Matemáticas e imaginación es un libro publicado en Nueva York por Simon & Schuster en 1940. Los autores son Edward Kasner y James R. Newman . El ilustrador Rufus Isaacs proporcionó 169 figuras. Se convirtió rápidamente en un éxito de ventas y recibió varias críticas entusiastas. Se le ha otorgado una publicidad especial desde que introdujo el término googol para 10 100 y googolplex para 10 googol . El libro incluye nueve capítulos, una bibliografía anotada de 45 títulos y un índice en sus 380 páginas.
Según I. Bernard Cohen , "es la mejor explicación de las matemáticas modernas que tenemos", y está "escrita en un estilo elegante, que combina claridad de exposición con buen humor". Según la reseña de TA Ryan, el libro "no es tan superficial como se podría esperar de un libro de nivel popular. Por ejemplo, la descripción de la invención del término googol ... es un intento muy serio de mostrar cuán mal utilizado está el término infinito cuando se aplica a números grandes y finitos". En 1941, G. Waldo Dunnington pudo notar que el libro se había convertido en un éxito de ventas . "Aparentemente ha logrado comunicar al profano algo del placer que experimenta el matemático creativo al resolver problemas difíciles".
En la introducción se señala (p. xiii) que “la ciencia, en particular las matemáticas, ... parece estar construyendo el único edificio permanente y estable en una época en la que todos los demás se están desmoronando o están siendo destruidos”. Los autores afirman (p. xiv) que “nuestro objetivo ha sido ... mostrar, mediante su diversidad, algo del carácter de las matemáticas, de su espíritu audaz y sin trabas, de cómo, tanto como arte como ciencia, ha seguido guiando las facultades creativas más allá incluso de la imaginación y la intuición”.
En el capítulo uno, “Nuevos nombres para viejos”, explican por qué las matemáticas son la ciencia que utiliza palabras fáciles para ideas difíciles . En la página 5 se señala que surgen muchas ambigüedades divertidas. Por ejemplo, la palabra función probablemente expresa la idea más importante de toda la historia de las matemáticas . Además, la teoría de anillos es mucho más reciente que la teoría de grupos . Se encuentra en la mayoría de los nuevos libros de álgebra y no tiene nada que ver ni con el matrimonio ni con las campanas. La página 7 presenta el teorema de la curva de Jordan . Al analizar el problema de Apolonio , mencionan que la solución de Edmond Laguerre consideraba círculos con orientación. (p. 13) Al presentar los radicales , dicen: "El símbolo del radical no es la hoz y el martillo , sino un signo que tiene tres o cuatro siglos de antigüedad, y la idea de un radical matemático es incluso más antigua que eso". (p. 16) "Ruffini y Abel demostraron que las ecuaciones de quinto grado no se podían resolver con radicales". (p. 17) ( Teorema de Abel-Ruffini )
El capítulo 2, "Más allá del Googol", trata de los conjuntos infinitos . Se hace la distinción entre un conjunto numerable y un conjunto incontable . Además, se da la propiedad característica de los conjuntos infinitos: una clase infinita puede estar en correspondencia 1:1 con un subconjunto propio (p. 57), de modo que "una clase infinita no es mayor que algunas de sus partes" (p. 43). Además de introducir los números Aleph, los autores citan The Hunting of the Snark de Lewis Carrol , donde se dan instrucciones para evitar los errores al cazar snarks . Dicen que "el infinito también puede ser un error" (p. 61).
El capítulo 3 es "Pie ( π , i, e) Trascendental e imaginario". Para motivar e (constante matemática) , discuten primero el interés compuesto y luego la capitalización continua . "Ninguna otra constante matemática, ni siquiera π , está más estrechamente relacionada con los asuntos humanos" (p. 86). "[e] ha jugado un papel integral al ayudar a los matemáticos a describir y predecir lo que es para el hombre el más importante de todos los fenómenos naturales: el del crecimiento". La función exponencial , y = e x ... "es la única función de x con la tasa de cambio con respecto a x igual a la función misma". (p. 87) Los autores definen el plano de Gauss y describen la acción de multiplicación por i como una rotación de 90°. Abordan la identidad de Euler , es decir, la expresión e π i + 1 = 0, indicando que el venerable Benjamin Peirce la llamó "absolutamente paradójica". Se expresa entonces una nota de idealismo: “Cuando haya tanta humildad y tanta visión en todas partes, la sociedad será gobernada por la ciencia y no por su gente inteligente”. (pp 103,4)
El capítulo 4 se titula "Geometrías diversas, planas y extravagantes". Se analizan tanto la geometría no euclidiana como el espacio cuatridimensional . Los autores dicen (p. 112): "Entre nuestras convicciones más preciadas, ninguna es más preciosa que nuestras creencias sobre el espacio y el tiempo, y sin embargo es más difícil de explicar".
En las páginas finales, los autores abordan la cuestión de qué son las matemáticas. Dicen que es un "triste hecho que es más fácil ser inteligente que claro". La respuesta no es tan fácil como definir la biología . "En las matemáticas tenemos un lenguaje universal, válido, útil, inteligible en todas partes, en todo lugar y tiempo...". Finalmente, "Austera e imperiosa como la lógica, es todavía lo suficientemente sensible y flexible para satisfacer cada nueva necesidad. Sin embargo, este vasto edificio reposa sobre los cimientos más simples y primitivos, está forjado por la imaginación y la lógica a partir de un puñado de reglas infantiles". (p. 358)