En matemáticas y física , el crecimiento superficial se refiere a los modelos utilizados en el estudio dinámico del crecimiento de una superficie, generalmente por medio de una ecuación diferencial estocástica de un campo .
Los modelos de crecimiento populares incluyen: [1] [2]
Se estudian por sus propiedades fractales , comportamiento de escala , exponentes críticos , clases de universalidad y relaciones con la teoría del caos , sistemas dinámicos y sistemas de no equilibrio/desordenados/complejos.
Las herramientas populares incluyen la mecánica estadística , el grupo de renormalización , la teoría de trayectorias rugosas , etc.
El Monte Carlo cinético (KMC) es una forma de simulación por computadora en la que se permite que los átomos y las moléculas interactúen a una velocidad determinada que se puede controlar en función de la física conocida . Este método de simulación se utiliza normalmente en la industria microeléctrica para estudiar el crecimiento de la superficie de los cristales y puede proporcionar modelos precisos de la morfología de la superficie en diferentes condiciones de crecimiento en escalas de tiempo que suelen ir desde microsegundos hasta horas. Se utilizan ampliamente métodos experimentales como la microscopía electrónica de barrido (SEM) , la difracción de rayos X y la microscopía electrónica de transmisión (TEM) , y otros métodos de simulación por computadora como la dinámica molecular (MD) y la simulación de Monte Carlo (MC) .
En primer lugar, el modelo intenta predecir dónde caerá un átomo sobre una superficie y su velocidad en determinadas condiciones ambientales, como la temperatura y la presión de vapor. Para caer sobre una superficie, los átomos tienen que superar la denominada barrera de energía de activación . La frecuencia con la que pasan a través de la barrera de activación se puede calcular mediante la ecuación de Arrhenius :
donde A es la frecuencia térmica de vibración molecular , es la energía de activación, k es la constante de Boltzmann y T es la temperatura absoluta .
Cuando los átomos caen sobre una superficie, hay dos posibilidades. En primer lugar, se difundirían en la superficie y encontrarían otros átomos para formar un grupo, lo que se analizará más adelante. En segundo lugar, podrían desprenderse de la superficie o producirse el llamado proceso de desorción . La desorción se describe exactamente como el proceso de absorción , con la excepción de una barrera de energía de activación diferente.
Por ejemplo, si todas las posiciones en la superficie del cristal son equivalentes en energía, la tasa de crecimiento se puede calcular mediante la fórmula de Turnbull:
donde es la tasa de crecimiento, ∆G = E in – E out , A out , A 0 out son las frecuencias para entrar o salir del cristal para cualquier molécula dada en la superficie, h es la altura de la molécula en la dirección de crecimiento y C 0 la concentración de las moléculas en la distancia directa desde la superficie.
El proceso de difusión también se puede calcular con la ecuación de Arrhenius:
donde D es el coeficiente de difusión y E d es la energía de activación de la difusión.
Los tres procesos dependen en gran medida de la morfología de la superficie en un momento determinado. Por ejemplo, los átomos tienden a unirse en los bordes de un grupo de átomos conectados, la llamada isla, en lugar de en una superficie plana, lo que reduce la energía total. Cuando los átomos se difunden y se unen a una isla, cada átomo tiende a no difundirse más, porque la energía de activación para desprenderse de la isla es mucho mayor. Además, si un átomo cayera sobre una isla, no se difundiría lo suficientemente rápido y tendería a bajar los escalones y agrandarla.
Debido a la limitada capacidad computacional, se han desarrollado modelos de simulación especializados para diversos propósitos dependiendo de la escala de tiempo:
a) Simulaciones a escala electrónica (teoría de la función de densidad, dinámica molecular ab-initio): escala de longitud subatómica en escala de tiempo de femtosegundos
b) Simulaciones a escala atómica (MD) : escala de longitud de nano a micrometros en escala de tiempo de nanosegundos
c) Simulación de escala de película (KMC) : escala de longitud micrométrica en escala de tiempo de micro a horas.
d) Simulación a escala del reactor (modelo de campo de fases) : escala de longitud en metros en escala de tiempo de años.
También se han desarrollado técnicas de modelado multiescala para abordar escalas de tiempo superpuestas.
El interés por lograr una superficie lisa y sin defectos requiere una combinación de condiciones físicas durante todo el proceso. Dichas condiciones son la fuerza de unión , la temperatura, la difusión superficial limitada y la tasa de sobresaturación (o impacto). Utilizando el método de crecimiento de superficies KMC, las siguientes imágenes describen la estructura final de la superficie en diferentes condiciones.
La fuerza de enlace y la temperatura sin duda desempeñan papeles importantes en el proceso de crecimiento de los cristales. Para una alta fuerza de enlace, cuando los átomos se posan sobre una superficie, tienden a estar cerca de los grupos de átomos de la superficie, lo que reduce la energía total. Este comportamiento da como resultado muchas formaciones de grupos aislados con una variedad de tamaños que dan lugar a una superficie rugosa . La temperatura, por otro lado, controla la altura de la barrera de energía.
Conclusión: se prefiere una alta resistencia de unión y una baja temperatura para lograr una superficie lisa.
Termodinámicamente, una superficie lisa es la configuración más baja que existe y tiene el área de superficie más pequeña . Sin embargo, se requiere un proceso cinético, como la difusión superficial y volumétrica, para crear una superficie perfectamente plana.
Conclusión: mejorar la difusión superficial y masiva ayudará a crear una superficie más lisa.
Conclusión: una baja tasa de impacto ayuda a crear una superficie más lisa.
Con el control de todas las condiciones de crecimiento, como la temperatura, la fuerza de unión, la difusión y el nivel de saturación, se puede formar la morfología deseada eligiendo los parámetros adecuados. A continuación se muestra una demostración de cómo obtener algunas características superficiales interesantes:
