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Medida finita

En la teoría de la medida , una rama de las matemáticas , una medida finita o medida totalmente finita [1] es una medida especial que siempre toma valores finitos. Entre las medidas finitas se encuentran las medidas de probabilidad . Las medidas finitas suelen ser más fáciles de manejar que las medidas más generales y muestran una variedad de propiedades diferentes según los conjuntos en los que se definen.

Definición

Una medida en el espacio medible se denomina medida finita si satisface

Por la monotonía de las medidas, esto implica

Si es una medida finita, el espacio de medida se denomina espacio de medida finito o espacio de medida totalmente finito . [1]

Propiedades

Caso general

Para cualquier espacio medible, las medidas finitas forman un cono convexo en el espacio de Banach de medidas con signo con la norma de variación total . Los subconjuntos importantes de las medidas finitas son las medidas de subprobabilidad, que forman un subconjunto convexo , y las medidas de probabilidad, que son la intersección de la esfera unitaria en el espacio normado de medidas con signo y las medidas finitas.

Espacios topológicos

Si es un espacio de Hausdorff y contiene el álgebra de Borel, entonces toda medida finita es también una medida de Borel localmente finita .

Espacios métricos

Si es un espacio métrico y es nuevamente el álgebra de Borel, se puede definir la convergencia débil de medidas . La topología correspondiente se llama topología débil y es la topología inicial de todas las funciones continuas acotadas en . La topología débil corresponde a la topología débil* en el análisis funcional. Si también es separable , la convergencia débil se metriciza mediante la métrica de Lévy–Prokhorov . [2]

Espacios polacos

Si es un espacio polaco y es el álgebra de Borel, entonces toda medida finita es una medida regular y por lo tanto una medida de Radon . [3] Si es polaco, entonces el conjunto de todas las medidas finitas con la topología débil también es polaco. [4]

Referencias

  1. ^ ab Anosov, DV (2001) [1994], "Medir el espacio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
  2. ^ Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. p. 252. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
  3. ^ Klenke, Achim (2008). Probability Theory . Berlín: Springer. p. 248. doi :10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
  4. ^ Kallenberg, Olav (2017). Medidas aleatorias, teoría y aplicaciones . Teoría de la probabilidad y modelado estocástico. Vol. 77. Suiza: Springer. p. 112. doi :10.1007/978-3-319-41598-7. ISBN 978-3-319-41596-3.