Media esférica

La media esférica de una función (mostrada en rojo) es el promedio de los valores (arriba, en azul) con una "esfera" de radio dado alrededor de un punto dado (abajo, en azul). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle u(y)}$ ${\displaystyle y}$

En matemáticas , la media esférica de una función alrededor de un punto es el promedio de todos los valores de esa función en una esfera de radio dado centrada en ese punto.

Definición

Considérese un conjunto abierto U en el espacio euclidiano R ⁿ y una función continua u definida en U con valores reales o complejos . Sea x un punto en U y r  > 0 tal que la esfera cerrada B ( x ,  r ) de centro x y radio r está contenida en U . La media esférica sobre la esfera de radio r centrada en x se define como

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}(r)}}\int \limits _{\partial B(x,r)}\!u(y)\,\mathrm {d} S(y)}$

donde ∂ B ( x ,  r ) es la ( n  − 1)-esfera que forma el límite de B ( x ,  r ), d S denota integración con respecto a la medida esférica y ω _{n −1} ( r ) es el "área superficial" de esta ( n  − 1)-esfera.

De manera equivalente, la media esférica viene dada por

${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{n-1}}}\int \limits _{\|y\|=1}\!u(x+ry)\,\mathrm {d} S(y)}$

donde ω _{n −1} es el área de la ( n  − 1)-esfera de radio 1.

La media esférica a menudo se denota como

${\displaystyle \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).}$

La media esférica también se define para las variedades de Riemann de manera natural.

Propiedades y usos

• De la continuidad de se sigue que la función es continua, y que su límite como es ${\displaystyle u}$ $${\displaystyle r\to \int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y)}$$ ${\displaystyle r\to 0}$ ${\displaystyle u(x).}$
• Se pueden utilizar medios esféricos para resolver el problema de Cauchy para la ecuación de onda en la dimensión espacial impar. El resultado, conocido como fórmula de Kirchhoff, se obtiene utilizando medios esféricos para reducir la ecuación de onda en (para impar ) a la ecuación de onda en , y luego utilizando la fórmula de d'Alembert . La expresión en sí se presenta en el artículo sobre ecuación de onda . ${\displaystyle \partial _{t}^{2}u=c^{2}\,\Delta u}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$
• Si es un conjunto abierto en y es una función C 2 definida en , entonces es armónico si y solo si para todo en y todos tales que la bola cerrada está contenida en uno tiene Este resultado se puede utilizar para demostrar el principio del máximo para funciones armónicas. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle B(x,r)}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle u(x)=\int \limits _{\partial B(x,r)}\!\!\!\!\!\!\!\!\!-\,u(y)\,\mathrm {d} S(y).}$$

Referencias

• Evans, Lawrence C. (1998). Ecuaciones diferenciales parciales . Sociedad Americana de Matemáticas. ISBN 978-0-8218-0772-9.

• Sabelfeld, KK; Shalimova, IA (1997). Medias esféricas para ecuaciones diferenciales parciales . VSP. ISBN 978-90-6764-211-8.
• Sunada, Toshikazu (1981). "Medias esféricas y cadenas geodésicas en una variedad de Riemann". Trans. Am. Math. Soc . 267 (2): 483–501. doi : 10.1090/S0002-9947-1981-0626485-6 .

Enlaces externos

• Media esférica en PlanetMath .