Sistema Morse-Smale

En la teoría de sistemas dinámicos , un área de las matemáticas puras , un sistema Morse-Smale es un sistema dinámico suave cuyo conjunto no errante consiste en un número finito de puntos de equilibrio hiperbólico y órbitas periódicas hiperbólicas y satisface una condición de transversalidad en las variedades estable e inestable . Los sistemas Morse-Smale son estructuralmente estables y forman una de las clases más simples y mejor estudiadas de sistemas dinámicos suaves. Reciben su nombre en honor a Marston Morse , el creador de la teoría Morse , y Stephen Smale , quien enfatizó su importancia para la dinámica suave y la topología algebraica .

Definición

Considérese un campo vectorial suave y completo X definido en una variedad diferenciable compacta M con dimensión n . El flujo definido por este campo vectorial es un sistema Morse-Smale si

1. X tiene sólo un número finito de puntos singulares (es decir, puntos de equilibrio del flujo), y todos ellos son puntos de equilibrio hiperbólico .
2. X tiene sólo un número finito de órbitas periódicas, y todas ellas son órbitas periódicas hiperbólicas .
3. Los conjuntos límites de todas las órbitas de X tienden a un punto singular o una órbita periódica.
4. Las variedades estables e inestables de los puntos singulares y órbitas periódicas se cortan transversalmente. En otras palabras, si es un punto singular (u órbita periódica) y (respectivamente, ) su variedad estable (respectivamente, inestable), entonces implica que los espacios tangentes correspondientes de la variedad estable e inestable satisfacen . ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle W_{s}(x_{i})}$ ${\displaystyle W_{u}(x_{i})}$ ${\displaystyle w\in W_{s}(x_{i})\cap W_{u}(x_{j})}$ ${\displaystyle T_{w}(W_{s}(x_{i}))+T_{w}(W_{u}(x_{j}))=T_{w}(M)}$

Ejemplos

Líneas de flujo en un toro vertical: las variedades estables e inestables de los puntos de silla no se intersecan transversalmente, por lo que la función de altura no satisface la condición de Morse-Smale.

Líneas de flujo en un toro inclinado: la función de altura satisface la condición de Morse-Smale.

• Cualquier función de Morse f en una variedad compacta de Riemann M define un campo de vectores gradiente. Si se impone la condición de que las variedades inestable y estable de los puntos críticos se intersecan transversalmente, entonces el campo de vectores gradiente y el flujo suave correspondiente forman un sistema de Morse-Smale . El conjunto finito de puntos críticos de f forma el conjunto no errante, que consta enteramente de puntos fijos.
• Los sistemas dinámicos tipo gradiente son un caso particular de sistemas Morse-Smale.
• Para los sistemas Morse-Smale en la esfera 2D, todos los puntos de equilibrio y las órbitas periódicas son hiperbólicos ; no hay bucles separadores .

Propiedades

• Por el teorema de Peixoto , el campo vectorial en una variedad 2D es estructuralmente estable si y sólo si este campo es Morse-Smale.
• Considérese un sistema Morse-Smale definido en una variedad diferenciable compacta M con dimensión n , y sea el índice de un punto de equilibrio (o una órbita periódica) definido como la dimensión de su variedad inestable asociada. En los sistemas Morse-Smale, los índices de los puntos de equilibrio (y órbitas periódicas) están relacionados con la topología de M por las desigualdades de Morse-Smale. Precisamente, definamos m _i como la suma del número de puntos de equilibrio con índice i y el número de órbitas periódicas con índices i e i + 1, y b _i como el i -ésimo número de Betti de M . Entonces las siguientes desigualdades son válidas: ^[1]

${\displaystyle \sum _{j=0}^{i}(-1)^{j}m_{i-j}\geq \sum _{j=0}^{i}(-1)^{j}b_{i-j},\quad i=0,\ldots ,n}$

Notas

1. Smale, Stephen (1960). "Desigualdades de Morse para un sistema dinámico". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 66 (1): 43–49. doi : 10.1090/S0002-9904-1960-10386-2 . S2CID  41114855.

Referencias

• DV Anosov (2001) [1994], "Sistema Morse-Smale", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Dr. Michael Shub (ed.). "Sistemas Morse-Smale". Scholarpedia .