Modelo de pila de arena abeliana

autómata celular

El elemento de identidad del grupo de montones de arena de una cuadrícula rectangular. Los píxeles amarillos corresponden a los vértices que llevan tres partículas, el lila a dos partículas, el verde a una y el negro a cero.

El modelo abeliano de pilas de arena (ASM) es el nombre más popular del modelo original de Bak-Tang-Wiesenfeld (BTW). El modelo BTW fue el primer ejemplo descubierto de un sistema dinámico que muestra una criticidad autoorganizada . Fue presentado por Per Bak , Chao Tang y Kurt Wiesenfeld en un artículo de 1987. ^[1]

Tres años más tarde, Deepak Dhar descubrió que el modelo de pilas de arena, por cierto, sigue la dinámica abeliana y, por lo tanto, se refirió a este modelo como modelo de pilas de arena abelianas. ^[2]

El modelo es un autómata celular . En su formulación original, cada sitio en una cuadrícula finita tiene un valor asociado que corresponde a la pendiente del pilote. Esta pendiente se acumula a medida que "granos de arena" (o "astillas") se colocan aleatoriamente sobre la pila, hasta que la pendiente excede un valor umbral específico, momento en el que ese sitio colapsa transfiriendo arena a los sitios adyacentes, aumentando su pendiente. Bak, Tang y Wiesenfeld consideraron el proceso de colocación aleatoria sucesiva de granos de arena en la rejilla; cada una de estas colocaciones de arena en un sitio en particular puede no tener ningún efecto o puede causar una reacción en cascada que afectará a muchos sitios.

Dhar ha demostrado que la configuración estable final del montón de arena después de que termina la avalancha es independiente de la secuencia precisa de derrumbes que se sigue durante la avalancha. Como consecuencia directa de este hecho, se muestra que si se añaden dos granos de arena a la configuración estable en dos órdenes diferentes, por ejemplo, primero en el sitio A y luego en el sitio B, y primero en B y luego en A, el resultado final. La configuración estable de los granos de arena resulta ser exactamente la misma. Cuando se agrega un grano de arena a una configuración estable de un montón de arena, se produce una avalancha que finalmente se detiene y conduce a otra configuración estable. Dhar propuso que la adición de un grano de arena puede considerarse como un operador: cuando actúa sobre una configuración estable, produce otra configuración estable. Dhar demostró que todos estos operadores de suma forman un grupo abeliano, de ahí el nombre de modelo de pila de arena abeliano. ^{[3] [4]} Desde entonces, el modelo se ha estudiado en la red infinita, en otras redes (no cuadradas) y en gráficos arbitrarios (incluidos los multigrafos dirigidos ). ^[5] Está estrechamente relacionado con el juego del dólar , una variante del juego de disparo de fichas introducido por Biggs. ^[6]

Definición (cuadrículas rectangulares)

El modelo de pila de arena es un autómata celular originalmente definido en una cuadrícula rectangular ( tablero de ajedrez ) de la red cuadrada estándar . A cada vértice ( lado , campo ) de la cuadrícula, asociamos un valor ( granos de arena , pendiente , partículas ) , a lo que nos referimos como configuración (inicial) del montón de arena. ${\displaystyle N\times M}$ ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Gamma }$ ${\displaystyle z_{0}(x,y)\in \{0,1,2,3\}}$ ${\displaystyle z_{0}\in \{0,1,2,3\}^{\Gamma }}$

La dinámica del autómata en la iteración se define entonces de la siguiente manera: ${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$

1. Elija un vértice aleatorio según alguna distribución de probabilidad (normalmente uniforme). ${\displaystyle (x_{i},y_{i})\in \Gamma }$
2. Agregue un grano de arena a este vértice mientras deja los números de grano para todos los demás vértices sin cambios, es decir, establezca y para todos .
   ${\displaystyle z_{i}(x_{i},y_{i})=z_{i-1}(x_{i},y_{i})+1}$
   ${\displaystyle z_{i}(x,y)=z_{i-1}(x,y)}$ ${\displaystyle (x,y)\neq (x_{i},y_{i})}$
3. Si todos los vértices son estables , es decir, para todos , también se dice que la configuración es estable. En este caso, continúe con la siguiente iteración. ${\displaystyle z_{i}(x,y)<4}$ ${\displaystyle (x,y)\in \Gamma }$ ${\displaystyle z_{i}}$
4. Si al menos un vértice es inestable , es decir , para algunos , se dice que toda la configuración es inestable. En este caso, elija al azar cualquier vértice inestable. Derribar este vértice reduciendo su número de granos en cuatro y aumentando en uno el número de granos de cada uno de sus vecinos directos (como máximo cuatro), es decir, set , y if . Si un vértice en el límite del dominio se cae, esto resulta en una pérdida neta de granos (dos granos en la esquina de la cuadrícula, un grano en caso contrario). ${\displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})\geq 4}$ ${\displaystyle (x_{u},y_{u})\in \Gamma }$ ${\displaystyle z_{i}}$ ${\displaystyle (x_{u},y_{u})\in \Gamma }$
   ${\displaystyle z_{i}(x_{u},y_{u})\rightarrow z_{i}(x_{u},y_{u})-4,}$
   ${\displaystyle z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\rightarrow z_{i}(x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)+1}$ ${\displaystyle (x_{u}\pm 1,y_{u}\pm 1)\in \Gamma }$
   
5. Debido a la redistribución de los granos, el derrumbe de un vértice puede hacer que otros vértices sean inestables. Por lo tanto, repita el procedimiento de derribo hasta que todos los vértices finalmente se estabilicen y continúe con la siguiente iteración. ${\displaystyle z_{i}}$

El derrumbe de varios vértices durante una iteración se denomina avalancha . Se garantiza que cada avalancha finalmente se detendrá, es decir, después de un número finito de derribos se alcanza alguna configuración estable tal que el autómata esté bien definido. Además, aunque a menudo habrá muchas opciones posibles para el orden en el que derribar los vértices, la configuración estable final no depende del orden elegido; éste es un sentido en el que el montón de arena es abeliano . De manera similar, el número de veces que cada vértice cae durante cada iteración también es independiente de la elección del orden de caída.

Definición (multigrafos finitos no dirigidos)

Para generalizar el modelo de pila de arena desde la cuadrícula rectangular de la red cuadrada estándar a un multigrafo finito arbitrario no dirigido , se especifica un vértice especial llamado sumidero al que no se le permite derribar. Una configuración (estado) del modelo es entonces una función que cuenta el número no negativo de granos en cada vértice no sumidero. Un vértice no sumidero con ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle s\in V}$ ${\displaystyle z:V\setminus \{s\}\rightarrow \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle v\in V\setminus \{s\}}$

${\displaystyle z(v)\geq \deg(v)}$

es inestable; se puede derribar, lo que envía uno de sus granos a cada uno de sus vecinos (no sumidero):

${\displaystyle z(v)\to z(v)-\deg(v)}$

${\displaystyle z(u)\to z(u)+1}$para todos , . ${\displaystyle u\sim v}$ ${\displaystyle u\neq s}$

Luego, el autómata celular progresa como antes, es decir, agregando, en cada iteración, una partícula a un vértice no sumidero elegido al azar y derribándose hasta que todos los vértices estén estables.

La definición del modelo de pila de arena dada anteriormente para cuadrículas rectangulares finitas de la red cuadrada estándar puede verse entonces como un caso especial de esta definición: considere el gráfico que se obtiene agregando un vértice adicional, el sumidero, y dibujando aristas adicionales. desde el sumidero hasta cada vértice límite de tal que el grado de cada vértice que no es sumidero es cuatro. De esta manera, también se pueden definir modelos de pilas de arena en cuadrículas no rectangulares de la red cuadrada estándar (o de cualquier otra red): Intersecta algún subconjunto acotado de con . Contrae cada arista cuyos dos extremos no estén en . El único vértice restante fuera de entonces constituye el sumidero del gráfico de pila de arena resultante. ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle S\cap \mathbb {Z} ^{2}}$

Configuraciones transitorias y recurrentes

En la dinámica del autómata de pila de arena definida anteriormente, algunas configuraciones estables ( para todos ) aparecen con una frecuencia infinita, mientras que otras sólo pueden aparecer un número finito de veces (si es que aparecen). Las primeras se denominan configuraciones recurrentes , mientras que las segundas se denominan configuraciones transitorias . Por lo tanto, las configuraciones recurrentes consisten en todas las configuraciones estables no negativas que se pueden alcanzar desde cualquier otra configuración estable agregando repetidamente granos de arena a los vértices y derribándolos. Es fácil ver que la configuración mínimamente estable , donde cada vértice lleva granos de arena, es alcanzable desde cualquier otra configuración estable (agregue granos a cada vértice). Por lo tanto, de manera equivalente, las configuraciones recurrentes son exactamente aquellas configuraciones que se pueden alcanzar a partir de la configuración mínimamente estable agregando solo granos de arena y estabilizando. ${\displaystyle 0\leq z(v)<4}$ ${\displaystyle v\in G\setminus \{s\}}$ ${\displaystyle z_{m}}$ ${\displaystyle z_{m}(v)=deg(v)-1}$ ${\displaystyle deg(v)-z(v)-1\geq 0}$

No todas las configuraciones estables no negativas son recurrentes. Por ejemplo, en cada modelo de montón de arena en un gráfico que consta de al menos dos vértices no sumideros conectados, cada configuración estable donde ambos vértices llevan cero granos de arena no es recurrente. Para probar esto, primero observe que la adición de granos de arena solo puede aumentar el número total de granos transportados por los dos vértices juntos. Llegar a una configuración en la que ambos vértices llevan cero partículas desde una configuración en la que este no es el caso implica necesariamente pasos en los que al menos uno de los dos vértices se derriba. Considere el último de estos pasos. En este paso, uno de los dos vértices debe caer en último lugar. Dado que el derrumbe transfiere un grano de arena a cada vértice vecino, esto implica que el número total de granos transportados por ambos vértices juntos no puede ser inferior a uno, lo que concluye la prueba.

grupo de pilas de arena

Dada una configuración , para todos , derribar los vértices inestables no sumidero en un gráfico finito conectado hasta que no quede ningún vértice inestable no sumidero conduce a una configuración estable única , que se llama estabilización de . Dadas dos configuraciones estables y , podemos definir la operación , correspondiente a la adición de granos en los vértices seguida de la estabilización del montón de arena resultante. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z(v)\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle v\in G\setminus \{s\}}$ ${\displaystyle z^{\circ }}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle z*w:=(z+w)^{\circ }}$

Dado un orden arbitrario pero fijo de los vértices que no son sumidero, múltiples operaciones de derrumbe, que pueden ocurrir, por ejemplo, durante la estabilización de una configuración inestable, se pueden codificar eficientemente usando el gráfico laplaciano , donde es la matriz de grados y es la matriz de adyacencia de la gráfica. Al eliminar la fila y la columna correspondientes al sumidero se obtiene el gráfico reducido Laplaciano . Luego, al comenzar con una configuración y derribar cada vértice un total de veces se obtiene la configuración , donde está el producto de contracción. Además, si corresponde al número de veces que cada vértice se derriba durante la estabilización de una configuración determinada , entonces ${\displaystyle \Delta =D-A}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \Delta '}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (v)\in \mathbb {N} _{0}}$ ${\displaystyle z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x} }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\cdot }}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle z^{\circ }=z-\Delta '{\boldsymbol {\cdot }}~\mathbf {x} }$

En este caso, se denomina función de derribo o de odómetro (de estabilización de ). ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle z}$

Bajo la operación , el conjunto de configuraciones recurrentes forma un grupo abeliano isomorfo al cokernel del grafo reducido laplaciano , es decir, a , donde denota el número de vértices (incluido el sumidero). De manera más general, el conjunto de configuraciones estables (transitorias y recurrentes) forma un monoide conmutativo bajo la operación . El ideal mínimo de este monoide es entonces isomorfo al grupo de configuraciones recurrentes. ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle \Delta '}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle *}$

El grupo formado por las configuraciones recurrentes, así como el grupo al que la primera es isomorfa, se denomina más comúnmente grupo de pilas de arena . Otros nombres comunes para un mismo grupo son grupo crítico , grupo jacobiano o (con menor frecuencia) grupo Picard . Tenga en cuenta, sin embargo, que algunos autores sólo denotan el grupo formado por las configuraciones recurrentes como grupo de pilas de arena, reservando el nombre de grupo jacobiano o grupo crítico para el grupo (isomorfo) definido por (o para definiciones isomórficas relacionadas). Finalmente, algunos autores utilizan el nombre grupo Picard para referirse al producto directo del grupo sandpile y , que naturalmente aparece en un autómata celular muy relacionado con el modelo sandpile, denominado disparo de fichas o juego del dólar. ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Dados los isomorfismos indicados anteriormente, el orden del grupo de pilas de arena es el determinante de , que según el teorema del árbol matricial es el número de árboles generadores del gráfico. ${\displaystyle \Delta '}$

Criticidad autoorganizada

El interés original detrás del modelo surgió del hecho de que en simulaciones en redes, se siente atraído por su estado crítico , en cuyo punto la longitud de correlación del sistema y el tiempo de correlación del sistema llegan al infinito, sin ningún ajuste fino de un parámetro del sistema. Esto contrasta con ejemplos anteriores de fenómenos críticos, como las transiciones de fase entre sólido y líquido, o líquido y gas, donde el punto crítico sólo puede alcanzarse mediante un ajuste preciso (por ejemplo, de la temperatura). Por tanto, en el modelo de montón de arena podemos decir que la criticidad es autoorganizada .

Una vez que el modelo de pila de arena alcanza su estado crítico, no existe correlación entre la respuesta del sistema a una perturbación y los detalles de una perturbación. Generalmente, esto significa que dejar caer otro grano de arena sobre la pila puede causar que no pase nada, o puede provocar que toda la pila colapse en un deslizamiento masivo. El modelo también muestra ruido 1/ ƒ , una característica común a muchos sistemas complejos en la naturaleza.

Este modelo sólo muestra un comportamiento crítico en dos o más dimensiones. El modelo de pila de arena se puede expresar en 1D; sin embargo, en lugar de evolucionar a su estado crítico, el modelo de pila de arena 1D alcanza un estado mínimamente estable donde cada sitio de la red se dirige hacia la pendiente crítica.

Para dos dimensiones, se ha planteado la hipótesis de que la teoría de campos conforme asociada consta de fermiones simplécticos con una carga central c  = −2. ^[7]

Propiedades

Principio de mínima acción

La estabilización de las configuraciones de chips obedece a una especie de principio de mínima acción : cada vértice no se cae más de lo necesario durante la estabilización. ^[8] Esto puede formalizarse de la siguiente manera. Llame legal a una secuencia de derribos si solo derriba vértices inestables y estabilizadora si da como resultado una configuración estable. La forma estándar de estabilizar el montón de arena es encontrar una secuencia legal máxima; es decir, derribándose tanto como sea posible. Esta secuencia es obviamente estabilizadora, y la propiedad abeliana del montón de arena es que todas esas secuencias son equivalentes hasta la permutación del orden de derrumbe; es decir, para cualquier vértice , el número de caídas es el mismo en todas las secuencias estabilizadoras legales. Según el principio de acción mínima, una secuencia estabilizadora mínima también equivale, hasta la permutación de la orden de derrocamiento, a una secuencia legal (y aún estabilizadora). En particular, la configuración resultante de una secuencia estabilizadora mínima es la misma que resulta de una secuencia legal máxima. ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle v}$

Más formalmente, si es un vector tal que es el número de veces que el vértice se cae durante la estabilización (mediante el derrumbe de vértices inestables) de una configuración de chip , y es un vector integral (no necesariamente no negativo) tal que es estable, luego para todos los vértices . ${\displaystyle \mathbf {u} }$ ${\displaystyle \mathbf {u} (v)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle z-\mathbf {n} \Delta '}$ ${\displaystyle \mathbf {u} (v)\leq \mathbf {n} (v)}$ ${\displaystyle v}$

Límites de escala

Animación de la identidad del montón de arena en cuadrículas cuadradas de tamaño creciente. El color negro indica vértices con 0 granos, el verde es para 1, el morado es para 2 y el dorado es para 3.

La animación muestra la configuración recurrente correspondiente a la identidad del grupo de pilas de arena en diferentes cuadrículas cuadradas de tamaños crecientes , mediante las cuales las configuraciones se reescalan para tener siempre la misma dimensión física. Visualmente, las identidades en cuadrículas más grandes parecen volverse cada vez más detalladas y "convergir en una imagen continua". Matemáticamente, esto sugiere la existencia de límites de escala de la identidad del montón de arena en cuadrículas cuadradas basadas en la noción de convergencia débil* (o alguna otra noción generalizada de convergencia). De hecho, Wesley Pegden y Charles Smart han demostrado la existencia de límites de escala de configuraciones recurrentes de montones de arena. ^{[9] [10]} En un trabajo conjunto posterior con Lionel Levine, utilizan el límite de escala para explicar la estructura fractal del montón de arena en cuadrículas cuadradas. ^[11] Otro límite de escala, cuando las relajaciones de una perturbación del estado estable máximo convergen a una imagen definida por curvas tropicales , se establece en las obras de Nikita Kalinin y Mikhail Shkolnikov. ^[12] ${\displaystyle N\times N}$ ${\displaystyle N\geq 1}$

integridad de turing

Los montones de arena abelianos en tres o más dimensiones se pueden utilizar para simular una máquina de Turing y, por lo tanto, son Turing completos . ^[13]

Generalizaciones y modelos relacionados.

Modelos de pilas de arena en cuadrículas infinitas.

30 millones de granos cayeron en un lugar de la cuadrícula infinita y luego cayeron según las reglas del modelo de pila de arena. El color blanco indica sitios con 0 granos, el verde es para 1, el morado es para 2 y el dorado es para 3. El cuadro delimitador es 3967 × 3967.

Existen varias generalizaciones del modelo de pila de arena a cuadrículas infinitas. Un desafío en tales generalizaciones es que, en general, ya no está garantizado que cada avalancha eventualmente se detenga. Por lo tanto, varias generalizaciones sólo consideran la estabilización de configuraciones para las que esto puede estar garantizado.

Un modelo bastante popular en la red cuadrada (infinita) con sitios se define de la siguiente manera: ${\displaystyle (x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}}$

Comience con alguna configuración no negativa de valores que sea finita, es decir ${\displaystyle z(x,y)\in \mathbf {Z} }$

${\displaystyle \sum _{x,y}z(x,y)<\infty .}$

Cualquier sitio con ${\displaystyle (x,y)}$

${\displaystyle z(x,y)\geq 4}$

es inestable y puede caerse (o dispararse ), enviando uno de sus chips a cada uno de sus cuatro vecinos:

${\displaystyle z(x,y)\rightarrow z(x,y)-4,}$

${\displaystyle z(x\pm 1,y)\rightarrow z(x\pm 1,y)+1,}$

${\displaystyle z(x,y\pm 1)\rightarrow z(x,y\pm 1)+1.}$

Dado que la configuración inicial es finita, se garantiza que el proceso terminará y los granos se dispersarán hacia afuera.

Un caso especial popular de este modelo se da cuando la configuración inicial es cero para todos los vértices excepto el origen. Si el origen contiene una gran cantidad de granos de arena, la configuración después de la relajación forma patrones fractales (ver figura). Al dejar que el número inicial de granos en el origen llegue al infinito, se demostró que las configuraciones estabilizadas reescaladas convergen a un límite único. ^{[10] [11]}

Modelos de pila de arena en gráficos dirigidos.

El modelo de pila de arena se puede generalizar a multigrafos dirigidos arbitrarios. Las reglas son que cualquier vértice con ${\displaystyle v}$

${\displaystyle z(v)\geq \deg ^{+}(v)}$

es inestable; al caer nuevamente envía chips a cada uno de sus vecinos, uno a lo largo de cada borde de salida:

${\displaystyle z(v)\rightarrow z(v)-\deg ^{+}(v)+\deg(v,v)}$

y, para cada uno : ${\displaystyle u\neq v}$

${\displaystyle z(u)\rightarrow z(u)+\deg(v,u)}$

¿Dónde está el número de aristas desde hasta ? ${\displaystyle \deg(v,u)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle u}$

En este caso la matriz laplaciana no es simétrica. Si especificamos un sumidero tal que haya un camino desde cada dos vértices hasta , entonces la operación de estabilización en gráficos finitos está bien definida y el grupo de pilas de arena se puede escribir ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle \mathbf {Z} ^{n-1}/\mathbf {Z} ^{n-1}\Delta '}$

como antes.

El orden del grupo de pilas de arena es nuevamente el determinante de , que según la versión general del teorema del árbol matricial es el número de árboles de expansión orientados enraizados en el sumidero. ${\displaystyle \Delta '}$

El modelo de pila de arena extendido

Dinámica de montones de arena inducida por la función armónica H=x*y en una cuadrícula de 255x255.

Para comprender mejor la estructura del grupo de pilas de arena para diferentes cuadrículas finitas convexas de la red cuadrada estándar , Lang y Shkolnikov introdujeron el modelo de pila de arena extendido en 2019. ^[14] El modelo de pila de arena extendido se define casi exactamente igual que el modelo de pila de arena habitual ( es decir, el modelo original de Bak-Tang-Wiesenfeld ^[1] ), excepto que ahora se permite que los vértices en el límite de la cuadrícula lleven un número real no negativo de granos. Por el contrario, a los vértices en el interior de la cuadrícula solo se les permite transportar números enteros de granos. Las reglas de caída permanecen sin cambios, es decir, se supone que tanto el vértice interior como el límite se vuelven inestables y se caen si el número de granos alcanza o excede cuatro. ${\displaystyle \Gamma \subset \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{2}}$ ${\displaystyle \partial \Gamma }$

Además, las configuraciones recurrentes del modelo de pilotes de arena extendidos forman un grupo abeliano, denominado grupo de pilotes de arena extendido , del cual el grupo de pilotes de arena habitual es un subgrupo discreto . Sin embargo, a diferencia del grupo de montones de arena habitual, el grupo de montones de arena extendido es un grupo de Lie continuo . Dado que se genera añadiendo únicamente granos de arena al límite de la cuadrícula, el grupo de pilas de arena extendido tiene además la topología de un toro de dimensión y un volumen dado por el orden del grupo de pilas de arena habitual. ^[14] ${\displaystyle \partial \Gamma }$ ${\displaystyle |\partial \Gamma |}$

De interés específico es la cuestión de cómo las configuraciones recurrentes cambian dinámicamente a lo largo de las geodésicas continuas de este toro que pasa a través de la identidad. Esta pregunta lleva a la definición de la dinámica de los montones de arena.

${\displaystyle D_{H}(t)=(I-t\Delta H)^{\circ }}$(modelo de pila de arena extendido)

respectivamente

${\displaystyle {\tilde {D}}_{H}(t)=(I+\lfloor -t\Delta H\rfloor )^{\circ }}$(modelo habitual de pila de arena)

inducido por la función armónica de valor entero en el tiempo , con la identidad del grupo de pilas de arena y la función de piso. ^[14] Para funciones armónicas polinómicas de bajo orden, la dinámica del montón de arena se caracteriza por la suave transformación y la aparente conservación de los parches que constituyen la identidad del montón de arena. Por ejemplo, la dinámica armónica inducida por se asemeja al "estiramiento suave" de la identidad a lo largo de las diagonales principales visualizadas en la animación. Además, se conjeturó que las configuraciones que aparecen en la dinámica inducida por la misma función armónica en cuadrículas cuadradas de diferentes tamaños convergen débilmente, lo que significa que supuestamente existen límites de escala para ellas. ^[14] Esto propone una renormalización natural para los grupos de pilas de arena extendidos y habituales, es decir, un mapeo de configuraciones recurrentes en una red determinada a configuraciones recurrentes en una subred. De manera informal, esta renormalización simplemente mapea las configuraciones que aparecen en un momento dado en la dinámica del montón de arena inducida por alguna función armónica en la cuadrícula más grande a las configuraciones correspondientes que aparecen al mismo tiempo en la dinámica del montón de arena inducida por la restricción de a la respectiva subred. . ^[14] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \lfloor .\rfloor }$ ${\displaystyle H=xy}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

El montón de arena divisible

Un modelo fuertemente relacionado es el llamado modelo de pila de arena divisible , introducido por Levine y Peres en 2008, ^[15] en el que, en lugar de un número discreto de partículas en cada sitio , hay un número real que representa la cantidad de masa en el sitio. En caso de que dicha masa sea negativa, se puede entender como un agujero. El derrumbe ocurre siempre que un sitio tiene una masa mayor que 1; derriba el exceso de manera uniforme entre sus vecinos, lo que da como resultado la situación de que, si un sitio está lleno en un momento , estará lleno en todos los momentos posteriores. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle s(x)}$ ${\displaystyle t}$

Referencias culturales

El montón de arena Bak-Tang-Wiesenfeld se mencionó en el episodio "Rampage" de Numb3rs , mientras el matemático Charlie Eppes explica a sus colegas una solución a una investigación criminal.

El juego de computadora Hexplode se basa en el modelo de montón de arena abeliano en una cuadrícula hexagonal finita donde, en lugar de colocar granos al azar, los jugadores colocan los granos.

Referencias

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3. Dhar, D (2006). "Estudios teóricos de la criticidad autoorganizada". Física A. 369 (14): 29–70. doi :10.1016/j.physa.2006.04.004. PMID  10041442.
4. Dhar, D ; Sandhu, T. (2013). "Un modelo de montón de arena para un crecimiento proporcional". J. estadística. Mec. 2013 (11): 1613–1616. arXiv : 1310.1359 . doi :10.1088/1742-5468/2013/11/P11006. PMID  10041442. S2CID  119108933.
5. Holroyd, A.; Levine, L.; Mészaros, K.; Peres, Y.; Propp, J.; Wilson, B. (2008). "Disparo de chips y enrutamiento de rotores en gráficos dirigidos". Dentro y fuera del equilibrio 2 . Progreso en probabilidad. vol. 60, págs. 331–364. arXiv : 0801.3306 . Código bibliográfico : 1987PhRvL..59..381B. doi :10.1007/978-3-7643-8786-0_17. ISBN 978-3-7643-8785-3. S2CID  7313023.
6. Biggs, Norman L. (25 de junio de 1997). "Disparo de chips y el grupo crítico de un gráfico" (PDF) . Revista de combinatoria algebraica : 25–45 . Consultado el 10 de mayo de 2014 .
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Otras lecturas

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• Por Bak; Chao Tang; Kurt Wiesenfeld (1987). "Criticidad autoorganizada: una explicación del ruido 1/ ƒ ". Cartas de revisión física . 59 (4): 381–384. Código bibliográfico : 1987PhRvL..59..381B. doi :10.1103/PhysRevLett.59.381. PMID  10035754.
• Por Bak; Chao Tang; Kurt Wiesenfeld (1988). "Criticidad autoorganizada". Revisión física A. 38 (1): 364–374. Código bibliográfico : 1988PhRvA..38..364B. doi :10.1103/PhysRevA.38.364. PMID  9900174.
• Cori, Robert; Rossin, Dominique; Salvy, Bruno (2002). "Ideales polinomiales para pilotes de arena y sus bases de Gröbner" (PDF) . Teor. Computadora. Ciencia . 276 (1–2): 1–15. doi :10.1016/S0304-3975(00)00397-2. Zbl  1002.68105.
• Klivans, Caroline (2018). Las matemáticas de la activación de chips . Prensa CRC.
• Perkinson, David; Perlman, Jacob; Wilmes, Juan (2013). "Geometría algebraica de montones de arena". En Amini, Omid; Panadero, Mateo; Faber, Xander (eds.). Geometría tropical y no arquimediana. Taller de Bellairs sobre teoría de números, geometría tropical y no arquimediana, Instituto de Investigación Bellairs, Holetown, Barbados, EE. UU., 6 al 13 de mayo de 2011 . Matemáticas Contemporáneas. vol. 605. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 211–256. CiteSeerX  10.1.1.760.283 . doi :10.1090/conm/605/12117. ISBN 978-1-4704-1021-6. S2CID  7851577. Zbl  1281.14002.

enlaces externos

• García-Puente, Luis David. "Montones de arena" (vídeo de YouTube) . YouTube . Brady Harán . Archivado desde el original el 15 de diciembre de 2021 . Consultado el 15 de enero de 2017 .
• Ellenberg, Jordania (6 de octubre de 2021). "Las matemáticas del asombroso montón de arena". Nautilus trimestral .
• Phelps, Christopher (5 de noviembre de 2021). Una implementación interactiva de Python de modelos de celosía cuadrada