Partícula en una red unidimensional

Modelo en Física Cuántica

En mecánica cuántica , la partícula en una red unidimensional es un problema que se presenta en el modelo de una red cristalina periódica . El potencial es causado por iones en la estructura periódica del cristal que crean un campo electromagnético , por lo que los electrones están sujetos a un potencial regular dentro de la red. Es una generalización del modelo del electrón libre , que supone un potencial cero dentro de la red.

Definición del problema

Cuando hablamos de materiales sólidos, la discusión gira principalmente en torno a los cristales: redes periódicas. Aquí analizaremos una red unidimensional de iones positivos. Suponiendo que el espaciamiento entre dos iones es de , el potencial en la red se verá así:

La representación matemática del potencial es una función periódica con un periodo a . Según el teorema de Bloch ^[1] la solución de la función de onda de la ecuación de Schrödinger cuando el potencial es periódico, se puede escribir como:

$${\displaystyle \psi (x)=e^{ikx}u(x),}$$

donde u ( x ) es una función periódica que satisface u ( x + a ) = u ( x ) . Es el factor de Bloch con exponente de Floquet el que da lugar a la estructura de bandas del espectro de energía de la ecuación de Schrödinger con un potencial periódico como el potencial de Kronig-Penney o una función coseno como en la ecuación de Mathieu. ${\displaystyle k}$

Al acercarse a los bordes de la red, hay problemas con la condición de contorno. Por lo tanto, podemos representar la red iónica como un anillo siguiendo las condiciones de contorno de Born-von Karman . Si L es la longitud de la red, de modo que L ≫ a , entonces el número de iones en la red es tan grande que, al considerar un ion, su entorno es casi lineal y la función de onda del electrón no cambia. Entonces, ahora, en lugar de dos condiciones de contorno, obtenemos una condición de contorno circular: $${\displaystyle \psi (0)=\psi (L).}$$

Si N es el número de iones en la red, entonces tenemos la relación: aN = L . Reemplazando en la condición de contorno y aplicando el teorema de Bloch obtendremos una cuantificación para k : $${\displaystyle \psi (0)=e^{ik\cdot 0}u(0)=e^{ikL}u(L)=\psi (L)}$$ $${\displaystyle u(0)=e^{ikL}u(L)=e^{ikL}u(Na)\to e^{ikL}=1}$$ $${\displaystyle \Rightarrow kL=2\pi n\to k={2\pi \over L}n\qquad \left(n=0,\pm 1,\dots ,\pm {\frac {N}{2}}\right).}$$

Modelo de Kronig-Penney

El modelo de Kronig-Penney (llamado así por Ralph Kronig y William Penney ^[2] ) es un sistema mecánico cuántico simple e idealizado que consiste en una matriz periódica infinita de barreras de potencial rectangulares .

La función potencial se aproxima mediante un potencial rectangular:

Utilizando el teorema de Bloch , solo necesitamos encontrar una solución para un solo período, asegurarnos de que sea continuo y suave, y asegurarnos de que la función u ( x ) también sea continua y suave.

Considerando un único período del potencial:
Tenemos dos regiones aquí. Resolveremos cada una de ellas independientemente: Sea E un valor de energía por encima del pozo (E>0)

• Para : ${\displaystyle 0<x<(a-b)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=E\psi \\\Rightarrow \psi &=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}&\left(\alpha ^{2}={2mE \over \hbar ^{2}}\right)\end{aligned}}}$$
• Para : ${\displaystyle -b<x<0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\psi _{xx}&=(E+V_{0})\psi \\\Rightarrow \psi &=Be^{i\beta x}+B'e^{-i\beta x}&\left(\beta ^{2}={2m(E+V_{0}) \over \hbar ^{2}}\right).\end{aligned}}}$$

Para encontrar u ( x ) en cada región, necesitamos manipular la función de onda del electrón: $${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (0<x<a-b)&=Ae^{i\alpha x}+A'e^{-i\alpha x}=e^{ikx}\left(Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}\right)\\\Rightarrow u(0<x<a-b)&=Ae^{i(\alpha -k)x}+A'e^{-i(\alpha +k)x}.\end{aligned}}}$$

Y de la misma manera: $${\displaystyle u(-b<x<0)=Be^{i(\beta -k)x}+B'e^{-i(\beta +k)x}.}$$

Para completar la solución debemos asegurarnos de que la función de probabilidad sea continua y suave, es decir: $${\displaystyle \psi (0^{-})=\psi (0^{+})\qquad \psi '(0^{-})=\psi '(0^{+}).}$$

Y que u ( x ) y u′ ( x ) son periódicas: $${\displaystyle u(-b)=u(a-b)\qquad u'(-b)=u'(a-b).}$$

Estas condiciones dan como resultado la siguiente matriz: $${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&-1&-1\\\alpha &-\alpha &-\beta &\beta \\e^{i(\alpha -k)(a-b)}&e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-e^{-i(\beta -k)b}&-e^{i(\beta +k)b}\\(\alpha -k)e^{i(\alpha -k)(a-b)}&-(\alpha +k)e^{-i(\alpha +k)(a-b)}&-(\beta -k)e^{-i(\beta -k)b}&(\beta +k)e^{i(\beta +k)b}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A\\A'\\B\\B'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix}}.}$$

Para que tengamos una solución no trivial, el determinante de la matriz debe ser 0. Esto nos lleva a la siguiente expresión: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cos[\alpha (a-b)]-{\alpha ^{2}+\beta ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sin[\alpha (a-b)].}$$

Para simplificar aún más la expresión, realizamos las siguientes aproximaciones: $${\displaystyle b\to 0;\quad V_{0}\to \infty ;\quad V_{0}b=\mathrm {constant} }$$ $${\displaystyle \Rightarrow \beta ^{2}b=\mathrm {constant} ;\quad \alpha ^{2}b\to 0}$$ $${\displaystyle \Rightarrow \beta b\to 0;\quad \sin(\beta b)\to \beta b;\quad \cos(\beta b)\to 1.}$$

La expresión ahora será: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+P{\frac {\sin(\alpha a)}{\alpha a}},\qquad P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}.}$$

Para valores de energía dentro del pozo ( E  < 0), obtenemos: con y . $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\beta b)\cosh[\alpha (a-b)]-{\beta ^{2}-\alpha ^{2} \over 2\alpha \beta }\sin(\beta b)\sinh[\alpha (a-b)],}$$ ${\displaystyle \alpha ^{2}={2m|E| \over \hbar ^{2}}}$ ${\displaystyle \beta ^{2}={\frac {2m(V_{0}-|E|)}{\hbar ^{2}}}}$

Siguiendo las mismas aproximaciones que anteriormente ( ), llegamos a con la misma fórmula para P que en el caso anterior . ${\displaystyle b\to 0;\,V_{0}\to \infty ;\,V_{0}b=\mathrm {constant} }$ $${\displaystyle \cos(ka)=\cosh(\alpha a)+P{\frac {\sinh(\alpha a)}{\alpha a}}}$$ ${\displaystyle \left(P={\frac {mV_{0}ba}{\hbar ^{2}}}\right)}$

Bandas prohibidas en el modelo de Kronig-Penney

Valor de la expresión al que se equipara cos(ka) en la relación de dispersión, con P = 1,5. Las barras negras indican regiones para las que se puede calcular k. ${\displaystyle \alpha a}$

Relación de dispersión para el modelo de Kronig-Penney, con P = 1,5.

En el párrafo anterior, las únicas variables no determinadas por los parámetros del sistema físico son la energía E y el momento cristalino k . Al elegir un valor para E , se puede calcular el lado derecho y luego calcular k tomando los de ambos lados. Por lo tanto, la expresión da lugar a la relación de dispersión . ${\displaystyle \arccos }$

El lado derecho de la última expresión anterior puede ser a veces mayor que 1 o menor que –1, en cuyo caso no hay ningún valor de k que pueda hacer que la ecuación sea verdadera. Como , eso significa que hay ciertos valores de E para los que no hay funciones propias de la ecuación de Schrödinger. Estos valores constituyen la banda prohibida . ${\displaystyle \alpha a\propto {\sqrt {E}}}$

Por lo tanto, el modelo de Kronig-Penney es uno de los potenciales periódicos más simples que exhibe una banda prohibida.

Modelo de Kronig-Penney: solución alternativa

Se ofrece un tratamiento alternativo ^[3] para un problema similar. Aquí tenemos un potencial periódico delta : $${\displaystyle V(x)=A\cdot \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-na).}$$

A es una constante y a es la constante reticular (el espaciamiento entre cada sitio). Como este potencial es periódico, podríamos desarrollarlo como una serie de Fourier: donde $${\displaystyle V(x)=\sum _{K}{\tilde {V}}(K)\cdot e^{iKx},}$$ $${\displaystyle {\tilde {V}}(K)={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\,V(x)\,e^{-iKx}={\frac {1}{a}}\int _{-a/2}^{a/2}dx\sum _{n=-\infty }^{\infty }A\cdot \delta (x-na)\,e^{-iKx}={\frac {A}{a}}.}$$

La función de onda, utilizando el teorema de Bloch, es igual a donde es una función que es periódica en la red, lo que significa que también podemos expandirla como una serie de Fourier: ${\displaystyle \psi _{k}(x)=e^{ikx}u_{k}(x)}$ ${\displaystyle u_{k}(x)}$ $${\displaystyle u_{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)e^{iKx}.}$$

Por lo tanto la función de onda es: $${\displaystyle \psi _{k}(x)=\sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)\,e^{i(k+K)x}.}$$

Poniendo esto en la ecuación de Schrödinger, obtenemos: o mejor dicho: $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+\sum _{K'}{\tilde {V}}(K-K')\,{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$$ $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')=0}$$

Ahora reconocemos que: $${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K'}{\tilde {u}}_{k}(K')}$$

Inserte esto en la ecuación de Schrödinger: $${\displaystyle \left[{\frac {\hbar ^{2}(k+K)^{2}}{2m}}-E_{k}\right]{\tilde {u}}_{k}(K)+{\frac {A}{a}}u_{k}(0)=0}$$

Resolviendo esto obtenemos: ${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)}$ $${\displaystyle {\tilde {u}}_{k}(K)={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}f(k)}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}={\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

Sumamos esta última ecuación sobre todos los valores de K para llegar a: $${\displaystyle \sum _{K}{\tilde {u}}_{k}(K)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

O: $${\displaystyle u_{k}(0)=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}\,u_{k}(0)}$$

Convenientemente, se cancela y obtenemos: ${\displaystyle u_{k}(0)}$ $${\displaystyle 1=\sum _{K}{\frac {{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {A}{a}}}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$$

O: $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{{\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}-(k+K)^{2}}}}$$

Para ahorrarnos un esfuerzo de notación innecesario definimos una nueva variable: y finalmente nuestra expresión es: $${\displaystyle \alpha ^{2}:={\frac {2mE_{k}}{\hbar ^{2}}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{K}{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+K)^{2}}}}$$

Ahora bien, K es un vector reticular recíproco, lo que significa que una suma sobre K es en realidad una suma sobre múltiplos enteros de : ${\displaystyle {\frac {2\pi }{a}}}$ $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}}$$

Podemos modificar un poco esta expresión para hacerla más sugerente (usar Descomposición en fracciones parciales ): $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\alpha ^{2}-(k+{\frac {2\pi n}{a}})^{2}}}\\&=-{\frac {1}{2\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})-\alpha }}-{\frac {1}{(k+{\frac {2\pi n}{a}})+\alpha }}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left[{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\\&=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}-{\frac {\alpha a}{2}}}}-\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\pi n+{\frac {ka}{2}}+{\frac {\alpha a}{2}}}}\right]\end{aligned}}}$$

Si usamos una bonita identidad de una suma de la función cotangente (Ecuación 18) que dice: y la introducimos en nuestra expresión obtenemos: $${\displaystyle \cot(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi n+2x}}-{\frac {1}{2\pi n-2x}}}$$ $${\displaystyle {\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {a}{A}}=-{\frac {a}{4\alpha }}\left[\cot \left({\tfrac {ka}{2}}-{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)-\cot \left({\tfrac {ka}{2}}+{\tfrac {\alpha a}{2}}\right)\right]}$$

Usamos la suma de cot y luego, el producto de sin (que es parte de la fórmula para la suma de cot ) para llegar a: $${\displaystyle \cos(ka)=\cos(\alpha a)+{\frac {mA}{\hbar ^{2}\alpha }}\sin(\alpha a)}$$

Esta ecuación muestra la relación entre la energía (a través de α ) y el vector de onda, k , y como se puede ver, dado que el lado izquierdo de la ecuación solo puede variar de −1 a 1 , entonces hay algunos límites en los valores que α (y, por lo tanto, la energía) puede tomar, es decir, en algunos rangos de valores de la energía, no hay solución de acuerdo con estas ecuaciones y, por lo tanto, el sistema no tendrá esas energías: brechas de energía. Estas son las llamadas brechas de banda, que se puede demostrar que existen en cualquier forma de potencial periódico (no solo barreras delta o cuadradas).

Para un cálculo diferente y detallado de la fórmula de brecha (es decir, para la brecha entre bandas) y la división de niveles de los valores propios de la ecuación unidimensional de Schrödinger, consulte Müller-Kirsten. ^[4] Los resultados correspondientes para el potencial coseno (ecuación de Mathieu) también se dan en detalle en esta referencia.

Red finita

En algunos casos, la ecuación de Schrödinger se puede resolver analíticamente en una red unidimensional de longitud finita ^{[5] [6]} utilizando la teoría de ecuaciones diferenciales periódicas. ^[7] Se supone que la longitud de la red es , donde es el período potencial y el número de períodos es un entero positivo. Los dos extremos de la red están en y , donde determina el punto de terminación. La función de onda se desvanece fuera del intervalo . ${\displaystyle L=Na}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle L+\tau }$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle [\tau ,L+\tau ]}$

Los estados propios del sistema finito se pueden encontrar en términos de los estados de Bloch de un sistema infinito con el mismo potencial periódico. Si hay una brecha de banda entre dos bandas de energía consecutivas del sistema infinito, hay una distinción clara entre dos tipos de estados en la red finita. Para cada banda de energía del sistema infinito, hay estados en masa cuyas energías dependen de la longitud pero no de la terminación . Estos estados son ondas estacionarias construidas como una superposición de dos estados de Bloch con momentos y , donde se elige de modo que la función de onda se anule en los límites. Las energías de estos estados coinciden con las bandas de energía del sistema infinito. ^[5] ${\displaystyle N-1}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle -k}$ ${\displaystyle k}$

Para cada brecha de banda, hay un estado adicional. Las energías de estos estados dependen del punto de terminación pero no de la longitud . ^[5] La energía de dicho estado puede estar en el borde de la banda o dentro de la brecha de banda. Si la energía está dentro de la brecha de banda, el estado es un estado superficial localizado en un extremo de la red, pero si la energía está en el borde de la banda, el estado está deslocalizado a través de la red. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle N}$

Véase también

• Modelo de electrón libre
• Aproximación de red vacía
• Modelo de electrón casi libre
• Estructura cristalina
• Función de Mathieu

Referencias

1. Bloch, Félix (1929). "Über die Quantenmechanik der Elektronen in Kristallgittern". Zeitschrift für Physik (en alemán). 52 (7–8). Springer Science y Business Media LLC: 555–600. Código bibliográfico : 1929ZPhy...52..555B. doi :10.1007/bf01339455. ISSN  1434-6001. S2CID  120668259.
2. de L. Kronig, R.; Penney, WG (3 de febrero de 1931). "Mecánica cuántica de electrones en redes cristalinas". Actas de la Royal Society A: Ciencias matemáticas, físicas y de ingeniería . 130 (814). La Royal Society: 499–513. Bibcode :1931RSPSA.130..499D. doi : 10.1098/rspa.1931.0019 . ISSN  1364-5021.
3. Surjit Singh (1983). "Modelo de Kronig-Penney en el espacio reticular recíproco". American Journal of Physics . 51 (2): 179. Bibcode :1983AmJPh..51..179S. doi :10.1119/1.13321.
4. Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria, 2.ª ed., World Scientific (Singapur, 2012), 325–329, 458–477.
5. Ren, Shang Yuan (2002). "Dos tipos de estados electrónicos en cristales unidimensionales de longitud finita". Anales de Física . 301 (1): 22–30. arXiv : cond-mat/0204211 . Código Bibliográfico :2002AnPhy.301...22R. doi :10.1006/aphy.2002.6298. S2CID  14490431.
6. Ren, Shang Yuan (2017). Estados electrónicos en cristales de tamaño finito: confinamiento cuántico de ondas de Bloch (2.ª ed.). Singapur, Springer.
7. Eastham, MSP (1973). La teoría espectral de ecuaciones diferenciales periódicas . Edimburgo, Scottish Academic Press.

Enlaces externos

• "El modelo Kronig-Penney" de Michael Croucher, un cálculo interactivo de la estructura de banda potencial periódica 1d utilizando Mathematica , del Proyecto de Demostraciones Wolfram .