En matemáticas , un cuadrado P -multimágico (también conocido como cuadrado satánico ) es un cuadrado mágico que sigue siendo mágico incluso si todos sus números se reemplazan por sus k -ésimas potencias para 1 ≤ k ≤ P. Los cuadrados 2-multimágicos se denominan bimágicos , los cuadrados 3-multimágicos se denominan trimágicos , los cuadrados 4-multimágicos tetramágicos y los cuadrados 5-multimágicos pentágicos .
Si los cuadrados son normales , la constante para los cuadrados de las potencias se puede determinar de la siguiente manera:
Los totales de la serie bimágica para cuadrados bimágicos también están vinculados a la secuencia numérica piramidal cuadrada como sigue:
Cuadrados 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, .... (secuencia A000290 en la OEIS )
Suma de cuadrados 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, ... (secuencia A000330 en la OEIS ) )número de unidades en una pirámide de base cuadrada)
La serie bimágica es la 1.ª, 4.ª, 9.ª en esta serie (dividida por 1, 2, 3, n ), etc., por lo que los valores para las filas y columnas en orden 1, orden 2, orden 3 de los cuadrados bimágicos serían 1, 15, 95, 374, 1105, 2701, 5775, 11180, ... (secuencia A052459 en la OEIS )
La serie trimágica estaría relacionada de la misma manera con la secuencia hiperpiramidal de cubos anidados.
Cubos 0, 1, 8, 27, 64, 125, 216, ... (secuencia A000578 en la OEIS )
Suma de los cubos 0, 1, 9, 36, 100, ... (secuencia A000537 en la OEIS )
Valor para los cuadrados trimágicos 1, 50, 675, 4624, ... (secuencia A052460 en la OEIS )
De manera similar, la secuencia tetramágica
4-Potencia 0, 1, 16, 81, 256, 625, 1296, ... (secuencia A000583 en la OEIS )
Suma de 4-Potencia 0, 1, 17, 98, 354, 979, 2275, ... (secuencia A000538 en la OEIS )
Sumas para los cuadrados tetramágicos 0, 1, 177, ... (secuencia A052461 en la OEIS )
Un cuadrado bimágico es un cuadrado mágico que sigue siendo mágico cuando todos sus números son reemplazados por sus cuadrados .
El primer cuadrado bimágico conocido tiene orden 8 y constante mágica 260 y una constante bimágica de 11180.
Bensen y Jacoby han conjeturado que no existen cuadrados bimágicos no triviales [ aclaración necesaria ] de orden inferior a 8. Boyer y Trump demostraron esto para los cuadrados mágicos que contienen los elementos 1 a n 2 .
Sin embargo, JR Hendricks pudo demostrar en 1998 que no existe ningún cuadrado bimágico de orden 3, salvo el cuadrado bimágico trivial que contiene el mismo número nueve veces. La prueba es bastante simple: sea el siguiente nuestro cuadrado bimágico.
Es bien sabido que una propiedad de los cuadrados mágicos es que . De manera similar, . Por lo tanto, . Se deduce que . Lo mismo se aplica a todas las líneas que pasan por el centro.
Para cuadrados de 4 × 4, Luke Pebody pudo demostrar mediante métodos similares que los únicos cuadrados bimágicos de 4 × 4 (hasta la simetría) son de la forma
o
Un cuadrado bimágico de 8 × 8.
Actualmente (2010) se conocen cuadrados bimágicos no triviales para cualquier orden de ocho a 64. Li Wen de China creó los primeros cuadrados bimágicos conocidos de los órdenes 34, 37, 38, 41, 43, 46, 47, 53, 58, 59, 61, 62 llenando los huecos de los últimos órdenes desconocidos.
En 2006, Jaroslaw Wroblewski construyó un cuadrado bimágico no normal de orden 6. No normal significa que utiliza números enteros no consecutivos .
También en 2006 Lee Morgenstern construyó varios cuadrados bimágicos no normales de orden 7.
Un cuadrado trimágico es un cuadrado mágico que sigue siendo mágico cuando todos sus números son reemplazados por sus cubos .
Hasta ahora se han descubierto cuadrados trimágicos de órdenes 12, 32, 64, 81 y 128; el único cuadrado trimágico conocido de orden 12, que se muestra a continuación, fue encontrado en junio de 2002 por el matemático alemán Walter Trump .
El primer cuadrado mágico de 4 fue construido por Charles Devimeux en 1983 y era un cuadrado de orden 256.
Un cuadrado mágico de 4 elementos de orden 512 fue construido en mayo de 2001 por André Viricel y Christian Boyer. [1]
El primer cuadrado mágico de 5, de orden 1024, llegó aproximadamente un mes después, en junio de 2001, de nuevo por Viricel y Boyer. También presentaron un cuadrado mágico de 4, más pequeño, de orden 256, en enero de 2003. Otro cuadrado mágico de 5, de orden 729, fue construido en junio de 2003 por Li Wen.
