material maxwell

Modelo de material viscoelástico.

Un material Maxwell es el modelo de material viscoelástico más simple que muestra las propiedades de un líquido típico. Muestra un flujo viscoso en una escala de tiempo larga, pero una resistencia elástica adicional a las deformaciones rápidas. ^[1] Lleva el nombre de James Clerk Maxwell , quien propuso el modelo en 1867. ^{[2] [3]} También se lo conoce como fluido de Maxwell.

Definición

Diagrama de un material de Maxwell.

El modelo de Maxwell está representado por un amortiguador puramente viscoso y un resorte puramente elástico conectados en serie, ^[4] como se muestra en el diagrama. Si, en cambio, conectamos estos dos elementos en paralelo, ^[4] obtenemos el modelo generalizado de un material Kelvin-Voigt sólido .

En la configuración de Maxwell, bajo una tensión axial aplicada, la tensión total y la deformación total se pueden definir de la siguiente manera: ^[1] ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {Total} }}$ ${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {Total} }}$

${\displaystyle \sigma _{\mathrm {Total} }=\sigma _{\rm {D}}=\sigma _{\rm {S}}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {Total} }=\varepsilon _{\rm {D}}+\varepsilon _{\rm {S}}}$

donde el subíndice D indica la tensión-deformación en el amortiguador y el subíndice S indica la tensión-deformación en el resorte. Tomando la derivada de la deformación respecto del tiempo, obtenemos:

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon _{\mathrm {Total} }}{dt}}={\frac {d\varepsilon _{\rm {D}}}{dt}}+{\frac {d\varepsilon _{\rm {S}}}{dt}}={\frac {\sigma }{\eta }}+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}}$

donde E es el módulo elástico y η es el coeficiente de viscosidad del material. Este modelo describe el amortiguador como un fluido newtoniano y modela el resorte con la ley de Hooke .

En un material de Maxwell, la tensión σ , la deformación ε y sus tasas de cambio con respecto al tiempo t se rigen por ecuaciones de la forma: ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\frac {d\varepsilon }{dt}}}$

o, en notación de puntos:

${\displaystyle {\frac {\dot {\sigma }}{E}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\dot {\varepsilon }}}$

La ecuación se puede aplicar al esfuerzo cortante o a la tensión uniforme en un material. En el primer caso, la viscosidad corresponde a la de un fluido newtoniano . En el último caso, tiene un significado ligeramente diferente al relacionar el estrés y la tasa de deformación.

El modelo se suele aplicar al caso de pequeñas deformaciones. Para las grandes deformaciones deberíamos incluir cierta no linealidad geométrica. Para conocer la forma más sencilla de generalizar el modelo de Maxwell, consulte el modelo de Maxwell de convección superior .

Efecto de una deformación repentina

Dependencia de la tensión adimensional sobre el tiempo adimensional bajo tensión constante

Si un material de Maxwell se deforma repentinamente y se somete a una tensión de , entonces la tensión decae en una escala de tiempo característica de , conocida como tiempo de relajación . El fenómeno se conoce como relajación del estrés . ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle {\frac {\eta }{E}}}$

La imagen muestra la dependencia de la tensión adimensional sobre el tiempo adimensional : ${\displaystyle {\frac {\sigma (t)}{E\varepsilon _{0}}}}$ ${\displaystyle {\frac {E}{\eta }}t}$

Si liberamos el material en el momento , entonces el elemento elástico retrocederá en el valor de ${\displaystyle t_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {back} }=-{\frac {\sigma (t_{1})}{E}}=\varepsilon _{0}\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right).}$

Dado que el elemento viscoso no volvería a su longitud original, el componente irreversible de la deformación se puede simplificar a la siguiente expresión:

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=\varepsilon _{0}\left[1-\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right)\right].}$

Efecto de un estrés repentino

Si un material de Maxwell se somete repentinamente a una tensión , entonces el elemento elástico se deformaría repentinamente y el elemento viscoso se deformaría con una velocidad constante: ${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma _{0}}{E}}+t{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}}$

Si en algún momento soltáramos el material, entonces la deformación del elemento elástico sería la deformación elástica y la deformación del elemento viscoso no cambiaría: ${\displaystyle t_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {reversible} }={\frac {\sigma _{0}}{E}},}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=t_{1}{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}.}$

El modelo de Maxwell no presenta fluencia ya que modela la deformación como función lineal del tiempo.

Si se aplica una pequeña tensión durante un tiempo suficientemente largo, las deformaciones irreversibles se vuelven grandes. Por tanto, el material de Maxwell es un tipo de líquido.

Efecto de una tasa de deformación constante

Si un material Maxwell está sujeto a una tasa de deformación constante, entonces la tensión aumenta, alcanzando un valor constante de ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$

${\displaystyle \sigma =\eta {\dot {\varepsilon }}}$

En general

${\displaystyle \sigma (t)=\eta {\dot {\varepsilon }}(1-e^{-Et/\eta })}$

módulo dinámico

Espectro de relajación para el material de Maxwell.

El módulo dinámico complejo de un material de Maxwell sería:

${\displaystyle E^{*}(\omega )={\frac {1}{1/E-i/(\omega \eta )}}={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}+i\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}}$

Así, las componentes del módulo dinámico son:

${\displaystyle E_{1}(\omega )={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}}{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}={\frac {(\eta /E)^{2}\omega ^{2}}{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac {\tau ^{2}\omega ^{2}}{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}E}$

y

${\displaystyle E_{2}(\omega )={\frac {\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}={\frac {(\eta /E)\omega }{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac {\tau \omega }{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}E}$

La imagen muestra el espectro de relajación del material de Maxwell. La constante de tiempo de relajación es . ${\displaystyle \tau \equiv \eta /E}$

Ver también

• Material de hamburguesas
• Modelo de Maxwell generalizado
• Material Kelvin-Voigt
• Modelo Oldroyd-B
• Modelo sólido lineal estándar
• Modelo Maxwell de convección superior

Referencias

1. Roylance, David (2001). Viscoelasticidad de ingeniería (PDF) . Cambridge, MA 02139: Instituto de Tecnología de Massachusetts. págs. 8-11.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)
2. Boyaval, Sébastien (1 de mayo de 2021). "Flujos viscoelásticos de fluidos Maxwell con leyes de conservación". ESAIM: Modelización Matemática y Análisis Numérico . 55 (3): 807–831. arXiv : 2007.16075 . doi :10.1051/m2an/2020076. ISSN  0764-583X.
3. "IV. Sobre la teoría dinámica de los gases". Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres . 157 : 49–88. 31 de diciembre de 1867. doi :10.1098/rstl.1867.0004. ISSN  0261-0523.
4. Christensen, RM (1971). Teoría de la Viscoelasticidad . Londres, W1X6BA: Academic Press. págs. 16-20. ISBN 9780121742508.{{cite book}}: CS1 maint: location (link)