Modelos a micro y macroescala

Clases de modelos computacionales

Modelos de coexistencia a microescala y a macroescala relacionados en Phalaris arundinacea, una gramínea distribuida globalmente. Cada color representa la extensión espacial de un genotipo distinto en un modelo a microescala utilizando autómatas celulares estocásticos. Cada curva en el gráfico representa el nivel de población de un genotipo correspondiente en un modelo de ecuación diferencial a macroescala. ^[1]

Los modelos de microescala forman una amplia clase de modelos computacionales que simulan detalles a escala fina, en contraste con los modelos de macroescala , que fusionan los detalles en categorías seleccionadas. ^{[2] [3]} Los modelos de microescala y macroescala se pueden utilizar juntos para comprender diferentes aspectos del mismo problema.

Aplicaciones

Los modelos a macroescala pueden incluir ecuaciones ordinarias , parciales e integrodiferenciales , donde las categorías y los flujos entre las categorías determinan la dinámica, o pueden involucrar solo ecuaciones algebraicas . Un modelo abstracto a macroescala puede combinarse con modelos a microescala más detallados. Las conexiones entre las dos escalas están relacionadas con el modelado multiescala . Una técnica matemática para el modelado multiescala de nanomateriales se basa en el uso de la función de Green multiescala .

Por el contrario, los modelos a microescala pueden simular una variedad de detalles, como bacterias individuales en biopelículas , ^[4] peatones individuales en vecindarios simulados, ^[5] rayos de luz individuales en imágenes de trazado de rayos , ^[6] casas individuales en ciudades, ^[7] poros de escala fina y flujo de fluidos en baterías, ^[8] compartimentos de escala fina en meteorología, ^[9] estructuras de escala fina en sistemas de partículas, ^[10] y otros modelos donde las interacciones entre individuos y las condiciones de fondo determinan la dinámica.

Los modelos de eventos discretos , los modelos basados ​​en individuos y los modelos basados ​​en agentes son casos especiales de modelos de microescala. Sin embargo, los modelos de microescala no requieren individuos discretos ni eventos discretos. Los detalles finos sobre la topografía, los edificios y los árboles pueden agregar detalles de microescala a las simulaciones meteorológicas y pueden conectarse con lo que se llama modelos de mesoescala en esa disciplina. ^[9] La resolución del paisaje del tamaño de un metro cuadrado disponible a partir de imágenes lidar permite modelar el flujo de agua a través de superficies terrestres, por ejemplo, riachuelos y bolsas de agua, utilizando conjuntos de detalles del tamaño de un gigabyte. ^[11] Los modelos de redes neuronales pueden incluir neuronas individuales, pero pueden funcionar en tiempo continuo y, por lo tanto, carecer de eventos discretos precisos. ^[12]

Historia

Las ideas para modelos computacionales a microescala surgieron en los primeros días de la informática y se aplicaron a sistemas complejos que no podían describirse con precisión mediante formas matemáticas estándar.

Dos temas surgieron en el trabajo de dos fundadores de la computación moderna a mediados del siglo XX. Primero, el pionero Alan Turing utilizó modelos simplificados a macroescala para comprender la base química de la morfogénesis , pero luego propuso y utilizó modelos computacionales a microescala para comprender las no linealidades y otras condiciones que surgirían en los sistemas biológicos reales. ^[13] En segundo lugar, el pionero John von Neumann creó un autómata celular para comprender las posibilidades de autorreplicación de entidades arbitrariamente complejas, ^[14] que tenían una representación a microescala en el autómata celular pero no una forma simplificada a macroescala. Este segundo tema se considera parte de los modelos basados ​​en agentes , donde las entidades en última instancia pueden ser agentes de inteligencia artificial que operan de forma autónoma.

En el último cuarto del siglo XX, la capacidad computacional había crecido tanto ^{[15] [16]} que hasta decenas de miles de individuos o más podían incluirse en modelos de microescala, y que se podían aplicar matrices dispersas para lograr también un alto rendimiento. ^[17] Los aumentos continuos en la capacidad computacional permitieron simular cientos de millones de individuos en computadoras comunes con modelos de microescala a principios del siglo XXI.

El término "modelo a microescala" surgió más tarde en el siglo XX y ahora aparece en la literatura de muchas ramas de la ciencia física y biológica. ^{[5] [7] [8] [9] [18]}

Ejemplo

La figura 1 representa un modelo fundamental a macroescala: el crecimiento de la población en un entorno ilimitado. Su ecuación es relevante en otros ámbitos, como el crecimiento compuesto del capital en economía o la desintegración exponencial en física. Tiene una variable amalgamada, , el número de individuos de la población en un momento dado . Tiene un parámetro amalgamado , la tasa de crecimiento anual de la población, calculada como la diferencia entre la tasa de natalidad anual y la tasa de mortalidad anual . El tiempo se puede medir en años, como se muestra aquí a modo de ilustración, o en cualquier otra unidad adecuada. ${\displaystyle N(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle r=\beta -\delta }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle t}$

El modelo a macroescala de la Figura 1 fusiona parámetros e incorpora una serie de aproximaciones simplificadoras:

1. las tasas de natalidad y mortalidad son constantes;
2. todos los individuos son idénticos, sin genética ni estructura de edad;
3. Las fracciones de individuos son significativas;
4. Los parámetros son constantes y no evolucionan;
5. El hábitat es perfectamente uniforme;
6. No se produce inmigración ni emigración; y
7. La aleatoriedad no entra.

Todas estas aproximaciones del modelo a macroescala se pueden refinar en modelos análogos a microescala. En la primera aproximación mencionada anteriormente (que las tasas de natalidad y mortalidad son constantes), el modelo a macroescala de la Figura 1 es exactamente la media de una gran cantidad de ensayos estocásticos con una tasa de crecimiento que fluctúa aleatoriamente en cada instancia temporal. ^[19] Los detalles estocásticos a microescala se incluyen en una ecuación de difusión diferencial parcial y esa ecuación se utiliza para establecer la equivalencia.

Para relajar otros supuestos, los investigadores han aplicado métodos computacionales. La Figura 2 es un ejemplo de algoritmo computacional a microescala que corresponde al modelo a macroescala de la Figura 1. Cuando todos los individuos son idénticos y las mutaciones en las tasas de natalidad y mortalidad están deshabilitadas, la dinámica a microescala es muy similar a la dinámica a macroescala (Figuras 3A y 3B). Las ligeras diferencias entre los dos modelos surgen de variaciones estocásticas en la versión a microescala que no están presentes en el modelo determinista a macroescala. Estas variaciones serán diferentes cada vez que se lleve a cabo el algoritmo, y surgirán de variaciones intencionales en las secuencias de números aleatorios.

Cuando no todos los individuos son idénticos, la dinámica a microescala puede diferir significativamente de la dinámica a macroescala, simulando situaciones más realistas que las que se pueden modelar a macroescala (Figuras 3C y 3D). El modelo a microescala no incorpora explícitamente la ecuación diferencial, aunque para poblaciones grandes la simula de forma precisa. Cuando los individuos difieren entre sí, el sistema tiene un comportamiento bien definido, pero las ecuaciones diferenciales que gobiernan ese comportamiento son difíciles de codificar. El algoritmo de la Figura 2 es un ejemplo básico de lo que se denomina un modelo sin ecuaciones . ^[20]

Cuando se habilitan las mutaciones en el modelo de microescala ( ), la población crece más rápidamente que en el modelo de macroescala (Figuras 3C y 3D). Las mutaciones en los parámetros permiten que algunos individuos tengan tasas de natalidad más altas y otros tengan tasas de mortalidad más bajas, y esos individuos contribuyen proporcionalmente más a la población. En igualdad de condiciones, la tasa de natalidad promedio se desplaza hacia valores más altos y la tasa de mortalidad promedio se desplaza hacia valores más bajos a medida que avanza la simulación. Esta desviación se rastrea en las estructuras de datos denominadas beta y delta del algoritmo de microescala de la Figura 2. ${\displaystyle \sigma >0}$

El algoritmo de la Figura 2 es un modelo de microescala simplificado que utiliza el método de Euler . Otros algoritmos como el método de Gillespie ^[21] y el método de eventos discretos ^[17] también se utilizan en la práctica. Las versiones del algoritmo en uso práctico incluyen eficiencias como eliminar individuos de la consideración una vez que mueren (para reducir los requisitos de memoria y aumentar la velocidad) y programar eventos estocásticos en el futuro (para proporcionar una escala de tiempo continua y mejorar aún más la velocidad). ^[17] Estos enfoques pueden ser órdenes de magnitud más rápidos.

Complejidad

La complejidad de los sistemas abordados por los modelos de microescala conduce a la complejidad de los propios modelos, y la especificación de un modelo de microescala puede ser decenas o cientos de veces mayor que su modelo de macroescala correspondiente. (El ejemplo simplificado de la Figura 2 tiene 25 veces más líneas en su especificación que la Figura 1.) Dado que los errores ocurren en el software informático y no se pueden eliminar por completo mediante métodos estándar como las pruebas ^[22] , y dado que los modelos complejos a menudo no se publican en detalle ni se revisan por pares, su validez ha sido puesta en duda ^[23] . Existen pautas sobre las mejores prácticas para los modelos de microescala ^[24], pero ningún artículo sobre el tema afirma una resolución completa del problema de la validación de modelos complejos.

Futuro

La capacidad de computación está alcanzando niveles en los que las poblaciones de países enteros o incluso del mundo entero están al alcance de los modelos a microescala, y las mejoras en los datos censales y de viajes permiten mejorar aún más la parametrización de dichos modelos. Los sensores remotos de los satélites de observación de la Tierra y los observatorios terrestres como la Red Nacional de Observatorios Ecológicos (NEON) proporcionan grandes cantidades de datos para calibración. Las posibles aplicaciones van desde la predicción y reducción de la propagación de enfermedades hasta la ayuda para comprender la dinámica de la Tierra.

Cifras

Figura 1. Ecuaciones a macroescala

Figura 1. Uno de los modelos a macroescala más simples: una ecuación diferencial ordinaria que describe un crecimiento exponencial continuo . es el tamaño de la población en el momento y es la tasa de cambio a través del tiempo en una sola dimensión . es la población inicial , es la tasa de natalidad por unidad de tiempo y es una tasa de mortalidad por unidad de tiempo. A la izquierda está la forma diferencial; a la derecha está la solución explícita en términos de funciones matemáticas estándar, que se desprende en este caso de la forma diferencial. Casi todos los modelos a macroescala son más complejos que este ejemplo, en el sentido de que tienen múltiples dimensiones, carecen de soluciones explícitas en términos de funciones matemáticas estándar y deben entenderse a partir de sus formas diferenciales. ${\displaystyle N(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle dN(t)/dt}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N(0)}$ ${\displaystyle t=0}$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta }$

Figura 2. Algoritmo de microescala correspondiente a las ecuaciones de la Figura 1.

Figura 2. Algoritmo básico que aplica el método de Euler a un modelo basado en individuos. Véase el texto para la discusión. El algoritmo, representado en pseudocódigo , comienza con la invocación del procedimiento , que utiliza las estructuras de datos para llevar a cabo la simulación según los pasos numerados descritos a la derecha. Invoca repetidamente la función , que devuelve su parámetro perturbado por un número aleatorio extraído de una distribución uniforme con desviación estándar definida por la variable . (La raíz cuadrada de 12 aparece porque la desviación estándar de una distribución uniforme incluye ese factor). Se supone que la función en el algoritmo devuelve un número aleatorio distribuido uniformemente . Se supone que los datos se restablecen a sus valores iniciales en cada invocación de . ${\displaystyle \operatorname {Microscale} ()}$ ${\displaystyle \operatorname {Mutation} (v)}$ ${\displaystyle sigma}$ ${\displaystyle \operatorname {Rand} ()}$ ${\displaystyle 0\leq Rand()<1}$ ${\displaystyle \operatorname {Microscale} ()}$

Figura 3. Dinámica

Figura 3. Comparación gráfica de la dinámica de las simulaciones a macroescala y microescala de las Figuras 1 y 2, respectivamente.

(A)  La curva negra representa la solución exacta del modelo a macroescala de la Figura 1 con por año, por año e individuos. ${\displaystyle \beta =1/5}$ ${\displaystyle \delta =1/10}$ ${\displaystyle N_{0}=1000}$

(B)  Los puntos rojos muestran la dinámica del modelo de microescala de la Figura 2, mostrado a intervalos de un año, utilizando los mismos valores de , , y , y sin mutaciones . ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \delta }$ ${\displaystyle N_{0}}$ ${\displaystyle (\sigma =0)}$

(C)  Los puntos azules muestran la dinámica del modelo de microescala con mutaciones que tienen una desviación estándar de . ${\displaystyle \sigma =0.006}$

(D)  Los puntos verdes muestran resultados con mutaciones más grandes . ${\displaystyle \sigma =0.010}$

Referencias

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