Derivada del tiempo de convección superior

Término de física

En mecánica de medios continuos , incluida la dinámica de fluidos , una derivada temporal de convección superior o derivada de Oldroyd , llamada así en honor a James G. Oldroyd , es la tasa de cambio de alguna propiedad tensorial de una pequeña parcela de fluido que está escrita en el sistema de coordenadas que gira y se estira con el fluido.

El operador se especifica mediante la siguiente fórmula:

${\displaystyle {\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -(\nabla \mathbf {v} )^{T}\cdot \mathbf {A} -\mathbf {A} \cdot (\nabla \mathbf {v} )}$

dónde:

• ${\displaystyle {\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}}$es la derivada temporal de convección superior de un campo tensorial ${\displaystyle \mathbf {A} }$
• ${\displaystyle {\frac {D}{Dt}}}$es el derivado sustantivo
• ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}}$es el tensor de las derivadas de la velocidad del fluido.

La fórmula se puede reescribir como:

${\displaystyle {\stackrel {\triangledown }{A}}_{i,j}={\frac {\partial A_{i,j}}{\partial t}}+v_{k}{\frac {\partial A_{i,j}}{\partial x_{k}}}-{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{k}}}A_{k,j}-{\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{k}}}A_{i,k}}$

Por definición, la derivada temporal de convección superior del tensor Finger es siempre cero.

Se puede demostrar que la derivada temporal de convección superior de un campo vectorial espacial es simplemente su derivada de Lie por el campo de velocidad del continuo. ^[1]

La derivada de convección superior se utiliza ampliamente en la reología de polímeros para la descripción del comportamiento de un fluido viscoelástico bajo grandes deformaciones.

Notación

La forma en que se escribe la ecuación no es del todo clara debido a las diferentes definiciones de . Este término se puede encontrar definido como o su transpuesta (por ejemplo, consulte Strain-rate_tensor que contiene ambos). Cambiar esta definición solo requiere cambios en las operaciones de transposición y, por lo tanto, es en gran medida intrascendente y se puede hacer siempre que se mantenga la coherencia. La notación utilizada aquí se eligió para que sea coherente con la literatura que utiliza la derivada de convección superior. ${\displaystyle \nabla \mathbf {v} }$ ${\displaystyle (\nabla \mathbf {v} )_{ij}={\frac {\partial v_{j}}{\partial x_{i}}}}$

Ejemplos para eltensor simétrico A

Tijeras simples

Para el caso de corte simple :

${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}0&{\dot {\gamma }}&0\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

De este modo,

${\displaystyle {\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -{\dot {\gamma }}{\begin{pmatrix}2A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{22}&0&0\\A_{23}&0&0\end{pmatrix}}}$

Extensión uniaxial de fluido incompresible

En este caso, un material se estira en la dirección X y se comprime en las direcciones Y y Z, de modo de mantener el volumen constante. Los gradientes de velocidad son:

${\displaystyle \nabla \mathbf {v} ={\begin{pmatrix}{\dot {\epsilon }}&0&0\\0&-{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}&0\\0&0&-{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}\end{pmatrix}}}$

De este modo,

${\displaystyle {\stackrel {\triangledown }{\mathbf {A} }}={\frac {D}{Dt}}\mathbf {A} -{\frac {\dot {\epsilon }}{2}}{\begin{pmatrix}4A_{11}&A_{21}&A_{31}\\A_{12}&-2A_{22}&-2A_{23}\\A_{13}&-2A_{23}&-2A_{33}\end{pmatrix}}}$

Véase también

• Modelo de Maxwell con convección superior

Referencias

• Macosko, Christopher (1993). Reología. Principios, mediciones y aplicaciones . Editorial VCH. ISBN 978-1-56081-579-2.

Notas

1. Matolcsi, Tamás; Van, Peter (2008). "Sobre la objetividad de los derivados del tiempo". Atti della Accademia Peloritana dei Pericolanti - Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali (1): 1–13. doi :10.1478/C1S0801015.