar capas hemisféricas, mientras que el agua que cae en el aire se divide en gotas de lluvia (en escalas de longitud pequeñas, la tensión superficial entra en el problema). y confunde el asunto).
