The Mathematics of Chip-Firing es un libro de texto de matemáticas sobre juegos de disparo de chips y modelos abelianos de pilas de arena . Fue escrito por Caroline Klivans y publicado en 2018 por CRC Press .
Un juego de disparo de fichas, en su forma más básica, es un proceso en un gráfico no dirigido , en el que cada vértice del gráfico contiene una cierta cantidad de fichas. En cada paso, se selecciona un vértice con más chips que aristas incidentes y uno de sus chips se envía a cada uno de sus vecinos. Si un solo vértice se designa como "agujero negro", lo que significa que los chips que se le envían desaparecen, entonces el resultado del proceso es el mismo sin importar el orden en que se seleccionen los otros vértices. Los estados estables de este proceso son aquellos en los que ningún vértice tiene suficientes chips para ser seleccionado; Se pueden agregar dos estados estables combinando sus chips y luego estabilizando el resultado. Un subconjunto de estos estados, los llamados estados críticos, forman un grupo abeliano bajo esta operación de suma. El modelo abeliano de pila de arena aplica este modelo a gráficos de cuadrícula grandes , con el agujero negro conectado a los vértices límite de la cuadrícula; En esta formulación, con todos los vértices elegibles seleccionados simultáneamente, también se puede interpretar como un autómata celular . El elemento de identidad del grupo de montones de arena a menudo tiene una estructura fractal inusual. [1]
El libro cubre estos temas y se divide en dos partes. La primera de estas partes cubre la teoría básica descrita anteriormente, formulando el disparo de chips en términos de teoría de grafos algebraicos y la matriz laplaciana del gráfico dado. Describe una equivalencia entre los estados del grupo de pilas de arena y los árboles de expansión del gráfico, y la acción del grupo en los árboles de expansión, así como conexiones similares con otras estructuras combinatorias, y aplicaciones de estas conexiones en combinatoria algebraica . Y estudia juegos de disparo de chips en otras clases de gráficos además de las cuadrículas, incluidos los gráficos aleatorios . [1]
La segunda parte del libro tiene cuatro capítulos dedicados a temas más avanzados sobre la activación de chips. El primero de ellos generaliza la activación de chips desde matrices laplacianas de gráficos a matrices M , conectando esta generalización con los sistemas de raíces y la teoría de la representación . El segundo considera la activación de chips en complejos abstractos simpliciales en lugar de gráficos. El tercero utiliza la activación de chips para estudiar análogos teóricos de grafos de la teoría del divisor y el teorema de Riemann-Roch . Y el cuarto aplica métodos del álgebra conmutativa al estudio de la activación de chips. [1] [2]
El libro incluye muchas ilustraciones y finaliza cada capítulo con una serie de ejercicios que lo hacen adecuado como libro de texto para un curso sobre este tema. [3]
Aunque el libro puede ser leído por algunos estudiantes universitarios de matemáticas, el crítico David Perkinson sugiere que su audiencia principal deberían ser los estudiantes de posgrado en matemáticas, para quienes podría usarse como base de un curso o seminario de posgrado. Lo llama "una introducción exhaustiva a un tema apasionante y en crecimiento", con una "exposición clara y concisa". [1] El crítico Paul Dreyer lo llama una "inmersión profunda" en "matemáticas increíblemente profundas". [3]
Otro libro sobre el mismo tema general, publicado aproximadamente al mismo tiempo, es Divisores y pilas de arena: una introducción al chip-firing de Corry y Perkinson (American Mathematical Society, 2018). Está escrito en un nivel inferior dirigido a estudiantes de pregrado, abarcando principalmente el material de la primera parte de The Mathematics of Chip-Firing , y enmarcado más en términos de geometría algebraica que de combinatoria. [2]