Teorema de Bézout multihomogéneo

En álgebra y geometría algebraica , el teorema de Bézout multihomogéneo es una generalización a polinomios multihomogéneos del teorema de Bézout , que cuenta el número de ceros comunes aislados de un conjunto de polinomios homogéneos . Esta generalización se debe a Igor Shafarevich . ^[1]

Motivación

Dada una ecuación polinomial o un sistema de ecuaciones polinomiales, a menudo es útil calcular o acotar el número de soluciones sin calcular explícitamente las soluciones.

En el caso de una sola ecuación, este problema se resuelve mediante el teorema fundamental del álgebra , que afirma que el número de soluciones complejas está acotado por el grado del polinomio, con igualdad, si se cuentan las soluciones con sus multiplicidades .

En el caso de un sistema de n ecuaciones polinómicas con n incógnitas, el problema se resuelve mediante el teorema de Bézout , que afirma que, si el número de soluciones complejas es finito, su número está acotado por el producto de los grados de los polinomios. Además, si el número de soluciones en el infinito también es finito, entonces el producto de los grados es igual al número de soluciones contadas con multiplicidades e incluyendo las soluciones en el infinito.

Sin embargo, es bastante común que el número de soluciones en el infinito sea infinito. En este caso, el producto de los grados de los polinomios puede ser mucho mayor que el número de raíces, y es útil establecer límites mejores.

El teorema de Bézout multihomogéneo proporciona una raíz mejor cuando las incógnitas se pueden dividir en varios subconjuntos de modo que el grado de cada polinomio en cada subconjunto sea menor que el grado total del polinomio. Por ejemplo, sean polinomios de grado dos que son de grado uno en n indeterminados y también de grado uno en (es decir, los polinomios son bilineales . En este caso, el teorema de Bézout limita el número de soluciones por ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{2n}}$ ${\displaystyle x_{1},\ldots x_{n},}$ ${\displaystyle y_{1},\ldots y_{n}.}$

${\displaystyle 2^{2n},}$

mientras que el teorema de Bézout multihomogéneo proporciona el límite (utilizando la aproximación de Stirling )

${\displaystyle {\binom {2n}{n}}={\frac {(2n)!}{(n!)^{2}}}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {\pi n}}}.}$

Declaración

Un polinomio multihomogéneo es un polinomio que es homogéneo con respecto a varios conjuntos de variables.

Más precisamente, considere k enteros positivos y, para i = 1, ..., k , los indeterminados Un polinomio en todos estos indeterminados es multihomogéneo de multigrado si es homogéneo de grado en ${\displaystyle n_{1},\ldots ,n_{k}}$ ${\displaystyle n_{i}+1}$ ${\displaystyle x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,n_{i}}.}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k},}$ ${\displaystyle d_{i}}$ ${\displaystyle x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,{n_{i}}}.}$

Una variedad multiproyectiva es una subvariedad proyectiva del producto de espacios proyectivos.

${\displaystyle \mathbb {P} _{n_{1}}\times \cdots \times \mathbb {P} _{n_{k}},}$

donde denotan el espacio proyectivo de dimensión n . Una variedad multiproyectiva puede definirse como el conjunto de los ceros comunes no triviales de un ideal de polinomios multihomogéneos, donde "no trivial" significa que no son simultáneamente 0, para cada i . ${\displaystyle \mathbb {P} _{n}}$ ${\displaystyle x_{i,0},x_{i,1},\ldots ,x_{i,n}}$

El teorema de Bézout afirma que n polinomios homogéneos de grado en n + 1 indeterminados definen un conjunto algebraico de dimensión positiva o un conjunto algebraico de dimensión cero que consiste en puntos contados con sus multiplicidades. ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{n}}$ ${\displaystyle d_{1}\cdots d_{n}}$

Para enunciar la generalización del teorema de Bézout, es conveniente introducir nuevas indeterminadas y representar el multigrado por la forma lineal. En lo sucesivo, "multigrado" se referirá a esta forma lineal y no a la secuencia de grados. ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{k},}$ ${\displaystyle d_{1},\ldots ,d_{k}}$ ${\displaystyle \mathbf {d} =d_{1}t_{1}+\cdots +d_{k}t_{k}.}$

La formulación del teorema de Bézout multihomogéneo es la siguiente. ${\displaystyle n=n_{1}+\cdots +n_{k},}$

Con la notación anterior, n polinomios multihomogéneos de múltiples grados definen un conjunto algebraico multiproyectivo de dimensión positiva o un conjunto algebraico de dimensión cero que consiste en B puntos, contados con multiplicidades, donde B es el coeficiente de ${\displaystyle \mathbf {d} _{1},\ldots ,\mathbf {d} _{n}}$

${\displaystyle t_{1}^{n_{1}}\cdots t_{k}^{n_{k}}}$

en el producto de formas lineales

${\displaystyle \mathbf {d} _{1}\cdots \mathbf {d} _{n}.}$

Caso no homogéneo

La cota de Bézout multihomogénea en el número de soluciones puede utilizarse para sistemas de ecuaciones no homogéneos, cuando los polinomios pueden (multi) homogeneizarse sin aumentar el grado total. Sin embargo, en este caso, la cota puede no ser precisa, si hay soluciones "en el infinito".

Sin una comprensión del problema que se estudia, puede resultar difícil agrupar las variables para lograr una "buena" multihomogeneización. Afortunadamente, existen muchos problemas en los que dicha agrupación resulta directamente del problema que se modela. Por ejemplo, en mecánica , las ecuaciones son generalmente homogéneas o casi homogéneas en las longitudes y en las masas.

Referencias

1. Shafarevich, IR (2012) [1977]. Geometría Algebraica Básica. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 213. Traducido por Hirsch, KA Springer. ISBN 978-3-642-96200-4.