Modelo Maxwell de convección superior

Clase de ecuaciones constitutivas para fluidos viscoelásticos.

El modelo de Maxwell de convección superior ( UCM ) es una generalización del material de Maxwell para el caso de grandes deformaciones utilizando la derivada del tiempo de convección superior . El modelo fue propuesto por James G. Oldroyd . El concepto lleva el nombre de James Clerk Maxwell . Es la ecuación constitutiva independiente del observador más simple para la viscoelasticidad y además es capaz de reproducir las primeras tensiones normales. Por tanto, constituye uno de los modelos más fundamentales para la reología .

El modelo se puede escribir como:

${\displaystyle \mathbf {T} +\lambda {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}=2\eta _{0}\mathbf {D} }$

dónde:

• ${\displaystyle \mathbf {T} }$es el tensor de tensión ;
• ${\displaystyle \lambda }$es el tiempo de relajación;
• ${\displaystyle {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}}$es la derivada del tiempo de convección superior del tensor de tensión:

${\displaystyle {\stackrel {\nabla }{\mathbf {T} }}={\frac {\partial }{\partial t}}\mathbf {T} +\mathbf {v} \cdot \nabla \mathbf {T} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {T} -\mathbf {T} \cdot (\nabla \mathbf {v} )}$

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$es la velocidad del fluido
• ${\displaystyle \eta _{0}}$es la viscosidad del material a cizalla simple estable ;
• ${\displaystyle \mathbf {D} }$es el tensor de velocidad de deformación .

El modelo se puede derivar aplicando el concepto de invariancia del observador al material de Maxwell o mediante dos modelos mesoscópicos diferentes, a saber, Hookean Dumbells ^[1] o Temporary Networks. ^[2] Aunque ambos modelos microscópicos conducen a la ecuación de evolución superior para la tensión, trabajos recientes señalaron las diferencias al tener en cuenta también las fluctuaciones de la tensión. ^[3]

Caso del corte constante

En este caso, sólo dos componentes del esfuerzo cortante se volvieron distintos de cero:

${\displaystyle T_{12}=\eta _{0}{\dot {\gamma }}\,}$

y

${\displaystyle T_{11}=2\eta _{0}\lambda {\dot {\gamma }}^{2}\,}$

¿Dónde está la velocidad de corte? ${\displaystyle {\dot {\gamma }}}$

Por lo tanto, el modelo de Maxwell por convección superior predice para el corte simple que el esfuerzo cortante será proporcional a la velocidad de corte y la primera diferencia de tensiones normales ( ) es proporcional al cuadrado de la velocidad de corte, la segunda diferencia de tensiones normales ( ) es siempre cero. En otras palabras, la UCM predice la aparición de la primera diferencia de tensiones normales pero no predice el comportamiento no newtoniano de la viscosidad de corte ni la segunda diferencia de tensiones normales. ${\displaystyle T_{11}-T_{22}}$ ${\displaystyle T_{22}-T_{33}}$

Por lo general, el comportamiento cuadrático de la primera diferencia de tensiones normales y ninguna segunda diferencia de las tensiones normales es un comportamiento realista de polímeros fundidos a velocidades de corte moderadas, pero la viscosidad constante no es realista y limita la usabilidad del modelo.

Caso de puesta en marcha de corte estable.

En este caso, sólo dos componentes del esfuerzo cortante se volvieron distintos de cero:

${\displaystyle T_{12}=\eta _{0}{\dot {\gamma }}\left(1-\exp \left(-{\frac {t}{\lambda }}\right)\right)}$

y

${\displaystyle T_{11}=2\eta _{0}\lambda {\dot {\gamma }}^{2}\left(1-\exp \left(-{\frac {t}{\lambda }}\right)\left(1+{\frac {t}{\lambda }}\right)\right)}$

Las ecuaciones anteriores describen tensiones que aumentan gradualmente desde cero hasta los valores de estado estacionario. La ecuación sólo es aplicable cuando el perfil de velocidad en el flujo de corte está completamente desarrollado. Entonces la velocidad de corte es constante a lo largo de la altura del canal. Si se debe calcular la puesta en marcha desde una distribución de velocidad cero, se debe resolver el conjunto completo de PDE.

Caso de extensión uniaxial en estado estacionario o compresión uniaxial

Para este caso, UCM predice las tensiones normales calculadas mediante la siguiente ecuación: ${\displaystyle \sigma =T_{11}-T_{22}=T_{11}-T_{33}}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {2\eta _{0}{\dot {\epsilon }}}{1-2\lambda {\dot {\epsilon }}}}+{\frac {\eta _{0}{\dot {\epsilon }}}{1+\lambda {\dot {\epsilon }}}}}$

¿Dónde está la tasa de alargamiento? ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$

La ecuación predice que la viscosidad de alargamiento se aproxima (la misma que para los fluidos newtonianos ) para el caso de una tasa de alargamiento baja ( ) con un espesamiento por deformación rápido con una viscosidad en estado estacionario acercándose al infinito en alguna tasa de elongación ( ) y en alguna tasa de compresión ( ). Este comportamiento parece ser realista. ${\displaystyle 3\eta _{0}}$ ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}\ll {\frac {1}{\lambda }}}$ ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}_{\infty }={\frac {1}{2\lambda }}}$ ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}_{-\infty }=-{\frac {1}{\lambda }}}$

Caso de pequeña deformación.

Para el caso de pequeñas deformaciones, las no linealidades introducidas por la derivada convectada superior desaparecen y el modelo se convierte en un modelo ordinario de material de Maxwell .

Referencias

1. Öttinger, HC (1996). Procesos estocásticos en fluidos poliméricos: herramientas y ejemplos para desarrollar algoritmos de simulación (1ª ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-58290-5. ISBN 978-3-540-58353-0.
2. Larson, Ronald G. (28 de enero de 1999). La estructura y reología de fluidos complejos (Temas de ingeniería química): Larson, Ronald G.: 9780195121971: Amazon.com: Books . Up Estados Unidos. ISBN 019512197X.
3. Inviernos, A.; Öttinger, HC; Vermant, J. (2024). "Análisis comparativo de las fluctuaciones de la tensión viscoelástica: una comparación de los modelos de red temporal y con mancuernas". Revista de Física Química . 161 : 014901. arXiv : 2404.19743 . doi :10.1063/5.0213660.

• Macosko, Christopher (1993). Reología. Principios, Medidas y Aplicaciones . Editorial VCH. ISBN 1-56081-579-5.