Isomorfismo musical

Isomorfismo entre los fibrados tangentes y cotangentes de una variedad.

En matemáticas —más específicamente, en geometría diferencial— el isomorfismo musical ( o isomorfismo canónico ) es un isomorfismo entre el fibrado tangente y el fibrado cotangente de una variedad riemanniana o pseudoriemanniana inducido por su tensor métrico . Existen isomorfismos similares en variedades simplécticas . El término musical se refiere al uso de los símbolos de notación musical (bemol) y (sostenido) . ^{[1] [2]} ${\displaystyle \mathrm {T} M}$ ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$ ${\displaystyle \flat }$ ${\displaystyle \sharp }$

En la notación del cálculo de Ricci , la idea se expresa como elevación y disminución de índices .

En ciertas aplicaciones especializadas, como en las variedades de Poisson , la relación puede no ser un isomorfismo en puntos singulares y, por lo tanto, para estos casos, técnicamente es solo un homomorfismo.

Motivación

En álgebra lineal , un espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a su espacio dual , pero no canónicamente isomorfo a él. Por otra parte, un espacio vectorial de dimensión finita dotado de una forma bilineal no degenerada , es canónicamente isomorfo a su dual. El isomorfismo canónico está dado por ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$ ${\displaystyle V\to V^{*}}$

${\displaystyle v\mapsto \langle v,\cdot \rangle }$.

La no degeneración de significa exactamente que el mapa anterior es un isomorfismo. ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Un ejemplo es donde , y es el producto escalar . ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$

Los isomorfismos musicales son la versión global de este isomorfismo y su inverso para el fibrado tangente y fibrado cotangente de una variedad (pseudo-)riemanniana . Son isomorfismos canónicos de fibrados vectoriales que son en cualquier punto p el isomorfismo anterior aplicado al espacio tangente de M en p dotado del producto interno . ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle g_{p}}$

Dado que cada variedad paracompacta puede estar (no canónicamente) dotada de una métrica riemanniana, los isomorfismos musicales muestran que un fibrado vectorial en una variedad paracompacta es (no canónicamente) isomorfo a su dual.

Discusión

Sea ( M , g ) una variedad (pseudo-)riemanniana. En cada punto p , la función g _p es una forma bilineal no degenerada en el espacio tangente T _p M . Si v es un vector en T _p M , su plano es el covector

${\displaystyle v^{\flat }=g_{p}(v,\cdot )}$

En T^*
_pág.M . Como se trata de una función suavizada que conserva el punto p , define un morfismo de fibrados vectoriales suavizados . Por no degeneración de la métrica,tiene una inversaen cada punto, caracterizada por ${\displaystyle \flat :\mathrm {T} M\to \mathrm {T} ^{*}M}$ ${\displaystyle \flat }$ ${\displaystyle \sharp }$

${\displaystyle g_{p}(\alpha ^{\sharp },v)=\alpha (v)}$

para α en T^*
_pág.M y v en T _p M . El vectorse llama agudo de α . El mapa agudo es un mapa de fibrado suave. ${\displaystyle \alpha ^{\sharp }}$ ${\displaystyle \sharp :\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}$

Plano y agudo son isomorfismos mutuamente inversos de fibrados vectoriales suaves, por lo tanto, para cada p en M , existen isomorfismos de espacio vectorial mutuamente inversos entre T _p M y T^*
_pág.METRO .

Las funciones planas y nítidas se pueden aplicar a campos vectoriales y covectoriales aplicándolas a cada punto. Por lo tanto, si X es un campo vectorial y ω es un campo covectorial,

${\displaystyle X^{\flat }=g(X,\cdot )}$

y

${\displaystyle g(\omega ^{\sharp },X)=\omega (X)}$.

En un marco en movimiento

Supóngase que { e _i } es un sistema tangente móvil (véase también sistema liso ) para el fibrado tangente T M con, como sistema dual (véase también base dual ), el cosistema móvil (un sistema tangente móvil para el fibrado cotangente ; véase también cosistema ) { e ⁱ } . Entonces la métrica pseudo-riemanniana , que es un campo tensorial 2 -covariante simétrico y no degenerado, se puede escribir localmente en términos de este cosistema como g = g _ij e ⁱ ⊗ e ^j utilizando la notación de suma de Einstein . ${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M}$

Dado un campo vectorial X = X ⁱ e _i y denotando g _ij X ⁱ = X _j , su plano es

${\displaystyle X^{\flat }=g_{ij}X^{i}\mathbf {e} ^{j}=X_{j}\mathbf {e} ^{j}}$.

A esto se le llama bajar un índice .

De la misma manera, dado un campo covectorial ω = ω _i e ⁱ y denotando g ^ij ω _i = ω ^j , su agudo es

${\displaystyle \omega ^{\sharp }=g^{ij}\omega _{i}\mathbf {e} _{j}=\omega ^{j}\mathbf {e} _{j}}$,

donde g ^ij son los componentes del tensor métrico inverso (dado por las entradas de la matriz inversa a g _ij ). Tomar el valor sostenido de un campo covectorial se denomina elevar un índice .

Extensión a productos tensoriales

Los isomorfismos musicales también pueden extenderse a los haces. $${\displaystyle \bigotimes ^{k}{\rm {T}}M,\qquad \bigotimes ^{k}{\rm {T}}^{*}M.}$$

Se debe indicar qué índice se va a aumentar o disminuir. Por ejemplo, considere el campo tensorial (0, 2) X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^j . Al aumentar el segundo índice, obtenemos el campo tensorial (1, 1) $${\displaystyle X^{\sharp }=g^{jk}X_{ij}\,{\rm {e}}^{i}\otimes {\rm {e}}_{k}.}$$

Extensión aa-vectores ya-formas

En el contexto del álgebra exterior , se puede definir una extensión de los operadores musicales en ⋀ V y su dual ⋀^∗
V , que con un pequeño abuso de notación pueden denotarse como iguales, y son nuevamente inversas mutuas: ^[3] definidas por $${\displaystyle \flat :{\bigwedge }V\to {\bigwedge }^{*}V,\qquad \sharp :{\bigwedge }^{*}V\to {\bigwedge }V,}$$ $${\displaystyle (X\wedge \ldots \wedge Z)^{\flat }=X^{\flat }\wedge \ldots \wedge Z^{\flat },\qquad (\alpha \wedge \ldots \wedge \gamma )^{\sharp }=\alpha ^{\sharp }\wedge \ldots \wedge \gamma ^{\sharp }.}$$

En esta extensión, en la que ♭ asigna p -vectores a p -covectores y ♯ asigna p -covectores a p -vectores, todos los índices de un tensor totalmente antisimétrico se elevan o bajan simultáneamente, por lo que no es necesario indicar ningún índice: $${\displaystyle Y^{\sharp }=(Y_{i\dots k}\mathbf {e} ^{i}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} ^{k})^{\sharp }=g^{ir}\dots g^{kt}\,Y_{i\dots k}\,\mathbf {e} _{r}\otimes \dots \otimes \mathbf {e} _{t}.}$$

Paquetes de vectores con métricas de paquete

De manera más general, siempre existen isomorfismos musicales entre un fibrado vectorial dotado de una métrica de fibrado y su dual.

Traza de un tensor a través de un tensor métrico

Dado un campo tensorial de tipo (0, 2) X = X _ij e ⁱ ⊗ e ^j , definimos la traza de X a través del tensor métrico g por $${\displaystyle \operatorname {tr} _{g}(X):=\operatorname {tr} (X^{\sharp })=\operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij}\,{\bf {e}}^{i}\otimes {\bf {e}}_{k})=g^{ij}X_{ij}.}$$

Obsérvese que la definición de traza es independiente de la elección del índice a elevar, ya que el tensor métrico es simétrico.

Véase también

• Dualidad (matemáticas)
• Subida y bajada de índices
• Espacio dual § Productos bilineales y espacios duales
• Operador estrella de Hodge
• Paquete de vectores
• Bemol (música) y Sostenido (música) sobre los signos ♭ y ♯

Citas

1. Lee 2003, Capítulo 11.
2. Lee 1997, Capítulo 3.
3. Vaz y da Rocha 2016, págs.48, 50.

Referencias

• Lee, JM (2003). Introducción a las variedades suaves . Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol. 218. ISBN. 0-387-95448-1.
• Lee, JM (1997). Variedades de Riemann: una introducción a la curvatura . Springer Graduate Texts in Mathematics. Vol. 176. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6.
• Vaz, Jayme; da Rocha, Roldão (2016). Introducción a las álgebras y espinores de Clifford . Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-878-292-6.