Núcleo de transición

En las matemáticas de la probabilidad , un núcleo o kernel de transición es una función en matemáticas que tiene diferentes aplicaciones. Los kernels se pueden utilizar, por ejemplo, para definir medidas aleatorias o procesos estocásticos . El ejemplo más importante de núcleos son los núcleos de Markov .

Definición

Sean , dos espacios medibles . Una función ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$

${\displaystyle \kappa \colon S\times {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]}$

se denomina núcleo (de transición) de a si se cumplen las dos condiciones siguientes: ^[1] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

• Para cualquier fijo , el mapeo ${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle s\mapsto \kappa (s,B)}$

es - mensurable ; ${\displaystyle {\mathcal {S}}/{\mathcal {B}}([0,+\infty ])}$

• Por cada fijo , el mapeo ${\displaystyle s\in S}$

${\displaystyle B\mapsto \kappa (s,B)}$

es una medida sobre . ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$

Clasificación de núcleos de transición.

Los núcleos de transición generalmente se clasifican según las medidas que definen. Esas medidas se definen como

${\displaystyle \kappa _{s}\colon {\mathcal {T}}\to [0,+\infty ]}$

con

${\displaystyle \kappa _{s}(B)=\kappa (s,B)}$

para todos y todas . Con esta notación, el núcleo se llama ^{[1] [2]} ${\displaystyle B\in {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \kappa }$

• un núcleo subestocástico , un núcleo de subprobabilidad o un núcleo sub-Markov si todos son medidas de subprobabilidad ${\displaystyle \kappa _{s}}$
• un núcleo de Markov , un núcleo estocástico o un núcleo de probabilidad si todos son medidas de probabilidad ${\displaystyle \kappa _{s}}$
• un núcleo finito si todas son medidas finitas ${\displaystyle \kappa _{s}}$
• un núcleo finito si todos son medidas finitas ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \kappa _{s}}$ ${\displaystyle \sigma }$
• un núcleo s-finito si todas son medidas finitas , lo que significa que es un núcleo que se puede escribir como una suma contable de núcleos finitos ${\displaystyle \kappa _{s}}$ ${\displaystyle s}$
• un núcleo uniformemente ${\displaystyle \sigma }$ finito si hay como mucho muchos conjuntos mensurables contables para todos y todos . ${\displaystyle B_{1},B_{2},\dots }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \kappa _{s}(B_{i})<\infty }$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

Operaciones

En esta sección, sean espacios medibles y denoten el producto σ-álgebra de y con ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle (T,{\mathcal {T}})}$ ${\displaystyle (U,{\mathcal {U}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\otimes {\mathcal {T}}}$

Producto de granos

Definición

Sea un núcleo s-finito de a y un núcleo s-finito de a . Entonces el producto de los dos núcleos se define como ^{[3] [4]} ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}\colon S\times ({\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}})\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2}(s,A)=\int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{A}(t,u)}$

para todos . ${\displaystyle A\in {\mathcal {T}}\otimes {\mathcal {U}}}$

Propiedades y comentarios

El producto de dos núcleos es un núcleo de a . Es nuevamente un núcleo s-finito y es un núcleo finito si y son núcleos finitos. El producto de los granos también es asociativo , lo que significa que satisface ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T\times U}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle \sigma }$

${\displaystyle (\kappa ^{1}\otimes \kappa ^{2})\otimes \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\otimes (\kappa ^{2}\otimes \kappa ^{3})}$

para tres núcleos s-finitos adecuados . ${\displaystyle \kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}}$

El producto también está bien definido si es un núcleo de a . En este caso, se trata como un núcleo de a que es independiente de . Esto equivale a establecer ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle S}$

${\displaystyle \kappa ((s,t),A):=\kappa (t,A)}$

para todos y todas . ^{[4] [3]} ${\displaystyle A\in {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle s\in S}$

Composición de los granos

Definición

Sea un núcleo s-finito de a y un núcleo s-finito de a . Entonces la composición de los dos núcleos se define como ^{[5] [3]} ${\displaystyle \kappa ^{1}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle S\times T}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}$

${\displaystyle \kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}\colon S\times {\mathcal {U}}\to [0,\infty ]}$

${\displaystyle (s,B)\mapsto \int _{T}\kappa ^{1}(s,\mathrm {d} t)\int _{U}\kappa ^{2}((s,t),\mathrm {d} u)\mathbf {1} _{B}(u)}$

para todos y todas . ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {U}}}$

Propiedades y comentarios

La composición es un núcleo de a que nuevamente es s-finito. La composición de los núcleos es asociativa , lo que significa que satisface ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle (\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2})\cdot \kappa ^{3}=\kappa ^{1}\cdot (\kappa ^{2}\cdot \kappa ^{3})}$

para tres núcleos s-finitos adecuados . Al igual que el producto de los núcleos, la composición también está bien definida si es un núcleo de a . ${\displaystyle \kappa ^{1},\kappa ^{2},\kappa ^{3}}$ ${\displaystyle \kappa ^{2}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle U}$

Una notación alternativa para la composición es ^[3] ${\displaystyle \kappa ^{1}\kappa ^{2}}$

Kernels como operadores

Sea el conjunto de funciones positivas medibles en . ${\displaystyle {\mathcal {T}}^{+},{\mathcal {S}}^{+}}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {S}}),(T,{\mathcal {T}})}$

Cada núcleo desde hasta se puede asociar con un operador lineal. ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle A_{\kappa }\colon {\mathcal {T}}^{+}\to {\mathcal {S}}^{+}}$

dado por ^[6]

${\displaystyle (A_{\kappa }f)(s)=\int _{T}\kappa (s,\mathrm {d} t)\;f(t).}$

La composición de estos operadores es compatible con la composición de los núcleos, es decir ^[3]

${\displaystyle A_{\kappa ^{1}}A_{\kappa ^{2}}=A_{\kappa ^{1}\cdot \kappa ^{2}}}$

Referencias

1. Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 180. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN  978-1-84800-047-6.
2. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pag. 30. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.
3. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. pag. 33.doi :10.1007/978-3-319-41598-7 . ISBN  978-3-319-41596-3.
4. Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 279.doi :10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN  978-1-84800-047-6.
5. Klenke, Achim (2008). Teoría de probabilidad . Berlín: Springer. pag. 281.doi :10.1007/978-1-84800-048-3 . ISBN  978-1-84800-047-6.
6. Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Suiza: Springer. págs. 29 y 30. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN  978-3-319-41596-3.